MatV 1a Einführung in die Algebra 8
Gleichungen mit einer Variablen Folgerung und Äquivalenz, Äquivalenzumformungen, Textaufgaben, Wurzeln Chemietechniker ILS
Gleichungen mit einer Variablen Folgerung und Äquivalenz, Äquivalenzumformungen, Textaufgaben, Wurzeln Chemietechniker ILS
Kartei Details
| Karten | 14 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Andere |
| Erstellt / Aktualisiert | 16.10.2013 / 02.03.2016 |
| Weblink |
https://card2brain.ch/box/matv_1a_einfuehrung_in_die_algebra_8
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Folgerung:
Für die die Worte "Wenn..., dann..." schreibt man das Zeichen ?
⇒
z.B Monotoniegesetz
(a=b) ⇒ (a+c = b+c)
Gleichwertigkeit, Aquivalenz:
Für die Worte "...ist gleichwertig mit..." schreibt man das Zeichen ?
⇔
(a+c = b+c) ⇔(a = b)
ist äquivalent...
Äquvivalenzumformungen Schritt1:
x = 4
Lösung = 4,
Monotoniegesetze erlauben auf beiden Seiten z.B. eine 8 zu addieren:
(x = 4) ⇔ (x+8 = 4+8) ⇔(x+8 = 12)
Äquivalenzumformung Schritt 2:
(x = 4) ⇔ (x+8 = 4+8) ⇔(x+8 = 12)
Die Monotoniegesetze der erlauben auch, beide Seiten der Gleichung mit z.b. einer 3 zu Multiplizieren.
(x+8 = 12) ⇔((x+8)*3 = 12*3) ⇔ (3x+24 = 36)
Äquivalenzumformung Schritt 3:
aus einfacher Gleichung x = 4 wurde: ⇔ 3x+24 = 36
Beweis: 4 in Variable einsetzen
3x4+24 = 36
12+24 = 36
36 = 36
Äquivalenzumformung Schritt 4:
Man versucht eine gleichwertige Gleichung zu finden bei der die Variable auf einer Seite der Gleichung steht:
2x-5 = 3
Wir addieren auf beiden Seiten +5
(die Gegenzahl zu -5)
⇔ (2x-5)+5 = 3+5
⇔ 2x+0 = 3+5 (denn -5+5 = 0)
⇔ 2x = 8
jetzt multiplizieren wir auf beiden Seiten 1/2
(den Kehrwert von 2 )
⇔ 1*x = 4 denn 2*1/2 = 1
x = 4 Lösung: 4
Äquivalenzumformung Beispiel1
5x = 2x+33
5x = 2x+33 | +(-2x)
⇔5x+(-2x ) = 2x +(-2x) +33
⇔5x-2x = 0 + 33
⇔3x = 33 | *1/3 ( den Kehrwert von 3 )
⇔1/3*3x = 33*1/3
⇔ x = 11 Lösung: 11
Äquivalenzumformung Beispiel 2:
x+1 = x-2
x+1 = x-2 | +(-x)
⇔x+(-x) +1 = x+(-x)-2
⇔ 1 = -2 Lösung -2 Aber ! die Gleichung hat keine Lösung, egal welche Zahl man für x einsetzt
Erlaubte Umformungen (Addition und Multiplikation):
Mann erhlt Äquivalente Gleichungen in dem man:
1. auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl multipliziert und
2. auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert
Erlaubte Umformungen (Subtraktion und Division
Mann erhält Äquivalente Gleichungen in dem man:
3. auf beiden Seiten der Gleichung die entsprechende Gegenzahl addiert.
4. auf beiden Seiten der Gleichung die entsprechende Kehrzahl multipliziert
Die Summe zweier aufeinander follgender Zahlen sei 17.
Wie heissen diese Zahlen ?
Die erste Zahl ist x, zweite Zahl ist x+1
beide Zahlen addiert ist 17 also
x+(x+1) = 17
⇔2x+1 = 17 | -1
⇔2x = 16 | /2
⇔x = 8 Lösung: x = 8
Probe: 8+9 = 17
Schritte zur Lösung von Textaufgaben:
1 - 6 ???
1. Wir setzen fest, wofür wir die Variable einsetzen wollen
( Die erste Zahl sei x )
2. Wir versuchen weitere Aussagen aus dem Text zu entnehmen
( Die zweite Zahl ist dann x+1 )
3. Wir stellen die Gleichung auf
( x+(x+1) = 17
4. Wir Lösen die Gleichung
( x= 8 d.h., Lösung: 8 )
5. Wir formulieren unser Ergebnis in einem Antwortsatz
( Die erste wZahl ist 8, die zweit 9. )
6. Wir machen die Probe indem wir unser Ergebnis in den Text einsetzen und nachprüfen, ob die entstandene Aussage wahr ist.
Wurzeln
x2 = 2
Es lässt sich beweisen, das es keine rationale Zahl gibt, die diese Gleichung erfüllt. Hinter der Variablen x verbirgt sich aber eine Zahl. Die Positive Lösung der Gleichung lautet ?
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Radikant, unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche, Irrationale Zahlen
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