Lernkarten
Folgerung:
Für die die Worte "Wenn..., dann..." schreibt man das Zeichen ?
⇒
z.B Monotoniegesetz
(a=b) ⇒ (a+c = b+c)
Gleichwertigkeit, Aquivalenz:
Für die Worte "...ist gleichwertig mit..." schreibt man das Zeichen ?
⇔
(a+c = b+c) ⇔(a = b)
ist äquivalent...
Äquvivalenzumformungen Schritt1:
x = 4
Lösung = 4,
Monotoniegesetze erlauben auf beiden Seiten z.B. eine 8 zu addieren:
(x = 4) ⇔ (x+8 = 4+8) ⇔(x+8 = 12)
Äquivalenzumformung Schritt 2:
(x = 4) ⇔ (x+8 = 4+8) ⇔(x+8 = 12)
Die Monotoniegesetze der erlauben auch, beide Seiten der Gleichung mit z.b. einer 3 zu Multiplizieren.
(x+8 = 12) ⇔((x+8)*3 = 12*3) ⇔ (3x+24 = 36)
Äquivalenzumformung Schritt 3:
aus einfacher Gleichung x = 4 wurde: ⇔ 3x+24 = 36
Beweis: 4 in Variable einsetzen
3x4+24 = 36
12+24 = 36
36 = 36
Äquivalenzumformung Schritt 4:
Man versucht eine gleichwertige Gleichung zu finden bei der die Variable auf einer Seite der Gleichung steht:
2x-5 = 3
Wir addieren auf beiden Seiten +5
(die Gegenzahl zu -5)
⇔ (2x-5)+5 = 3+5
⇔ 2x+0 = 3+5 (denn -5+5 = 0)
⇔ 2x = 8
jetzt multiplizieren wir auf beiden Seiten 1/2
(den Kehrwert von 2 )
⇔ 1*x = 4 denn 2*1/2 = 1
x = 4 Lösung: 4
Äquivalenzumformung Beispiel1
5x = 2x+33
5x = 2x+33 | +(-2x)
⇔5x+(-2x ) = 2x +(-2x) +33
⇔5x-2x = 0 + 33
⇔3x = 33 | *1/3 ( den Kehrwert von 3 )
⇔1/3*3x = 33*1/3
⇔ x = 11 Lösung: 11
Äquivalenzumformung Beispiel 2:
x+1 = x-2
x+1 = x-2 | +(-x)
⇔x+(-x) +1 = x+(-x)-2
⇔ 1 = -2 Lösung -2 Aber ! die Gleichung hat keine Lösung, egal welche Zahl man für x einsetzt
