Matritzen

Es handelt sich um eine m(Spalten) x n(Zeilen) Matrix.

Zunächst in die Tableau-Schreibweise bringen. Dann durch
1. Addition/Subtraktion der Zeilen (oder des Vielfachen einer Zeile)
2. Vertauschung von Zeilen
3. Multiplikation mit einem Skalaren

(wird als elementare Zeilenumformung bezeichnet.)

um es dann in die Form einer Einheitsmatrix zu bringen. (GAUSS`sches Eliminationsverfahren/ GAUSS Algorhytmus)

Gegeben ist eine m x n Matrix und ein Spaltenvektor. 

a11 a12 a13        v1          a11 x v1 + a12 x v2 + a13 x v3
a21 a22 a23   x   v2    =          .......
a31 a32 a33        v3                 ....

(Zeile mal Spalte)!

Damit das Produkt definiert ist muss die Komponenetenanzahl des Vektors mit der Spaltenanzahl der Matrix übereinstimmen.

Es sei das Matrizenprodukt AB gegebene. Die Multiplikation ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl von A mit der Zeilenanzahl von B übereinstimmt. 

Bsp.: 4 x 5 mal 5 x 4

Dabei wrid die Linke Matrix mit jedem Spaltenvektor der rechten Matrix multipliziert.

Die Ergebnismatrix besitzt die Zeilenanzahl des linken Faktors A und die Spaltenanzahl des rechten Faktors B.

1. Bei quadratischen Matrizen ist sowohl A x B als auch B x A definiert. Es ergibt jedoch unterschiedliche Ergebnismatrizen und ist deshalb nicht kommutativ.

2. Matrixprodukt ist assoziativ  (A x B) x C = A x (B x C)

3. Das Matrixprodukt ist aufgrund der Distributivität des Matrix-Vektor-Produktes ebenfalls distributiv. 
 A x (B + C) = AB +AC

Falls ein homogenes LGS, nur trivial (eindeutig durch den Nullvektor) lösbar ist, so heißt die Matrix regulär.

Wenn ein homogenes LGS, nicht trivial lösbar ist, d.h. mehrdeutig lösbar ist und unendlich nicht-triviale Lösungen besitzt, heißt sie singulär.

Es sei eine n x n Matrix A, dann gelten:

1. Rang A = n ---> A regulär

2. Rang A < n ---> singulär

Zwei Matrizen, deren Lösung des Produkts die Einheitsmatrix ist, werden inverse Matrizen genannt.

Lösen durch Gleichsetzungsverfahren  (?)