Mathematische Modelle
Folgen und Reihen
Folgen und Reihen
Was ist eine Folge?
Eine Folge ist eine endliche oder abzählbar unendliche Teilmenge A= {a1,a2...} der reelen Zahlen.
Man schreibt A = (an) n € N
Was ist eine Epsilon Umgebung?
Sei a € R, Epsilon € R und Epsilon > 0 . Dann heißt Umgebung Epsilon (a) {x € R| a - Epsilon < x < a - Epsilon|}
Epsilon Umgebung ist a.
Wann konvergiert eine Folge? Epsilon-n0-Kriterium.
Sei (an) eine Folge und a € R. Dann heißt (an) konvergent gegen a, sofern für alle Epsilon > 0 ein n0 € N existiert, so dass für alle n > n0 gillt : an € Umgebung Epsilon (a) .
Welche Strecke wird zurückgelegt?
halbe Strecke
Was passiert wenn es gegen 2 konvergiert?
konvergiert es z.B gegen 2 so wird um 2 das Epsilon festgelegt
Wann heißt es konvergent?
Sind alle Werte in der Umgebung Epsilon so heißt das Konvergent
Was ist Umgebung Epsilon?
Umgebung Epsilon ist ein Intervall
Kann man Epsilon negativ annehmen?
Die Möglichkeit Epsilon negativ anzunehmen gibt es nicht.
Wo muss a liegen?
a muss zwischen plus und minus liegen. (- a +)
Was ist eine Reihe?
Aufsummierende Folge ist eine Reihe
Was heißt a ?
a heißt Grenzwert oder limes von (an)
Darf die Konvergierende zahl "0" sein?
Nein
Darf es zwei Grenzen in einem Intervall haben?
Nein
Welches Element ist nicht in Umgebung Epsilon?
n0 ist der Element der nicht in Umgebung Epsilon ist
Wie viel Grenzwerte darf eine Folge haben?
Eine Folge von reelen Zahlen hat höchstens einen Grenzwert
Unterschied zwischen Konvergent und Divergend einer Folge?
Konvergent ist es wenn es sich zum Grenzwert annäherd und Divergend ist es wenn es gegen unendlich läuft oder sich vom Grenzwert entfernt.
Was ist der unterschied zwischen Konvergent und Divergent?
Konvergent ist es wenn es sich zum Grenzwert bewegt.
Divergend ist es wenn es sich vom Grenzwert entfernd und gegen unendlich läuft
Beweisen Sie und erklären Sie die Anahme das an gegen a und b konvergiert
Sei Epsilon > 0 dann ist auch Epsilon/2 > 0.
Wenn, (an) eine Folge und a € R. Dann heißt (an) konvergent gegen a, sofern für alle Epsilon > 0 ein n0 € N existiert, so dass für alle n > n0 gillt : an € Umgebung Epsilon (a) .
Dreiecksungleichung
0 kleiner gleich |a-b| < Epsilon => |a-b| = 0 => a=b
Formel Dreiecksungleichungen
|a+b| kleiner gleich |a| + |b| , a,b € R.
Wie beweist man Dreiecksungleichungen?
Durch Fallunterscheidungen
Rechenregeln für Grenzwerte
1. (an) -> a , (bn) -> b => (an+bn) -> a+b
2.(an) -> a, (bn) -> b => (an*bn) -> a*b
Wann konvergiert eine Betragsfolge?
Wenn eine Folge konvergiert, konvergiert auch die Betragsfolge.
Beweis für Rechenregeln von Grenzwerten
Sei Epsilon > 0, es existiert n0 mit n > n0 : |(an+bn)-(a+b)| < Epsilon
Nennen Sie die Vorraussetzung für die Rechenregel für Grenzwerte
Siehe Bild
Beschränktheit einer Folge
Eine konvergente Folge (cn) ist mit Grenzwert c durch n(strich unten) nach unten und durch s(strich oben) nach oben beschränkt.
Annahme: Seien (an), (bn) reele Folgen mit Grenzwerten a,b.
Behauptung: (an bn)-> a*b => Für alle Epsilon>0, Es gibt ein n0 Für alle n>n0: |an bn-a*b| < Epsilon
Beweis: Sei Epsilon>0. bn ist durch s(strich unten) und s(strich oben) beschränkt. Dann ist |bn| durch s0: = max {|s(strich unten)|, |s(strich oben)|} nach oben beschränkt.
Es wird vom negativen ins positive umgeklappt. Da an->a konvergiert, es gibt ein n0a, so dass für alle n>n0a gilt |an-a< Epsilon/2 s0. Da bn->b =>|bn-b|< Epsilon/2(|a|+1) für alle n>n0b. Ich setze n0= max{n0a,n0b}. Für alle n>n0 gilt dann: Epsilon/2+Epsilon/2= Epsilon
Bemerkung zur steigenden und fallenden Folge
Jede monoton steigende, nach oben beschränkte Folge ist konvergent. Jede monoton fallende nach unten beschränkte Folge ist konvergent.
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Lernkarten
Was ist eine Folge?
Eine Folge ist eine endliche oder abzählbar unendliche Teilmenge A= {a1,a2...} der reelen Zahlen.
Man schreibt A = (an) n € N
Was ist eine Epsilon Umgebung?
Sei a € R, Epsilon € R und Epsilon > 0 . Dann heißt Umgebung Epsilon (a) {x € R| a - Epsilon < x < a - Epsilon|}
Epsilon Umgebung ist a.
Wann konvergiert eine Folge? Epsilon-n0-Kriterium.
Sei (an) eine Folge und a € R. Dann heißt (an) konvergent gegen a, sofern für alle Epsilon > 0 ein n0 € N existiert, so dass für alle n > n0 gillt : an € Umgebung Epsilon (a) .
Welche Strecke wird zurückgelegt?
halbe Strecke
Was passiert wenn es gegen 2 konvergiert?
konvergiert es z.B gegen 2 so wird um 2 das Epsilon festgelegt
Wann heißt es konvergent?
Sind alle Werte in der Umgebung Epsilon so heißt das Konvergent
Was ist Umgebung Epsilon?
Umgebung Epsilon ist ein Intervall
Kann man Epsilon negativ annehmen?
Die Möglichkeit Epsilon negativ anzunehmen gibt es nicht.
Wo muss a liegen?
a muss zwischen plus und minus liegen. (- a +)
Was ist eine Reihe?
Aufsummierende Folge ist eine Reihe
Was heißt a ?
a heißt Grenzwert oder limes von (an)
Darf die Konvergierende zahl "0" sein?
Nein
Darf es zwei Grenzen in einem Intervall haben?
Nein
Welches Element ist nicht in Umgebung Epsilon?
n0 ist der Element der nicht in Umgebung Epsilon ist
Wie viel Grenzwerte darf eine Folge haben?
Eine Folge von reelen Zahlen hat höchstens einen Grenzwert
Unterschied zwischen Konvergent und Divergend einer Folge?
Konvergent ist es wenn es sich zum Grenzwert annäherd und Divergend ist es wenn es gegen unendlich läuft oder sich vom Grenzwert entfernt.
Was ist der unterschied zwischen Konvergent und Divergent?
Konvergent ist es wenn es sich zum Grenzwert bewegt.
Divergend ist es wenn es sich vom Grenzwert entfernd und gegen unendlich läuft
Beweisen Sie und erklären Sie die Anahme das an gegen a und b konvergiert
Sei Epsilon > 0 dann ist auch Epsilon/2 > 0.
Wenn, (an) eine Folge und a € R. Dann heißt (an) konvergent gegen a, sofern für alle Epsilon > 0 ein n0 € N existiert, so dass für alle n > n0 gillt : an € Umgebung Epsilon (a) .
Dreiecksungleichung
0 kleiner gleich |a-b| < Epsilon => |a-b| = 0 => a=b
Formel Dreiecksungleichungen
|a+b| kleiner gleich |a| + |b| , a,b € R.
Wie beweist man Dreiecksungleichungen?
Durch Fallunterscheidungen
Rechenregeln für Grenzwerte
1. (an) -> a , (bn) -> b => (an+bn) -> a+b
2.(an) -> a, (bn) -> b => (an*bn) -> a*b
Wann konvergiert eine Betragsfolge?
Wenn eine Folge konvergiert, konvergiert auch die Betragsfolge.
Beweis für Rechenregeln von Grenzwerten
Sei Epsilon > 0, es existiert n0 mit n > n0 : |(an+bn)-(a+b)| < Epsilon
Nennen Sie die Vorraussetzung für die Rechenregel für Grenzwerte
Siehe Bild
Beschränktheit einer Folge
Eine konvergente Folge (cn) ist mit Grenzwert c durch n(strich unten) nach unten und durch s(strich oben) nach oben beschränkt.
Annahme: Seien (an), (bn) reele Folgen mit Grenzwerten a,b.
Behauptung: (an bn)-> a*b => Für alle Epsilon>0, Es gibt ein n0 Für alle n>n0: |an bn-a*b| < Epsilon
Beweis: Sei Epsilon>0. bn ist durch s(strich unten) und s(strich oben) beschränkt. Dann ist |bn| durch s0: = max {|s(strich unten)|, |s(strich oben)|} nach oben beschränkt.
Es wird vom negativen ins positive umgeklappt. Da an->a konvergiert, es gibt ein n0a, so dass für alle n>n0a gilt |an-a< Epsilon/2 s0. Da bn->b =>|bn-b|< Epsilon/2(|a|+1) für alle n>n0b. Ich setze n0= max{n0a,n0b}. Für alle n>n0 gilt dann: Epsilon/2+Epsilon/2= Epsilon
Bemerkung zur steigenden und fallenden Folge
Jede monoton steigende, nach oben beschränkte Folge ist konvergent. Jede monoton fallende nach unten beschränkte Folge ist konvergent.
