Mathematik - Lineare Algebra
Mathematik - Lineare Algebra Gymnasium BW
Mathematik - Lineare Algebra Gymnasium BW
Matrizen Addition
Addition zweier Matrizen bedeutet die Addition der Elemnete an gleicher relativer Position innerhalb der Matrizen (index) Matrizen müssen gleich groß sein
\(\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1+b_1 & a_2+b_2 \\ a_3+b_3 & a_4 + b_4\\ \end{pmatrix}\)
Produkt aus Matrix und Vektor
Bei einer Multiplikation von Matrix ud Vektor muss der Vektor genauso viele Reihen haben, wie die Matrix Spalten. Dann wird jedes Element des Vektors mit allen Elementen einer Matrix spalte multipliziert und die Ergebnisse einer Reihe addiert, so dass das Ergbenis der Multiplikation ein Vektor ist
\(\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1 \cdot v_1 + a_2\cdot v_2\\ a_3 \cdot v_1 + a_4\cdot v_2 \end{pmatrix} = V\)
Einheitsmatrix
Eine quadratische Matrix die nur 1 in einer Diagonale von links oben nach rechts unten und sonst nur Nullen enthält.
Neutrales Element der Matrizenrechnung.
\(E_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Inverse Matrix
Wenn gilt
\(A \cdot B = B\cdot A = E_n\)
Dann heißt die Matrix B zur Matrix A Inverse Matrix und man schreibt:
\(B = A^{-1}\)
Verfahren zur bestimmung der Inversen Matrix
- Man schreibe sich die Matrix auf die linke Seite und die gleichgroße Einheitsmatrix rechts daneben
- Man Forme die linke Matrix nun durch Rechenoperationen so um, dass daraus eine Einheitsmatrix entsteht UND man wende die selben Rechenoperationen auch auf die rechte Einheitsmatrix an
- Wenn man rechts nun eine Einheitsmatrix umgeformt hat, ist links die Inverse Matrix entstanden
Determinante einer 2x2 Matrix
\(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\\ det(A) = ad -bc\)
Iverse Matrix einer 2x2 Matrix
\(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\\ A^{-1} = \frac{1}{det(A)}\cdot \begin{pmatrix} a & -b \\ -c & d \end{pmatrix}\\det(A) = ad -bc\)
Rang einer Matrix
Der (Zeilen)Rang einer Matrix ist die von 0 verschiedene Anzahl an Zeilen einer Matrix in Stufenform
Eigenschaften einer quadratischen nxn Matrix (4)
- A ist invertierbar
- det(A) != 0
- Rang(A) = n
- A * x = 0 hat nur triviale Lösungen
Determinante einer 3x3 Matrix
Nach Reihen entwickeln
Regel von Sarrus
Determinante einer 3x3 Matrix
Cramersche Regel
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Cartes-fiches
Matrizen Addition
Addition zweier Matrizen bedeutet die Addition der Elemnete an gleicher relativer Position innerhalb der Matrizen (index) Matrizen müssen gleich groß sein
\(\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1+b_1 & a_2+b_2 \\ a_3+b_3 & a_4 + b_4\\ \end{pmatrix}\)
Produkt aus Matrix und Vektor
Bei einer Multiplikation von Matrix ud Vektor muss der Vektor genauso viele Reihen haben, wie die Matrix Spalten. Dann wird jedes Element des Vektors mit allen Elementen einer Matrix spalte multipliziert und die Ergebnisse einer Reihe addiert, so dass das Ergbenis der Multiplikation ein Vektor ist
\(\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1 \cdot v_1 + a_2\cdot v_2\\ a_3 \cdot v_1 + a_4\cdot v_2 \end{pmatrix} = V\)
Einheitsmatrix
Eine quadratische Matrix die nur 1 in einer Diagonale von links oben nach rechts unten und sonst nur Nullen enthält.
Neutrales Element der Matrizenrechnung.
\(E_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Inverse Matrix
Wenn gilt
\(A \cdot B = B\cdot A = E_n\)
Dann heißt die Matrix B zur Matrix A Inverse Matrix und man schreibt:
\(B = A^{-1}\)
Verfahren zur bestimmung der Inversen Matrix
- Man schreibe sich die Matrix auf die linke Seite und die gleichgroße Einheitsmatrix rechts daneben
- Man Forme die linke Matrix nun durch Rechenoperationen so um, dass daraus eine Einheitsmatrix entsteht UND man wende die selben Rechenoperationen auch auf die rechte Einheitsmatrix an
- Wenn man rechts nun eine Einheitsmatrix umgeformt hat, ist links die Inverse Matrix entstanden
Determinante einer 2x2 Matrix
\(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\\ det(A) = ad -bc\)
Iverse Matrix einer 2x2 Matrix
\(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\\ A^{-1} = \frac{1}{det(A)}\cdot \begin{pmatrix} a & -b \\ -c & d \end{pmatrix}\\det(A) = ad -bc\)
Rang einer Matrix
Der (Zeilen)Rang einer Matrix ist die von 0 verschiedene Anzahl an Zeilen einer Matrix in Stufenform
Eigenschaften einer quadratischen nxn Matrix (4)
- A ist invertierbar
- det(A) != 0
- Rang(A) = n
- A * x = 0 hat nur triviale Lösungen
Determinante einer 3x3 Matrix
Nach Reihen entwickeln
Regel von Sarrus
Determinante einer 3x3 Matrix
Cramersche Regel
