Mathematik für PhysikerInnen 3 - Teil 1: Differentialgleichungen

Differentialgleichungen der Form  \(y' = f(x)\cdot g(y(x))\) heißen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.

Trennung der Variablen.

Die DGL mit getrennten Variablen  \(y' = f(x)\cdot g(y(x)) \) kann man folgendermaßen lösen:

\(y' = f(x)\cdot g(y(x)) \leftrightarrow \frac{y'}{g(y(x))} = f(x)~;~ g(y(x)) \neq 0\)

Seien nun \(F(x) \) Stammfunktion von \(f(x)\) und \(G(y(x))\) Stammfunktion von \(\frac{1}{g(y(x))}\). Dann lauten die Ableitungen nach x, wie folgt:

1) \(\frac{d}{dx} F(x) = f(x) \)

2) \(\frac{d}{dx} G(y(x)) = \frac{1}{g(y(x))}\cdot y'(x)\)

Die DGL besagt also 

\(\frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} G(y(x)) \)

\(\frac{d}{dx} [G(y(x))-F(x)] = 0\)

Für eine Lösung gilt dann:

\(F(x) = G(y(x)) + C ~;~ C\in \mathbb{R}\)

Eine Differentialgleichung der Form \(f(x,y) + g(x,y)y'=0\)heißt genau dann exakt, wenn es eine Funktion \(F(x,y) \) für die gilt:

\(\frac{dF}{dx} = f(x,y)~~~;~~~\frac{dF}{dy} = g(x,y).\)

AUCH: Seien \(f,g\) stetig, differenzierbar und auf einem Rechteck definiert sind. Dann gilt: \(\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x}.\)

Die Lösung \(y(x)\) muss folgendes erfüllen:

\(0 = \frac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))\cdot y'+ \frac{\partial F}{\partial x}(x,y(x)).\)

Nach Kettenregel lautet dann die Gleichung

\(0 = \frac{d}{dx} F(x,y(x))\)

\(\rightarrow F(x,y(x)) = C~~~;~~~C\in\mathbb{R}\)

Die Aussagen sind äquivalent, wenn \(f,g\) auf einem Rechteck \(R\)

\(R = \{ (x,y)\in\mathbb{R}| x_0-a< x < x_0+a~;~y_0-b< y < y_0+b\}\)

definierte stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen.

Angenommen, die DGL

 \(f(x,y(x))+g(x,y(x))y'=0\)                        (1)

sei nicht exakt. Dann kann man eine Funktion \(M(x,y(x))\)finden, sodass die DGL

 \(M\cdot f+M\cdot g\cdot y'=0\)                                        (2)

exakt ist.  

\(M(x,y(x))\) ist ein integrierender Faktor. 

Ist \(M(x,y(x)) \ne 0 ~~~;\forall (x,y)\), so folgt dass \((1) \leftrightarrow (2)\).
 

Damit eine DGL der Form

 \(M(x,y(x))\cdot(f(x,y(x))+g(x,y(x))y')=0\)

exakt ist, gilt

 \(\frac{\partial}{\partial x} (M\cdot g) = \frac{\partial}{\partial y} (M\cdot f)\)

d.h.

\(\frac{\partial M}{\partial x}g + M\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial M }{\partial y}f + M\frac{\partial f}{\partial y} \) 

Daraus kann man einen integrierenden Faktor finden.

Sei \(f(x,y)\) eine reellwertige Funktion, von der wir annehmen, dass sie auf einer offenen Teilmenge \(U \subseteq \mathbb{R}^2\) definiert ist. Dann lautet die allgemeine DGL erster Ordnung

\(y' = f(x,y).\)

Das Anfangswertproblem zur diesen DGL lautet:

Gegeben sei \((x_0,y_0)\in U \), finde eine Funktion \(y(x)\), die auf einem offenen Intervall um \(x_0\) definiert ist, eine Lösung der obigen DGL und die Anfangsbedingungen

\(y(x_0) = y_0\)

erfüllt.

Sei  \(U \subseteq \mathbb{R}^2\)ein offen und sei \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) eine stetige Funktion. Dann hat für jedes \((x_0,y_0)\in U\) das Anfangswertproblem 

\(y' = f(x,y(x))\)

\(y(x_0) = y_0\)

eine auf einem offenen Intervall um \(x_0\) definierte Lösung. 

BEACHTE: KEINE AUSSAGE ÜBER DIE EINDEUTIGKEIT DER LÖSUNGEN!!

Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^2\)offen. Sei  \(f: U \rightarrow\mathbb{R}, ~~f(x,y)\) eine stetig auf  \(U\), in der 2. Variablen diffenrenzierbare Funktion.

Dann gibt es für \((x_0,y_0) \in U\)ein offenes Intervall \(I\) um \(x_0\), sodass das Anfangswertproblem

\(y'=f(x,y(x))\)

\(y(x_0)=y_0\)

genau eine auf dem Intervall \(I\)definierte Lösung besitzt.

Sei  \(x_k = x_0 + kh,~~~~y_h(x_0)=y_0.\)

1) Für \(k = 1, 2, 3, \dots\) gilt:

\(y_h(x_k) = y_h(x_{k-1})+hf(x_{k-1},y_h(x_{k-1})).\)

2) Für \(k= -1, -2, -3,\dots\) gilt:

\(y_h(x_k) = y_h(x_{k+1})-hf(x_{k+1},y_h(x_{k+1})).\)

Zwischen den Werten \(x_k\) interpoliert \(y_h \) linear. Unter den Vorausetzungen von den Satz von Peano konvergiert \(y_h \rightarrow y_L\)

wenn \(h \rightarrow 0\) gegen eine Lösung \(y_L\) des Anfangswertproblems.

Der Iterationsverfahren von Picard lautet: 

1) Man startet mit \(\Phi_0(x) = y_0\).

2) Man definiere \(\Phi_n(x) \) für \(n = 1,2,3,...\)rekursiv durch \(\Phi_{n+1}(x) = y_0 + \int^x_{x_0} f(t,\Phi_n(t)).\)

Die Lösungsmenge variieren folgenderweise:

1.  ..., wenn die Definitionsbereiche von \(M(x,y(x))\)und \(f,g\) gleich groß sind und beide DGL dieselben Nullstellen besitzen.  \(\Rightarrow \) DGL und DGL\(\cdot M(x,y(x))\) sind äquivalent.
2. ..., falls der Definitionsbereich von \(M(x,y(x))\) kleiner als der von \(f,g\) ist.
3. ..., bei Nullstellen von \(M(x,y(x)) \), die aber nicht von der ursprüngliche DGL waren.

 Angenommen,  \(\Phi(x) \) sei eine Funktion, die auf dem Intervall \(I \subseteq \mathbb{R}\) definiert ist.

Dann ist  \(\Phi(x)\) genau eine Lösung des Anfangswertproblems, wenn diese Funktion für alle \(x\in I\) folgende Gleichung erfüllt

\(\Phi(x) = y_0 + \int^x_{x_0} f(t,\Phi(t))dt.\)

I

Sei \(I\subseteq\mathbb{R}\) und \(\Phi_n: I \rightarrow \mathbb{R}~~;~~n\in\mathbb{N}\) eine Folge von Funktionen

Dann konvergiert \((\Phi_n)_{n\in\mathbb{N}}\) punktweise gegen eine Funktion \(\Phi: I\rightarrow \mathbb{R}\), wenn für alle \(x\in I\) gilt:

\(\displaystyle\lim_{n\to \infty} \Phi_n =\Phi.\)

D.h. wenn gilt:

Für jedes \(x\in I\) und jedes \(\epsilon > 0\) gibt es eine Zahl \(N_{x,\epsilon}\in U: |\Phi_n(x)-\Phi(x)|<\epsilon ~;~\forall n\ge N_{x,\epsilon}.\)

Sei \(I\subseteq\mathbb{R}\) und \(\Phi_n: I \rightarrow \mathbb{R}~~;~~n\in\mathbb{N}\) eine Folge von Funktionen 

Dann konvergiert \((\Phi_n)_{n\in\mathbb{N}}\) gleichmäßig gegen eine Funktion \(\Phi: I\rightarrow \mathbb{R}\), wenn zu jedem \(\epsilon > 0\) eine Zahl 

 \(N_{x,\epsilon}\in \mathbb{N}\), sodass \( |\Phi_n(x)-\Phi(x)|<\epsilon ~;~\forall n\ge N_{x,\epsilon}~~ \text{und} ~~\forall x\in I.\)

Wenn eine Folge stetiger Funktionen gleichmäßig konvergiert, dann ist auch die Grenzfunktion stetig.

Jede DGL n-ter Ordnung ist in ein System von DGL erster Ordnung umwendbar. Dies kann man wie folgt schreiben:

\(\dot{\vec x} \)\(= \vec{f}(t,\vec{x}).\)                        

Eine DGL heißt autonom, wenn die unabhängige Variable -oft die Zeit \(t\)- nicht explizit vorkommt.

Die Funktion \(\vec{f} \) dieses Systems beschreibt einen stationären Vektorfeld.

Sei \(A\in\mathbb{R}^{nxn}\).  

1) Wenn \(x(t)\) eine Lösung der Differentialgleichung \(\dot{\vec x} = A\vec{x}\) ist, dann ist auch \(c \cdot\vec{x}(t)\) eine Lösung für alle \(c\in\mathbb{C}\). 

2) Wenn \(\vec{x_1}, \vec{x_2}\) Lösungen sind, dann ist auch \(\vec{x_1}+\vec{x_2}\) eine Lösung.

Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten sind Differentialgleichungen der Gestalt:

\(x^{(n)} = f(x,\dot{x},\ddot{x},\dots,x^{(n-1)})\)

\(x^{(n)} = a_0x+a_1\dot{x}+a_2\ddot{x}+\dots+a_{n-1}x^{(n-1)}\),

wobei \(a_0,a_1,a_2,\dots, a_{n-1}\in\mathbb{R},\mathbb{C}\) sind.

Das System erster Ordnung lautet dann:

\(\dot{\vec x} = A\vec{x}\)

wobei  \(A_{m,n} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}\) ist.

Die allgemeine Form der Lösungen für die Systeme erster Ordnung lautet:

\(\vec{x}_n = e^{\lambda_nt}\cdot\vec{v_n}\).

Jede Lösung um \(\dot{\vec x} = A\vec{x}\) ist eine Linearkombination dieser n-Lösungen.

• Der Realteil: \(Re(z) = x = \frac{1}{2}(z+\bar{z})\),
• Der Imaginärteil: \(Im(z) = x = \frac{1}{2i}(\bar{z}-z)\).

Eine Differentialgleichung erster Ordnung \(y' = f(x,y)\)  mit der Anfangsbedingung \(y(x_0) =y_0\) ist ein Anfangswertproblem.

Der Lösungsraum ist n-dimensional.

Beweisidee -in Stichwörter-: Matrix \(A\)ist eine Basis aus Eigenvektoren \(v_i; i\in\{1,2,3\dots\}\) zu den Eigenwerten \(\lambda_i\). Lösung der DGL: Linearkombination von \(\vec{x}_n = e^{\lambda_nt}v_n\).

Sie lautet \(\vec{x}(t) = e^{tA}\vec{x_0}\)  .

Wenn \(A\) diagonalisierbar ist, dann gibt es eine Basis \(v_1,\dots,v_n\) aus Eigenvektoren von \(A\);  \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)  sind die dazugehörigen Eigenwerte. Somit lautet die Rechnung:

\(e^{~A} = \sum^\infty_{k=0} \frac{1}{k!}A^k = \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & e^{\lambda_2} & 0 & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & e^{\lambda_n} \end{pmatrix}\).

Dann lässt sich \(A\) immerhin in Jordanischer Normalform darstellen, dh.:

\(A = \begin{pmatrix} J_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & J_2 & 0 & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & J_n \end{pmatrix}\),

wobei \(J_k = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 1 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & 1 & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix}\) der Jordan-Block ist. Somit lautet dann \(e^{~A} = \begin{pmatrix} e^{J_1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & e^{J_2} & 0 & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & e^{J_n} \end{pmatrix}\).

Ansatz: \(x(t) = e^{\lambda t}\)

1. Charakteristischer Polynom erstellen.
2. Bestimmung der Nullstellen.
   1. Wenn es n verschiede Lösungen gibt, dann lautet die allgemeine Lösung \(X(t) = c_1e^{\lambda_1 t}+ \dots+c_ne^{\lambda_n t} ; c_k\in\mathbb{C}\)
   2. Wenn 1 Nullstelle der Vielfachheit k ist, dann ist \(e^{\lambda t}\)Lösung von \(X(t)\) , sondern es sind auch \(te^{\lambda t}, t²e^{\lambda t},\dots,t^{k-1}e^{\lambda t}\) Lösungen.

Sie lautet \(\vec{x} = e^{~ A(t-t_0)}\vec{x_0}\).

Der lautet \(\dot{\vec x} = A\vec{x}+\vec{b}(t)\).

Die Menge aller Lösungen der homogenen Gleichung

\(\dot{\vec x} = A\vec{x}\)

ist ein Vektorraum der Dimension n. Das heißt:

• Superpositionsprinzip gilt.
• Linear unabhängige Lösungen sind als Linearkombination mit eindeutig bestimmten Koeffizienten wieder Lösungen.
• Die Lösungen \(\vec{x_1},\dots, \vec{x_n}\) werden dann Lösungsbasis oder Fundamentalsystem von Lösungen genannt.

Aus dem Satz folgt:

1. Die Vektoren \(\vec{x_1}(t), \dots, \vec{x_k}(t)\)  sind dann für alle \(t\) linear unabhängig.
2. Die Funktionen  \(\vec{x_1}(t), \dots, \vec{x_k}(t)\) sind linear unbahängig, dh. aus 

\(\forall t: c_1\vec{x_1}(t)+c_2\vec{x_2}(t)+\dots+c_k\vec{x_k}(t) =0\)

dann folgt: \(c_1 = c_2=\dots=c_k=0\).