Mathematik Differenzieren und Fördern im Mathemamatikunterricht der Grundschule

Mengen, zählen, Zahlen (MZZ)

• angelehnt an Krajewskis Entwicklungsmodell früher mathematischer Kompetenzen (numerische Basisfähigkeiten; Anzahlkonzept; Anzahlrelationen)
• Führen von einer Kompetenzebene in die nächste (sehr kleinschrittig, systematisch)
• 24 ÜE, 8 Wochen, je drei etwa halbstündige Fördersitzungen
• Kleingruppen 4- 6 Kinder
• zentrales Anschauungsmittel: Zahlentreppe
• Fördereffekte sind bis zum Ende der Klassenstufe 1 nachweisbar
 

„Mathe 2000“
Entwicklung des logisch mathematischen Denkens durch spielerische Übungen
• Das kleine Zahlenbuch. Band 1 und Band 2. Seelze: Kallmeyer.
• 2009:Das Zahlenbuch. Spiele zur Frühförderung 1.
• 2009: Das Zahlenbuch. Spiele zur Frühförderung 2.
• 2010: Das Kleine Denkspielbuch
• …
 

Komm mit ins Zahlenland. Eine spielerische Entdeckungsreise in die Welt der Mathematik.
• Zahlenraum wird als Lebensraum der Zahlen dargestellt
• Zahlen werden personalisiert, erhalten Eigenschaften
• Jede Zahl hat ihren festen Wohnort, eine einzigartige Geschichte und eine von den anderen Zahlen grundverschiedene Identität.
• Kritik: Es könnte sein, dass die Aufmerksamkeit der Kinder (insbesondere der Kinder mit wenig spezifischem Vorwissen) auf die emotionalen und belebten Komponenten der Situationen gelenkt
wird, so dass die Erkenntnis des Wesentlichen (numerischer Gehalt der Situation) verstellt werden kann (vgl. Fuson, 2009).
 

Keller, B. u. a. (2006): Kinder begegnen Mathematik. Für den Unterricht mit Kindern ab 4 Jahren.
„Minis entdecken Mathematik“ (Christiane Benz)
Hönisch,N./Niggemeyer, E.(2007): Mathekings. Junge Kinder fassen Mathematik an.
 

Kalkulie: Baustein 1 (Gerlach, Fritz, Ricken, Schmidt)
Förderprogramm mit 3 Schwerpunkten jeweils E - Teile(Erarbeitung) und Ü - Teile(Übung)
• 1 Reihen bilden und Zählen
• 2 Mengenaspekte und Kardinalität
• 3 Zahlen- und Mengenwissen integrieren
- Förderlehrer/in führt eine Checkliste (Vorlage liegt bei)

- Förderkind führt ein Lerntagebuch (Vorlage liegt bei)
 

BIRTE (Schipper, Wartha, v. Schroeders)
Zahlzerlegungen an den Händen nach Schipper, 2009, S. 95
• Format 1: Zerlegung der Zahl 10 an den Händen mithilfe eines Stiftes
• Format 2: Zerlegung der Zahl 10 an den Händen ohne Hilfe eines Stiftes
• Format 3: Zerlegung der Zahl 10 an verdeckten Händen
 

(1) Duden- Institute (Schulz, Stoye, Köppen) Zahlbilder in enger Anlehnung an die Würfelbilder

• Fünferstruktur soll auch bei größeren Zahlen sichtbar bleiben, deshalb wird auf die „Würfelsechs“ verzichtet.

(2) Kieler Zahlenbilder
„Wir vermitteln diesen Kindern mit den von uns entwickelten Zahlenbildern im Zehnerhaus zunächst ein fest strukturiertes Mengenbild jeder Zahl von 1-10.“
• Der Zehner wird zerlegt oder aufgebaut in die „Passerpaare“, (die zusammen genau in unser Zehnerhaus passen): 5+5, 6+4, 7+3, 8+2, 9+1, 10+0.
(3) Das Würfelhaus

• Idee, die Stellenwertproblematik zu verdeutlichen: Erst waren nur 9 im kleinen grünen Haus...
• Für 10 kleine grüne Kreise wurde der Platz zu eng, sie zogen um ins große rote Haus. Sie zogen gemeinsam als eine Familie ins große rote Haus und bewohnten eine Wohnung.
• Später waren es 19, 29, ..., 99 ...(„Bis 99 kann problemlos in einer Stunde erarbeitet werden.“)
• Zu Bildern die passende Zahl nennen: Wie heißt die Zahl zum Würfelbild? Wo fängst du an zu sprechen?
• Was geschieht, wenn 6 einziehen wollen? Was geschieht, wenn 9 einziehen wollen? Heranführen an die Zehnerüberschreitung
   

• Lernen wird durch die Bereitstellung von „begreifbarem“ Lernmaterial wesentlich erleichtert. (n. Maria Montessori)
• Durch das Handeln mit konkreten Objekten (Basis 10er- und 5er-Struktur) soll das Kind eine bildhafte Darstellung von noch nicht vorhandenen mentalen Zahlenrepräsentationen bekommen.
• Die meisten Fachleute stimmen darin überein, dass Anschauungshilfen grundsätzlich sinnvoll sind, weil sie den Übergang von einer konkreten Mengenrepräsentation zu einer abstrakten Zahlenrepräsentation wesentlich erleichtern können.
• Ebenso wichtig ist es, sich vom Arbeitsmittel wieder zu lösen. (Lorenz 2005) – „Anschauungshilfen sind Überbrückungshilfen“ (Landerl/Kaufmann 2008)
 

Populäre strukturierte Anschauungshilfen

• Zehner- und Zwanzigerfelder („Schiffchen“)
• Mehrsystemmaterial (Einerwürfel, Zehnerstangen, Hunderterplatte, Tausenderwürfel)
• Rechenrahmen (10 verschiebbare Kugeln auf 10 (2) Stangen)
• 10-er Stäbchenbündel und einzelne Stäbchen
• Hunderter-Punktefeld und Hunderter-Zahlentafel
 

Simultane Zahlauffassung

• Erst in den letzten 10 Jahren ist die simultane Zahlauffassung als ein wichtiges Element der Entwicklung von Zahlverständnis erkannt worden.
• Die meisten Forscher gehen davon aus, dass es eine nichtzählende simultane Zahlauffassung gibt, die sich
vor der Zählkompetenz entwickelt und neben der Zählkompetenz eine Grundlage für die Entwicklung von Zahlverständnis insgesamt darstellt.
• Dreijährige Kinder können sicher Anzahlen bis 3 simultan auffassen, Vierjährige solche bis 4 und teilweise bis 5.
 

Quasisimultane Zahlauffassung

• Die Verwendung von strukturierten Mengendarstellungen scheint am ehesten die Automatisierung direkter Rechenstrategien zu unterstützen, indem das rasche quasisimultane Erkennen von Zahlengrößen und damit der schnelle Zugriff auf die entsprechenden mentalen Zahlenrepräsentationen trainiert wird.

• Die Relevanz der Fünferstruktur beim Rechnenlernen ist u. a. durch die häufige und quasiautomatische Verwendung von fingerbasierten Zähl- und Rechenstrategien im Vorschulalter erklärbar. (Butterworth 1999)
 

Populäres unstrukturiertes Arbeitsmittel

• Leerer Zahlenstrahl (Rechenstrich) Gravemeijer 1994 – wurde in den Niederlanden mit teils beachtlichen
Lernerfolgen praktiziert (s. auch neuere Schulbücher)
 

Alternatives Material

– Kinder erfinden Mathematik. Gestaltendes Tätigsein mit gleichem Material in großer Menge. Autorin: Kerensa Lee
– Mit Legosteinen Rechnen lernen. Autorin: Miriam Stiehler
 

Förderansatz „Matinko“

1) Mengen legen und fühlen: Zehnerstangen, Fünferstäbe und einzelne Würfelchene

2) Mengen zeichnen (auch für Zuhause):Der Zehner ist ein Strich, der Fünfer ein halb so langer Strich mit Haken. Der Einerwürfel wird als Punkt dargestellt.

3) Mengen erkennen: Schnellerfassung – strukturierte Mengen auf einen Blick erkennen

4) Mengen verändern: z.B. zur Menge 8 einen Zehnerstab hinzufügen (8+10) – auf einen Blick ablesen
Lege 2 Einer dazu; nimm den Fünferstab weg; nimm den Zehnerstab weg usf.

5) Mengen in der Vorstellung verändern: Nach etwas Handlungserfahrung verlagern wir die Handlung in
die Vorstellung: „Lege die Zahl 17. Stell dir vor, du würdest 2 Einer hinzufügen. Stell dir vor du würdest den Zehner- und den Fünferstab wegnehmen.“

6) Stellenwertverständnis: Kinder zeigen lassen, wo man im Material die jeweilige Ziffer sieht. Ist die Zahl 18
dargestellt, sieht man die 1 als Zehnerstab, kann ihn in die Hand nehmen und fühlen wie er aus 10 Einern
zusammengesetzt ist. …



 

– Lösen vom (verfestigten) zählenden Rechnen
– Zahlvorstellungen
– Stellenwertsicherheit
 

Schrittfolgen (Phasen) begleiten die Entwicklung vom Hantieren mit Material zur mentalen Repräsentation im Kopf
– (1) Handeln, Material und Sprache
– (2) Material und Sprache
– (3) Material verdeckt und Sprache (Augen zu)
– (4) gänzlich ohne Material

nach Aebli:

• Phase 1: Konkrete Handlungen am Material
• Phase 2: Handlungen am sichtbaren Material diktieren
• Phase 3: Handlungen am nicht mehr sichtbaren Material diktieren
• Phase 4: Üben und automatisieren
   

Beispiele:

Zerlegung der Zahl 10 an den Händen

1) Zerlegung der Zahl 10 an den Händen mithilfe eines Stiftes („7,3“)
2) Zerlegung der Zahl 10 an den Händen ohne Stift („7,?“)
3) Zerlegung der Zahl 10 an verdeckten Händen

Abgedecktes Zählen und Überlegen

1) Konkrete Zählhandlungen an Objekten
2) Zählen vorgestellter Gegenstände
3) Zahlenkarten repräsentieren die sichtbaren Plättchen und die Gesamtzahl: Stelle dir vor, zähle in der Vorstellung, wie viele Plättchen abgedeckt sind.
4) Solche Zahlzerlegungen können auch als Rechenaufgaben verstanden werden: 4+5=9, 9-5=4, 9-4=5 (Die Bildung von Zahlentripeln wird angeregt.)

„Zehner-Freunde-Heft“

Auf jeder Vorderseite steht die zu ergänzende Zahl und auf der Rückseite die Lösung. Zunächst werden alle Zerlegungen mit 10 trainiert, danach Zerlegungen mit den anderen Zahlen des Zehnerraumes.
(gut geeignet für die häusliche Übung)

Zehnerübergang (!)

1) Darstellen des ersten Summanden
2) Auffüllen des Zehners                                                                                                                                  3) Den Rest auf der folgenden Stange darstellen.

6+8
„Zunächst 6 oben, dann die vier von acht auf der oberen Stange, und noch die fehlenden vier auf der unteren, 6+8=14“ Kurzsprechweise: „6-10-14“

Zehnerübergang – Ablösen vom Material
Kind mit verbundenen Augen zu 6+7: „Erst 6, dann noch 4 bis zur 10. Dann die restlichen 3, also 13.“
1) Rechenhandlungen am Rechenrahmen- allein und mit einem Partner
2) Beim Lösen den Rechenrahmen nur noch anschauen, nicht mehr anfassen.
3) Das Kind sieht den Rechenrahmen nicht mehr und diktiert den Weg dem Partner oder dem Förderer. Das Denken soll weiterhin mit der vorgestellten Materialhandlung verbunden bleiben.

Übertragen auf den Hunderterraum: Schrittweise über den Zehner rechnen
1) Handlungen am Rechenrahmen mit kurzer sprachlicher Begleitung
2) Das Kind sieht den Rechenrahmen nicht mehr. Das Förderkind diktiert der Förderin, welche Handlungen zum Lösen der Aufgabe notwendig sind.
 

Hier (ZE + E) bricht das Arbeiten mit dem Rechenrahmen ab. Für weitere Aufgabentypen im Hunderterraum ist dies nicht mehr geeignet.

Integrative Lerntherapie n. Andrea Schulz
(1) Arbeit an der Orientierung geometrische Übungen; Aufbau des Zahlenraums
(2) Arbeit an Vorstellungen
- Handlungserfahrungen werden an konkreten Materialien gesammelt
- Handlungsschritte werden bildhaft dargestellt (dabei allmähliches Verkürzen, Auslassen von Handlungsschritten)
- Handlungsschritte werden innerlich ausgeführt (das Material repräsentiert nur noch den Anfangs- und/oder Endzustand), einzelne Schritte werden beschrieben
- Die Gesamthandlung wird innerlich ausgeführt, das Material steht nicht mehr zur Verfügung.
(3) Arbeit am Gedächtnis
- Einprägestrategien werden an Gegenständen, Bildern, Wörtern und schließlich an mathematischen Inhalten kennen gelernt.
- „Um das Einmaleins dauerhaft zu lernen, ist die Arbeit am Verständnis für die Multiplikation genauso wichtig wie das Nutzen effektiver Einprägestrategien.“
(4) Arbeit mit dem Umfeld
 

•  Zahlenraumaufbau bis 20

„Die Auswahl und Anordnung des Materials offenbart eine Struktur, die sowohl für Zahlvorstellungen als auch für Erkenntnisse im Zahlenraum genutzt werden kann.“ Schulz, Andrea in Handbuch Rechenschwäche 2009
 Zehnerüberschreitung
Beispiel: 8+4

Handlung : Be- und Entladen von Autos; 8 Würfel ins Haus legen und 4 Würfel ins Auto.
(1)Die Schritte werden handelnd ausgeführt. Notiert wird die Aufgabe und das Ergebnis.
(2) Bei einem nächsten Abstraktionsschritt wird die Ausgangszahl zwar noch gelegt, aber die Handlung nicht mehr ausgeführt.
(3) Schließlich wird die Aufgabe ganz in der Vorstellung gelöst und nur noch dazu gesprochen.

• Halbschriftliches Rechen ZE+ZE

Beispiel 47+26
Die Lernenden sprechen dazu:
„47 plus 20 sind 67, plus 3 sind 70, plus 3 sind 73.“
Weitere Schritte zur Verinnerlichung erfolgen wie auf der vorigen Folie beschrieben.
 

Ein kleinschrittiger, systematischer Ansatz, der das Nacheinander betont.

Finger-Anzahlen:

• Wenn ich 3 Finger ausstrecke, bleiben 2 Finger der Hand eingezogen: 3 ist um 2 weniger als 5
• 5 und 4 – 4 und 5: in jedem Fall 9 Finger

Erarbeiten eines „Stellenbewusstseins“

1. Während einer Übergangszeit zweistellige Zahlen mit einem „Stellenraster“ schreiben lassen.

2. Zusätzlich mit dem Kind eine „Hilfszahl“ erarbeiten, mit der es sich sicher fühlt (meistens zwischen 12 und 19). Es sollte bei Problemen darauf zurückgreifen. („zig“ klären)
 

Bündeln und Erarbeiten zweistelliger Zahlen mit dem Rechenzug (n. Kutzer) (Wagen fassen jeweils 10 Kisten)

- „Das Verständnis von Zahlen als Zusammensetzung aus anderen Zahlen (Teil-Ganzes-Konzept)“
Gut strukturierte Veranschaulichung für Zahlen und das Rechnen mit ihnen:
-Fünfer- und Zehnerportionen sowie
-Verdopplungen und Halbierungen.

Fördern nicht zählender Strategien
-Addieren als Zusammenfassen bekannter Teilportionen und
-Subtrahieren als Abgrenzen einer bekannten Teilportion von einem bekannten Ganzen 7+7 =5+5+2+2 (Traditioneller Zehnerübergang wird damit umgangen)

Nichtzählstrategien
- Verdoppeln
- Verdoppeln plus 1
- Verdoppeln plus 2
- Kraft der Fünf

Neuner-Vorteil und Achter-Vorteil:
Nur beim Rechnen mit 9 und 8 wird auf die Zehnerergänzung hingewiesen.

Subtraktion:

(Halbieren und Nachbaraufgaben) „Bei den Halbierungsaufgaben des Kleinen Einsminuseins denken wir uns das Ganze aus zwei gleichen Teilen zusammengesetzt. Der wegzunehmende Teil (der Subtrahend) ist halb so groß wie das Ganze (der Minuend). Das Ergebnis ist dann die andere Hälfte. An diese 11 Aufgaben (vom Typ 8-4 oder 14-7) lassen sich 22 Nachbaraufgaben ankoppeln.“ (ebenda, S. 266)

(Subtrahieren der Fünf) newline"> „Beim Rechnen mit Fünferportionen nutzen wir die Beziehungen zu Fünfen und Doppelfünfen. Auch hierbei ergeben sich einprägsame bildhafte, nicht zählende Vorstellungen von den Rechenoperationen, die den Zusammenhang der drei beteiligten Zahlen (Tripel 2, 5, 7 und 8, 5, 13) verdeutlichen.“ (ebenda, S. 266)

(Subtrahieren der 10, 9 oder 8): Auch das Subtrahieren mit der 10, der 9 oder der 8 sollten Kinder keinesfalls zählend rechnen müssen. Abziehen der 10 ist sehr einfach, wenn die Kinder sich den Minuenden vorstellen als Zusammensetzung aus 10 und dem Rest. Wenn man statt 10 nur 9 abzieht, bleibt eins mehr übrig. (ebenda, S. 266)
 

Nutzung von Kennkarten: