Mathematik Differenzieren und Fördern im Mathemamatikunterricht der Grundschule

 Erscheinung 2 (Schulanfang)
• Kinder, die nicht so weit vorwärts zählen können wie andere und nicht oder kaum rückwärts zählen             

• Die Kinder erwerben spät Sicherheit in den ersten beiden „Zehnerräumen“.
• Analogien (3/13; 4/14; …) werden nur wenig bewusst.
• Das Stellenwertverständnis bleibt hier schon zurück.
 

 Erscheinung 3 ( 1. Schuljahr)
• 7+5? 8, 9, 10, 11, 12
• 12-7? 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5
• Das zweite Rechenglied wird ausschließlich zählend dazu- bzw. weggenommen
• Eine an das Rechnen angepasste Strukturierung des ersten Zehners gelingt nicht. So „geht die wichtige
Strategie der Zehnerergänzung (schrittweises Rechnen über den ersten Zehner) verloren“.
• Das Auflösen der zweiten Rechenzahl in aufeinanderfolgende Zählzahlen erschwert (verhindert) scheinbar das Einprägen.
 

 Erscheinung 4
• Die Bildung und Darstellung zweistelliger Zahlen wird von Unsicherheiten bezüglich des Stellenwertes begleitet.
• Erschwert wird die Bildung, Darstellung und Nutzung mehrstelliger Zahlen durch die Besonderheiten in unserer Zahlensprache, die das Stellenwertsystem nicht genau abbildet.
 

 Erscheinung 5
• Das halbschriftliche Rechnen baut auf dem sicheren Umgang mit den Stellen und den dazugehörigen Werten auf. Gibt es hier Entwicklungsrückstände, kann es häufig auch nicht sicher und vollständig
erworben werden.
 • Das Problem: Die zweistelligen Zahlen sind nicht mehr zum Dazuzählen/Wegzählen geeignet.
• Die rechenschwachen Kinder müssen ihr Rechenverhalten anpassen.
• Wie tun sie das?
 • Wenn rechenschwache Kinder das „Zahlenrechnen“ wählen, gehen sie am liebsten in kleinen Schritten
vorwärts. 54+27; 50+20+4+7
• Bei der Addition ist dies eine recht sichere Methode, aber beim Übertragen auf die Subtraktion verhängnisvoll: 54-27; 50-20-7-4
• Die Kinder laufen beim Subtrahieren sozusagen dem Fehler entgegen. Es fehlt das Verständnis für Zusammenhänge, um anders zu reagieren.
 

• Nur sehr wenige Grundaufgaben können als Faktenwissen abgerufen werden.
• Im Vergleich mit den Strichrechnungen sind Einmaleinskenntnisse mitunter besser verfügbar.
• Der Automatisierungsgrad bei Subtraktions- und Divisionsaufgaben ist äußerst gering.
• Halbschriftliches Rechnen führt die Kinder an die Grenzen ihrer Kopfrechenleistung.
• Klassenstufe 3 (!): Zahlenraum bis 1000 – dreistellige Zahlen; Probleme werden größer (eine Stelle mehr ist zu beachten)
• Schriftliche Verfahren in Kl. 3 (Addieren und Subtrahieren) erleichtern das Rechnen, weil es auf einstellige Zahlen zurückzuführen ist und man keine (räumliche) Zuordnung beim Rechnen vornehmen muss.
 

Mentale Bilder von Zahlen entwickeln
• Eine wesentliche Rolle zur Ablösung vom zählenden Rechnen sowie zum Erlernen operativer Strategien spielen eine schnelle Zahldarstellung und Zahlauffassung.
• Kinder sollten in der Lage sein, unstrukturierte Anzahlen bis einschließlich einer Menge von vier simultan zu erfassen. Ferner sollte es ihnen möglich sein, größere Anzahlen in strukturiert dargestellter Form oder an
strukturiertem Material quasisimultan zu erfassen.
• Rechenschwache Schülerinnen und Schüler greifen auch hier auf das Zählen zurück.
• Rechenschwachen Kindern gelingt die Verinnerlichung von Handlungen an konkretem Material nur bedingt.
(Schipper et al. 2011, S. 17)
• Erwerb operativer Rechenstrategien in Klasse 1 und 2 anstreben:

• Schrittweises Rechnen 6+8; 6+4=10,10+4=14
• Verdoppeln und Halbieren nutzen 6+8; 6+6=12, 12+2=14
• Gegen- bzw. gleichsinniges Verändern 6+8; 7+7=14
• Hilfsaufgabe 6+8; 6+10=16, 16-2=14
• Ergänzen bei der Subtraktion 12-7; 7+5=12
   

• Da man die Symptome rechenschwacher Kinder kennt (s. Vorlesung 3), kann man Interviews so anlegen, dass gezielt die zu erwartenden Schwachstellen angesprochen werden.
• Es sollen aber auch die Inhaltsbereiche identifiziert werden, in denen das Kind sicher ist, „die also den ‚festen Boden‘ darstellen, auf dem weitere Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten aufgebaut werden können.“ (Schipper, Wartha, Schroeders, 2011, S. 103)

 Entwickeln eines Interviewleitfadens
• Welche Inhalte sollten angesprochen werden?
• Wie können die Fragen/Aufträge formuliert werden?
• Welches Verhalten (von Seiten des Interviewers) ist jeweils zu beachten?
 

– Es empfiehlt sich eine Vorwärtsorientierung, also auch mit Dritt- und Viertklässlern mit Aufgaben auf dem Niveau des ersten Schuljahres beginnen.
– Empfehlung: die Beobachtungen protokollieren
– Aus dem folgenden Maximalkatalog können Bereiche ausgewählt bzw. das Interview kann auf mehrere Tage verteilt werden.
 

 • Die differenzierte Analyse der Fehler ist eine der ältesten Ansätze zur Diagnostik
• evtl. Hinweise auf zugrunde liegende Denkprozesse
• schriftliche Arbeiten des Schülers heranziehen bzw. gezielt Arbeitsblätter erstellen
• sowohl formale Aufgaben als auch Textaufgaben betrachten
Die „Fehleranalyse“ wird in der Literatur meist nur zu geschlossenen Aufgaben
erfasst. Offene Aufgaben können Probleme oft deutlicher machen.
 

 • Das Testverfahren sollte objektiv sein, also unabhängig von der durchführenden und auswertenden Person aufgrund der Vorgaben im Testmanual zu gleichen Ergebnissen führen.
• Es sollte reliabel oder zuverlässig sein: ein Merkmal möglichst ohne Fehler messen, also der wahre Wert soll möglichst dem gemessenen Wert entsprechen
• Er sollte valide oder gültig sein, also tatsächlich auch die fragliche Kompetenz erfassen. Validität: Aussagekraft oder Vorhersagekraft eines Tests. (Intelligenztests können z. B. recht gut den schulischen Erfolg vorhersagen, scheitern aber an der Vorhersage des beruflichen Erfolgs.)
 

 • überprüft das Mengen- und Zahlenvorwissen im Alter von 4;6 bis 7;6 Jahren
• basiert theoretisch auf Studien zur Zahlbegriffsentwicklung (Piaget & Szeminska, 1972) und den Entwicklungsstufen von Zählfertigkeiten (Fuson, 1988)
• 8 Subtests: Vergleichen, Klassifizieren, Eins-zu-eins Zuordnen, Nach Reihenfolge ordnen, Zahlwörter
benutzen, synchrones und verkürztes Zählen, Resultatives Zählen, Anwenden von Zahlenwissen

• Vor allem Zählfertigkeiten (Subtest 5-7), aber auch Seriations (Subtest 4)- oder Vergleichsleistungen (Subtest 1) haben sich als gute Prädikatoren mathematischer Leistungen gezeigt. (Krajewski 2003)
 

MARKO-D (Ricken, Fritz-Stratmann & Balzer, 2012)
 – Kindergartenkinder zwischen 4 und 6,5 Jahren
– beruht auf dem Entwicklungsmodell von Fritz/Ricken/Gerlach (siehe Vorlesung 1)
– 5 Stufen: Reihenbildung und Mengenvergleich; Ordinaler Zahlenstrahl und zählendes Rechnen;
Kardinale Mengenvorstellung; Teil-Ganzes Zerlegbarkeit; Relationaler Zahlbegriff und Teilmengenverständnis
– Geschichtenkontext: zwei Eichhörnchen Ben und Lisa versuchen, Mengen und Zahlen zu bestimmen und zu vergleichen

ZAREKI-K (von Aster, Bzufka & Horn, 2009)
– Kinder von 5-7 Jahren
– Risikodiagnose für spätere Rechenstörungen im Schulalter
 

 Deutsche Mathematiktests – DEMAT
– als Klassen- oder Individualtest durchführbar
– ca. eine Unterrichtsstunde
– hohe Lehrplanvalidität (Es wurden nur Aufgaben/Inhalte eingesetzt, die in allen 16 Bundesländern vorkommen. In der Regel nur Aufgaben, die Kindern im Unterricht schon begegnet sind.)
 

Besonderheiten: Der DEMAT 1+differenziert auch im unteren Bereich gut.
 

Heidelberger Rechentest - HRT 1-4 (Haffner, Baro, Parzner 2005)

• erfasst arithmetische Basiskompetenzen im Grundschulalter
• Es wird ein räumlich-visueller Bereich (z.B. Mengen zählen, Zahlenverbinden) erfasst.
• weitgehend unabhängig von speziellen Lehrplanvorgaben
• Quartalsnormen liegen zugrunde – kann während des ganzen Schuljahres in Grund- und Förderschulen durchgeführt werden.
• enthält Speed-Komponente (wie schnell und sicher kann der jeweilige Aufgabentypus gelöst werden)
• Dieselben Aufgaben kommen über mehrere Klassenstufen zum Einsatz. (Die Entwicklung eines Kindes kann über mehrere Klassenstufen verfolgt werden. Entwicklungsrückstände können in Jahren benannt werden.)
• Den Kindern wird eine ganze Seite voller Rechenaufgaben angeboten (steigend im Schwierigkeitsgrad) – je 40 Items. Sie rechnen immer so viel, wie sie in der vorgegebenen Zeit schaffen. (Dies könnte sie auch demotivieren.)
• Fördermaßnahmen lassen sich nicht direkt ableiten.
 

• „Insgesamt sind Schulleistungstests zwar geeignet, um rechenschwache Kinder zu erkennen. Zur differenzierten Diagnose sind sie allerdings nicht zu empfehlen.“ (Schardt, 2009, S. 157)
• Sie testen nur den Stoff der jeweiligen Klassenstufe ab. Das Niveau der rechenschwachen Kinder ist aber deutlich tiefer anzusetzen. (ebenda)
• Bei standardisierten Tests werden neben rechnerischen Fertigkeiten meist auch räumlich-visuelle und verbale Fähigkeiten getestet. So kann man nie genau bestimmen, welche Beeinträchtigungen das schwache Testergebnis hervorbringen.
 

Dyskalkulie-Diagnostik
• Hauptziel: Identifikation der kognitiven Stärken und Schwächen im Hinblick auf die numerisch rechnerischen Leistungen
• Die Diagnostik sollte so differenziert sein, dass sie auch für die Interventionsplanung herangezogen werden kann.
• umfassende förderdiagnostische Untersuchung: allgemeines Leistungsniveau, Sprache, Merkfähigkeit, visuell-räumliche Fähigkeiten, emotionale Befindlichkeiten, …                                                                        

 • Bei auffälligen Kindern sollten unbedingt Interviews ergänzend geführt werden (prozessorientierte Diagnostik).
 

MBK 1+
 • Test zur Erfassung mathematischer Basiskompetenzen ab Schuleintritt
• Modell der Zahl-Größen-Verknüpfung von Krajewski liegt zugrunde
• 2 Parallelformen
• Kurzform (20-45 min) und Langform (30-60 min)
 

BIRTE 2

• Computer-Programm
• Installieren, Kopfhörer, Maus für das Kind, sich zurückziehen
• Nach Einführung in das Programm (nötiger Umgang mit dem PC) erscheint ein Auswahlmenü zu 13
Testmodulen.
• Die Module müssen nicht in einer vorgegebenen Reihenfolge absolviert werden.

• Prozessorientierte Diagnostik
• arithmetische Kompetenzen von Zweitklässlern, Mitte des Schuljahres
• differenziert vor allem im unteren Bereich, kann aber als Leistungstest für die ganze Klasse eingesetzt werden
• 5 Niveaustufen ähnlich wie beim OTZ (++, +, o, -, --)
• Testdauer 45-60 min
 

BIRTE 2 (Teil 2)

Vier Modulgruppen

• Orientierung im Zahlenraum
– Zählen
– Zahlen vergleichen
– Dezimales Stellenwertsystem
– Schreiben und Lesen von Zahlen

 • Basiskompetenzen
– Zahlauffassung und Zahldarstellung am Rechenrahmen
– Schnelles Sehen
– Zahlzerlegungen
– Verdoppeln und Halbieren
– Faktenwissen

• Rechnen
– Zehnerübergang
– Rechnen mit vollen Zehnern
– Rechnen mit Zehnern und Einern
– Aufgabenbeziehungen und Rechenstrategien

• Grundvorstellungen
– Grundvorstellungen zu Rechenoperationen
– Größenvorstellungen

 

 • Im begleitenden Handbuch gibt es insgesamt 15 an die Diagnose anschließende Diagnose und Fördermöglichkeiten, die jeweils den vier Modulgruppen zugeordnet sind.
• Das Programm empfiehlt nach der Diagnose Förderpunkte für das jeweilige Kind und zu den ausgewählten Punkten noch einmal eine prozessorientierte Diagnose.
 

Kalkulie

• Diagnose- und Trainingsprogramm für rechenschwache Kinder von Schulbeginn bis zur Klassenstufe 3
• Strategieanalyse: frühe Strategien, Erkennen erster Strukturen und entwickelte Strategien; Fehleranalyse
 Theoretischer Hintergrund
• Entwicklungsmodell des Erwerbs mathematischer Kompetenzen nach Fuson und Resnick (Modell, s. V 1 – Stufenmodell zur Entwicklung math. Kompetenzen, s. auch MAKRO-D)

Ablauf
• Diagnose A – Prätest
• Förderbausteine (1-3; Auswahl)
• Diagnose B - Posttest
• Als Gruppen- oder Einzeltest möglich
 

 ZAREKI - R (2001/02)
• Autor: Michael von Aster, unter Mitwirkung von Monika Weinhold
• neuropsychologische Testbatterie (beruht auf Erkenntnissen der Entwicklungsneuropsychologie)
• Testdauer 25-30 min pro Kind
• Anwendung für 1. bis 4. Klasse
• Nimmt vor allem basale Störungen als Ursache für Rechenschwäche an: visuell-räumliche und sprachliche Basisfunktionen
• Jahrgangsstufe 2-4, neu 1-4 (ZAREKI-R)
• Einzeluntersuchung rechenschwacher Kinder
• Veränderungen im überarbeiteten Test
– Neu: Multiplikation (vorher nur Addition, Subtraktion)
– Neu: Zahlennachsprechen vorwärts und rückwärts
– Neu: Erweiterung der Zahlenstrahlaufgaben
• keine differenzierten Hinweise für förderdiagnostische Maßnahmen
• am besten in der Mitte der Grundschule einzusetzen (Kl. 1, Anfang 2 Zahlenraum zu groß, Ende Kl. 3 Zählen schon zu sicher)
 

RZD 2-6

Rechenfertigkeiten und Zahlenverarbeitungs Diagnostikum für die 2. – 6. Klasse
– Autoren Jacobs/Petermann 2005
– Einzeltestverfahren
– Testdauer 30-45 min
– Aussagekraft bleibt auf den unteren Leistungsbereich beschränkt, Test filtert unter den weniger guten Schülern die leistungsschwächsten heraus
 

 TEDI-MATH

• Numerisch-rechnerische Fertigkeiten vom Kindergarten (4 Jahre) bis zur 3. Klasse, 1. Halbjahr (8 Jahre)
• basiert auf einer französischsprachigen Originalversion
• geht von kognitiv-neuropsychologischen Theorieansätzen aus (z. B. vom Triple Code-Modell von Dehaene)
• Hinweise für die Identifikation unterschiedlicher Dyskalkulietypen
• Bei einem Prozentrangwert unter 10 ist dem Verdacht auf Vorliegen einer Dyskalkulie genauer nachzugehen.
• Bei einem Prozentrang zwischen 10 und 25 besteht Förderbedarf.
• Inhalte: z. B. differenzierte Abklärung des Stellenwertverständnisses – Anschauungshilfe: Stäbchen (Zehnerpakete und einzelne Stäbchen)
 

Bamberger Dyskalkuliediagnostik – BADYS 1-4+
• Lehrpläne fanden Berücksichtigung
• vom Ende der 1. bis Anfang 6. Klasse
• ist als Langform und Kurzform durchführbar
– Langform: adaptives Testverfahren
– Kurzform kann als Einzel- und Gruppentest durchgeführt werden
• Inhalte:
– visuell-räumliche Grundfertigkeiten
– Gedächtnisleistungen
– mathematische Begriffe
– Mengenerfassung
– Zahlerfassung
– Addition/Subtraktion
– Multiplikation/Division
– Umgang mit Maßen

• adaptives Testverfahren (Sind die Aufgaben zu schwer, können solche der vorangegangenen Klassenstufe eingesetzt werden.)
• Erfasst wird auch die Bearbeitungsgeschwindigkeit.
• Einzeltest Kurzform 50-60 min
 

• umfassend normierte, den Gütekriterien entsprechende Verfahren
• Jedoch verfügen einige lediglich über einen Normierungszeitpunkt pro Jahr, so dass die Entwicklung nicht differenziert genug verfolgt werden kann.
• Differenzierung der Teilkomponenten des Rechenprozesses oft nicht ausreichend: Kein Verfahren unterscheidet zwischen Rechnungen, die auf Basis von Faktenwissen gelöst werden sollen (Einspluseins, Einmaleins) und solchen, die prozedurales Wissen erfordern, z. B. Rechnen mit zweistelligen Zahlen – beide Gruppen sind häufig in einem Untertest. Erfassen der Antwortzeiten könnte hier weiterhelfen.
s. Dyscalculia-Screener (Butterworth 2003)
• Viele Teilkomponenten (basisnumerische Verarbeitung, arithmetische Leistung) sind inzwischen identifiziert – das Problem: Aus Gründen der Testökonomie können bei einzelnen Aufgaben nur wenige Items zugeordnet werden, was eine differenzierte Erhebung erschwert.
 

Aufgabengruppen, die die Probleme besonders deutlich machen

• Orientierung am Zahlenstrahl:
– Zugriff auf einen inneren Zahlenstrahl notwendig. Dieser mentale Zahlenstrahl ist scheinbar nicht in ausreichendem Maße bzw. verzögert entwickelt.
• Rechnerische Grundfertigkeiten und Operationsverständnis zu Addition/Subtraktion:
– prozedurales Wissen fehlt: Wie kann ich das oder jenes rechnen?
– Zahlzerlegungen; Rechenergebnis schätzen
• Ergänzungsaufgaben
• Multiplikation

• Am deutlichsten ist der Unterschied zwischen Dyskalkulie- und Vergleichskindern in der 3. Klasse.
• Aufgaben im Zahlenraum bis 1000; Aufgaben mit mehreren Stellenübergängen (28+35; 376+50) – höhere Anforderungen an Arbeitsgedächtnis, gutes Verständnis des Stellenwertsystems nötig
 

Eggenberger Rechentest –ERT (Österreich)

– ERT 0+ (Kindergarten) bis ERT 4+
– Leistungsdifferenzierung vor allem im unteren Leistungsbereich
– vor allem zum Erfassen der arithmetischen Leistungen