Mathematik

Die Neperschen Streifen sind technisch ausgereifte Verfahren des einfacheren Rechenschemas. Sie beschreiben ein historisch bedeutsames Verfahren, das auch aus fachdidaktischer Sicht interessant ist

Beispiel Bild:

365 x 24 =
________
       120   (siehe Bild Rot)
     1440   (siehe Bild Orange)
     7200   (siehe Bild Blau)
________
     8760
 

Die schriftliche Divison gilt zu Recht als das anspruchvollste schriftliche Rechenverfahren - denn darin sind die Grundoperationen Division, Multiplikation und Subtraktion in einem einigermassen anspruchsvollen Verfahren vereint.

schriftliches Verfahren :

49806 : 9 = 5534
45
___
    48
    45
   ____
       30
       27
      ____
          36
          36
          ___
            -

3 Aspekte Addition:

• Endgrösse unbekannt (a+b= ?)
• Veränderungsgrösse unbekannt (a + ? = c)
• Ausgangsgrösse unbekannt (? + b = c)

3 Aspekte Subtraktion

• Endgrösse unbekannt (a-b=?)
• Veränderungsgrösse unbekannt (a-?=c)
• Ausgangsgrösse unbekannt (? + b = c)

• 1x Aufgabe (Nachbaraufgaben)
• 2x Aufgabe (Verdoppeln)
• 5x Aufgaben (kombinieren)
• 10x Aufgaben (kombinieren)

• Das Kommutativgesetz (Vertauschgesetz)
  a x b = b x a      Zahlenbeispiel: 3 x 5 = 5 x 3
   
• Das Distributivgesetz
  a (b + c) = ab + ac = 4(x + 5) =     Zahlenbeispiel: 4 x 3 + 4 x 5
  
   
• Die erste binomische Formel
  (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab     Zahlenbeispiel: (3+5)^2 = 2x3x5+5^2
  
  
   

• Quadratzahlen in der Diagonale
• Umkehraufgaben sind immer 9x grösser (9 nach links zählen bzw. nach rechts) & im gleichen Abstand zur Diagonale
• Königsaufgaben sind einfach einzuzeichnen (Alle Farbigen Quadrate sind Königsaufgaben: 1er Reihe, 2er Reihe, 5er Reihe, 10er Reihe, Quadrat-Zahlen)
• Nachbarsaufgaben immer bei Spiegelachse rechts & links (Kreuz)

Unter Königsaufgaben versteht man die Aufgaben, welche die Kinder am einfachsten können! Von diesen Königsaufgaben leiten die Kinder nacher andere Aufgaben ab anhand Verdoppelungsaufgaben, Nachbarsaufgaben etc.

Königsaufgaben:

• 1-er Reihe
• 2-er Reihe
• 5-er Reihe
• 10-er Reihe
• Quadrat-Zahlen (6x6, 5x5, 8x8 etc.)

Rechentricks sind keine Zaubertricks, es sind eimfache auszuführende Regeln, die aber nur bei speziellen Aufgaben gültig sind.

• Eine Methode zur Wissensaneignung
• Der Fokus der Betrachtung liegt dabei beim Schüler & nicht bei der Vermittlung der LP (=aktiv entdeckendes Lernen)
• LP organisiert Aktivitäten, in welchen die SuS eine intensive Auseinandersetzung mit dem Gegenstand bringen
• Produktives Üben (Entdeckendes Üben / Aktives üben) ist ein Teilaspekt des entdeckendes Lernen

Unter Unterrichtskultur versteht man die "Art und Weise", wie Lehrer und Schüler miteinander umgehen, welche (expliziten oder impliziten) Spielregeln sie befolgen und wie sie gemeinsam - gewollt oder ungewollt mit den anstehenden Sachthemen umgehen.

Beschreibung einer traditionellen Unterrichtskultur

• Lernen in kleinen Schritten
• Lernen im gleichen Tempo
• Eindeutige Aufgaben
• Viele verschiedene Aufgaben werden in kurzer Zeit  bearbeitet
• Lösungswege werden vorgeben
• Stoffdruck / Zeitdruck
• Isolierte Bearbeitung von Einzelthemen
• Erarbeitende Unterrichtsgespräche, Einzelarbeit

Beschreibung einer neuen Unterrichtskultur

• Erfahrungsräume und Handlungsfelder für Schüler offen
• Lernen im eigenen Tempo
• Offene Aufgaben
• Sich Zeit nehmen / Zeit lassen
• Selbständige Suche nach eigenen Lösungswegen
• Verstehende Mathematik ist wichtiger als die Beherrschung grosser Stoffmengen
• Im Sinnzusammenhängen lernen
• Gespräche der Schüler untereinander / Arbeiten im Team

Die im Lehrplan 21 formulierten Kompetenzen beziehen sich auf die Kompetenzbereiche / Inhalte (was?) und auf die Handlungsaspekte (wie?). Beide Inhalte werden gleichwertig gesehen

Kompetenzbereich / Inhalte (was?)
Jeder Kompetenzbereich umfasse 3-7 Kompetenzen, in welchen je spezifische thematische Aspekte und Handlungsaspekte aufgenommen werden. Für jede Kompetenz wird die erwartete Kompetenzentwicklung mit mehreren Stufenbeschreibungen pro Zyklus beschrieben. Über die Zyklen hinweg werden auf diese Weise die angestrebte Kompetenzentwicklung und damit Wege des kumulativen Lernens dargelegt.

• Kompetenzbereich Zahl & Variable
• Kompetenzbereich Form & Raum
• Kompetenzbereich Grössen, Funktionen, Daten & Zufall

Handlungsapsket (wie?)
Unter Handlungsaspekten versteht man die unterschiedlichen Arten, sich mit Inhalten zu beschäftigen, welche sich auf unterschiedliche mathematische Tätigkeiten beziehen. Im Lehrplan 21 werden drei Handlungsaspekte unterschieden:

• Operieren & Benennen
  Umgang mit Zahlen, Grössen und geometrischen Objekten
   
• Erforschen und Argumentieren
  Entdeckung von Muster, Regelmässigkeiten oder Zusammenhängen
   
• Mathematisieren und Darstellen
  Rechenwege darstellen, beschreiben, austauschen und nachvollziehen & die Entdeckung danach aufschreiben

Das Lehrmittel Logisch

• ganze Begabungsbreite ansprechen
• zeitgemässe Mathematik
• zielorientertes Arbeiten von LP & SuS
• sparsame Anschauungsmittel
• Probleme & Aufgaben gemeinsam bearbeiten

Das Schweizer Zahlenbuch

• aktiv / entdeckendes Lernen
• Allgemeine Ziele
• Lernen als Knüpfen von Wissensnetzen
• sparsame Verwendung vpn Anschauungsmittel

Zürcher Lehrmittel Mathematik

• Durchläuft 4 Phasen:
  1. Erfahrungen sammeln
  2. Zusammenhänge erkennen
  3. Fertigkeiten erwerben
  4. Anwenden
• Mathe für alle
• aktiv auf eigenen Weg

Philosophie:

• Kinder sollen Phasen durchlaufen beim Lernen von Mathematik:

Ziel:

• 1. Phase = Erfahrungen sammeln
  2. Phasen =  Zusammenhänge erknnen
  3. Phase = Fertigkeiten erwerben
  4. Phase = Anwenden

Grundsatz:

• Eine Mathematik für alle
• Aktiv auf eigenen Wegen Mathematik lernen
• Mathematik miteinander und voneinander lernen
• Forschen, Argumentieren, Begründen und Darstellen

Viel Potential zu:

• Erforschen
• Argumentieren
• Mathematisieren
• Darstellen

Vor allem bei Aufgaben wie:

• Finde weitere Zahlenmauern mit den Zahlen 3,4,5
• Finde Zahlenmauern mit Endergebnis 20

Intermodaler Transfer bedeutet, dass alle die drei Handlungen

• Ikonisch (=Bildlich)
  Chance: Hohe Aktivierung der Lernenden (alle Sinne)
  Risiko: Sie sind vergänglich, flüchtig - nach Handlung bleibt nichts übrig
   
• Enaktiv (=Handlung)
  Chance: Bilder können immer wieder gebraucht werden
  Risiko: Bilder sind statisch
   
• Symbol (Rechnung)
  Chance: Es können Verallgemeinerungen gemacht werden
  Risiko: Kind braucht zu verstehen ein Abstraktionsprozess

(Ikonisch, Enaktiv & Symbolisch) alle in Verbindung gebracht werden, um einen möglichst grossen Lernerfolg zu erzielen

Die Eins-zu-Eins Zuordnung
Das Zählen spielt hier noch keine Rolle. Es geht nur darum, dass man Mengen auf ihre Mächtigkeit hin vergleicht. Man sagt, dass Kinder erst ab etwa 6 Jahren sich sicher sind, wo sich mehr befindet bzw. das Denken reversibel ist. Früher dachte man, dies sei die zentrale Grundlage für den Zahlbegriff, heute ist das nicht mehr so. Man fördert die pränumerische Kompetenzen gemeinsam mit den nummerischen Kompetenzen.

Bsp: Man hat 5 Pfannen und 5 Deckel und muss diese Zuordnen!

Klassifikation
Mit dieser kognitiven Fähigkeit ist gemeint, dass man verschieden Objekte aufgrund gewisser Merkmale zusammenfasst. Kinder im Alter von 5.5 Jahren sind fähig zu einfachen Klassifikationen (Klassifikation anhand 1 Merkmal Form oder Farbe) - Kinder im Alter von 7.5 Jahren sind fähig zu schwierigeren Klassifikationen (mind. 2 Merkmale)

Bsp. Abbildung von Tieren auf dem Bauernhof. Klassifikation nach:  Geben Milch, Haben Federn, sind gross, sind klein.. Kinder können dann z.B. die Tiere umrahmen: Federtiere blau, Milchtiere geld etc.

Seriation:
Bei dieser kognitiven Fähigkeiten werden Objekte nach den Merkmalen geordnet. Es wird dabei unterschieden zwischen einfacher Seriation (Unterschied in 1 Merkmal) und Multipler Seriation (Unterschied 2 Merkmalen), sowie auch zwischen Transitivitätsschluss (Ableitungen -> sehr schwierig) unterschieden.

Bsp: A ist kleiner als B, B ist kleiner als C & deshalb muss A kleiner als C sein (Transitiver Schuss=
         Bleistifte nach grösse Ordnen = Einfache Seriation
         Klötze nach breite & höhe ordnen = multiple Seriation

Mengeninvarianz (Erhaltung)
Mit dieser kognitiven Fähigkeit mach das Kind schon in den ersten Monaten Erfahrungen, denn es ist die Grundlage des Denkens. Es geht darum. dass es Veränderungen in der Anordnung gibt, jedoch keine Veränderung in der Anzahl. Meistens merken Kinder erst im Alter von 6-7 Jahren, dass es keinen Unterschied macht (Denken der Kinder wurde reversibel)

z.B. Flüssigkeit aus einem Gefäss mit einen kleinem Durchmesser in ein Gefäss mit grossem Durchmesser.
 

Pränumerische Aufgaben (Ordnen, zusammenfassen, vergleichen, soriteren) dürfen nicht als Vorläuferfertigkeiten des Zahlenbegriffs betrachtet werden, sondern müssen parallel zusammen gefördert werden und mit numerischen Inhalten in Verbindung gebracht werden

Bsp: Fragen: Wie viele Bauklötze sind es? Mehr rote oder blaue Klötze? (Pränumerisch) Zähle mal alle Klötze, zähle mal nur die Blauen, zähle mal nur die roten (Numerisch)

Damit Kinder mithilfe des Zählens Anzahlen richtig bestimmen können, müssen sie über verschiedene Teilkompetenzen verfügen. Diese Kompetenzen nennt man Zahlprinzipien. Diese Zahlprinzipien sind nicht isoliert, sondern stark vernetzt. Man unterscheidet zwischen 5 verschiedenen:

1.  Eindeutigkeitsprinzip (1-zu-1 Zuordnung) - Wie gezählt?
   Jedem der zu zählenden Objekten wir genau ein Zahlwort zugeordnet. Um dies leisten zu können, muss das Kind die Menge handelnd oder mental in bereits gezählte und noch nicht gezählte Objekte teilen. Das Verschieben von bereits gezählten Objekten unterstützt diesen Prozes, ist aber nicht zwangsläufig nötig.Wir ein Zahlwort mehrfach verwendet, ein Objekt mehrfach gezählt oder beim Zählen übersehen, so wird gegen dieses Prinzip verstossen.
    
2. Prinzip der stabilden Ordnung (Konkrete Reihenfolge kennen) - Wie gezählt?
   Die Reihe der Zahlwörter hat eine feste Ordnung. Um richtige Zählergebnisse zu erhalten, müssen die Zahlwöörter in einer stabilen Reihenfolge genannt werden, die jederzeit wiederholbar ist. Die Anforderung diesem Prinzip Genüge zu tun, steigt, je mehr Objekte gezählt werden müssen. Wenn Zahlwörter nur begrenzt beherrscht sind, kann es zu Schwierigkeiten kommen
    
3. Kardinalzahlprinzip (das letzte Zahlwort kennen) - Wie gezählt?
   Das zuletzt genannte Zahlwort gibt die Anzahl der Objekte einer Menge an. Diese Erkenntnis kann nicht losgelöst von den ersten beiden Prinzipien erfolgen.Bsp: Kardinalzahlprinzip nicht verstanden wenn ein Kind zum Beispiel als Ergebnis die nachfolgende Zahl nennt: Bei 5 Plättchen sagt es 6.
    
4. Abstraktionsprinzip - Was gezählt?
   Es kann jede beliebige Menge ausgezähöt werden, d.h. es kommt nicht darauf an, weöche Art die Objekte sind, die gezählt werden.Bsp: Ein Kind hat das Abstraktionsprinzip nicht verstanden, wenn es auf einem Tisch 2 blaue Punkte und 4 rote Punkte zählt, statt insegesamt 6 Punkte. (Denn es zählt nach Eigenschaften)
    
5. Prinzip der Irrevelanz der Anordnung - Was gezählt?
   Die jeweilige Anordnung der zu zählenden Objekte und auch die Reihenfolge, in der die Objekte gezählt werden, ist für das Zählergebnis nicht von Bedeutung. Dazu muss das Kind verstehen, dass das Zahlwort nicht die spezifische Eigenschaft eines Objektes ist und dass sich das Zählergbnis nicht ändert, wenn der Zählprozess bei einem anderen Objekt beginnt.

Zählprinzipien:

Um die Frage: "Wie viele sind es?" beantworten zu können, muss Ben die Zahlwortreihe beherrschen (Prinzip der stabilen Ordnung), einem Gegenstand genau ein Zahlwort zuordnen (Eindeutigkeitsprinzip) und wissen, dass das zuletzt genannte Wort des Zählprozesses die Anzahl (Kardinalprinzip) angibt.

Tom stellt fest, dass er den Startpunkt des Zählens frei wählen kann und jedes Mal zum selben Ergebnis gelangt (Prinzip der Irrelevanz der Anordnung).
Unter dem Abstraktionsprinzip versteht man, dass es für die Bestimmung der Menge irrelevant ist, um welche Gegenstände es sich handelt.

Kinder kennen zwar Zahlwörter, können aber diese zu Beginn nicht in einer stabilen Reihenfolge verwenden (1,2,3,7,9,15). Bis zu diesem Erwerb werden verschiedene Entwicklungsniveaus durchlaufen:

1. Ganzheit Zahlwort Gedichtmässig):
Anfangs können Kinder die Zahlwörter in der Regel nur als Ganzes - ähnlich einem GEdicht - aufsagen. Sie erkennen nicht die einzelnen Zahlwörter in ihrer Sprachmelodie "einszweifreivierfünf". Deshalb kann die Zahlwortreihe in diesem Studium nicht zum Zählen verwendet werden, da eine 1-zu-1 Zuordnung so nicht möglich ist.

2. Unflexible Zahlwortreihe (=Zählen beginnt nur von 1):
Auf diesem Nivea können einzelne Zahlwörter zwar von anderen getrennt werden, die Kinder müssen aber - um die Zahlwortreihe korrekt reproduzieren zu können - bei eins beginnen. Die Zahlwortreihe beispielsweise mit dem Zahlwort vier zu staren, gelingt den Kindern hier noch nicht. Anzahlbestimmung durch Zählen sind auf diesem Niveau möglich.

3. Teilweise flexible Zahlwortreihe (Zählen ab bestehtender Zahl):
Ist die Zahlwortreihe teilweise flexibel, so können Kinder bei jedem beliebigen Zahlwort mit dem Aufsagen der Zahlwörter beginnen. Sie können auch benennen, welche Zahl vor einem bestimmten Zahlwort kommt und welche nachher. Mit einer gewissen zeitlichen Verzögerung entwickelt sich auch die Fähigkeit, rückwärts zu zählen.

4. Flexible Zahlwortreihe (Von einer Zahl in Schritten weiterzählen):
Jedes Zahlwort wird als Einheit aufgefasst und die Zahlwortreihe wird von verschiedenen, Zahlwörtern ausgehend beherrscht. Kinder sind auf diesem Niveau auch in der Lage, von einem bestimmten Zahlwort um eine vorgegebene Anzahl von Schritten weiterzuzählen. Dies sind erste Voraussetzungen für ein zählendes Lösen von Additionsaufgaben: Bsp: Ich zähle von der 5 um drei Schritte weiter, dann bin ich bei acht.

5. Vollständig umkehrbare Zahlwortreihe (Wechsel der Zählrichtung vorwärts & rückwärts):
Wenn Kinder von jedem beliebigen Zahlwort aus die Zahlwortreihe vorwärts & rückwärts nennen können, haben sie dieses Entwicklungsniveau erreicht. Sie sind auch in der Lage, die Zählrichtung zu verändern, was wiederrum den Einblick in die Zusammenhänge zwischen Addition und Subtraktion erleichtert.

Zahlwortbildung:

1.  Lernen 1-12
2.  Lernen 13-20 (Immer einer und dann Zehner nennen)
3.  Lernen 30-40-50 (Immer mit zig)
4.  Lernen 21,22,23 (Gleich wie 13-20 aber mit "und")
5.  Lernen ab 100 (Richtungswechsel zuerst Hunderter, dann Einer, dann Zehner nennen)

Zählfehler:
Häufig werden Zahlen ausgelassen. Das verbale Zählen stellt hohe Anfordderung an das Arbeitsgedächtnis und eine nachlassende Konzentration beim Zählen kann zu diesen Auslassungen führen. Besondere Form der Zahlauslassung:

1. Zahlen mit gleichen Ziffern (Schnappszahlen):
   Wenn Kinder die Vorgänger einer solchen Zahl aussprechen (z.B. 3 und vierzig) finden sich zwei Zahlwörter in der bekannten Reihung. Dies lässt die Kinder vermuten, dass als als nächste Zahl die 5 kommt. In der Folge wird die 44 ausgelassen und die 45 als nächste Zahl genannt.
    
2. Erfindung neuer Wörter:
   Die meisten Sprachen fangen mit der vorderen Zahl an & enden mit der hinteren. (dix-sept) aber bei uns im Deutschen ist dies anders: Sieb-Zehn! Deshalb kommt es zu Fehlern wie Einzig (10), Zehnwei (12), Achtungsechzig (86) etc.
    
3. Schwierigkeiten beim Übergang über den Zehner:
   Anstelle von 29 oder 39 wird z.B. das Zahlwort "Neunzig" genannt! (Letzte Zahl wird genommen und "zig" hintendran gehängt)
    

Die verschiednen Bedeutungszusammenhänge von Zahlen werden in der Mathematikdidaktik unter dem Oberbegriff "Zahlaspekt" zusammengefasst. Für die Entwicklung eines umfassenden Zahlbegriffs ist es unabdingbar, dass Kinder Beziehungen zwischen den folgenden verschiedenen Zahlaspekten erkennen bzw. herstellen können.

• Kardinalaspekt:
  - Zahlt gibt Anzahl einer Menge an
  - Antwort auf: Wie viel?
   
• Ordinalzahlaspekt:
  - kennzeichnet Position in einer festen Reihenfolge (Ordunung)
  - Antwort auf: Der Wievielte?
   
• Masszahlaspekt:
  - Zahlen bekommen durch Masseinheit neue Bedeutung (3min - 3 meter)
  - Zahl sagz nur etwas aus als mit Mass (3kg Kirschen nicht dasselbe wie 3)
   
• Operatoraspekt:
  - beschreibt Wiederholungen von Vorgängen
  - Antwort auf: Wie oft? (einmal, zweimal..)
   
• Rechenzahlaspekt:
  - stehen algebrischen Gesetzmässigkeiten im Mittelpunkt bsp. 3+4 = 4+3
   
• Codierungsaspekt:
  - Zahlen in Telefonnummer, Autokennzeichen

1. Ebene: "Basisfertigkeiten"
   Unterscheiden von kleinen Anzahlen (1-4 Elementen) und das Vergleichen von Mengen im Sinn von "gleich viel, mehr, weniger etc.)
    
2. Ebene: "Anzahlkonzept"
   Erkenntnis, dass Zahlwörter Mengen repräsentieren bzw. das Mengen mit Zahlwörter beschreiben werden & bestimmt werden.
    
3. Ebene: "Mengenrelation als Anzahlen"
   Auf dieser Ebene vollzieht sich der Übergang zu einem arithmetischen Verständnis von Zahlen, Kinder erkennen, dass sich eine bestimmte Anzahl aus (zwei) anderen Anzahlen zusammensetzet und dass dies mit Zahlwörtern beschreiben werden kann. (5 Plättchen kann man in 2 und 3 aufteilen)

• Förderung Zählfertigkeiten (Grundbaustein des Rechnens):
  Zahlenlieder, Zahlenreihe aufsagen, Vereinfachtes Leiterlispiel
• Anzahlbestimmung (Erkenntnis, da Zahlwörter Mengen repräsentieren):
  Zahlen auf dem Bauernhof
• Verschiedene Zahlaspekte (Kardinal, Ordinal, Massanzahl, Codierung, Rechenzahl etc.)
  Jasskarte mit Sternen = Wie viele Sterne? , Telefonnummern, Preise etc.
• Teil-Ganzes-Konzept (Teilen & wieder zusammenfügen):
  Würfelpunkte : Insgm 6 Punkte: 3 Rote 3Weisse = 3x2=6

Zählkompetenz kann mach auch fördern durch Zählen ohne Zählhandlungen: Klatschen, Hüpfen, Stampfen etc.
Im Unterricht sollten also mit und ohne Zählhandlungen vorkommen (grosse Herausforderung für Kinder)!)

Konzeptionen elemanterer mathematischer Bildung sollte einerseits die mathematischen Inhalte dem Alter der Kinder entsprechend praktisch und konkret dargeboten werden, andererseits sollte aber auch darauf geachtet werden, dass fachliche Grundideen klar und anschlussfähig erfahrbar gemacht werden können. Vor allem sollte man darauf achten das Kinder mit unterschiedlichen Kompetenzniveaus miteinander spielen, lernen und arbeiten können.

Es gibt zwei konzeptionelle Richtungen:

• Trainings- bzw. Förderprogramme:
  Mit Trainingsprogramm "Entdeckung im Zahlenland" & "Komm mit ins Zahlenland" liegen zwei ähnliche Konzeptionen vor. Beide Konzeptre verfolgen das Ziel, einen Zahlenbegriff in ganzheitliche gestalteten Lerneinheiten aufzubauen und gestützt durch sinnliche Erfahrungen. Hilfsmittel sind Platten mit aufgemalten Ziffern. Das Hauptproblem ist die hohe emotionale Beziehung, die mit den Zahlen aufgebaut werden soll & das eine ständige Präsenz der Lehrerin voraussetzung ist. 
   
• Bewusstes Nutzen von natürlichen Lernsituationen:
  Natürliches Lernen ist im Gegensatz zu schulischem Lernen gekennzeichnet druch "ein hohes Mass" an Eigenaktivität, Sachinteresse, relativ grosse und andauernde Konzentration, verstärkte Einprägung etc.
  Man geht dabei gezielt mit einzelnen Situationen um & möchte nicht möglichst viel "durchquetschen". Denn vieles, mit dem die Kinder spielen und was sie bearbeiten, beinhaltet mathematische Vorerfahrung. Gute Beispiele für diese Konzeptrion sind "Mathe-Kings" oder "zahlenbuch".

Studie: SpiMaF = Spielintegrierte Mathematische Frühförderung

• 35 KG wurden in 3 Gruppen unterteilt (2x Interventionsgruppe 1x Kontrollgruppe)
• Beide Interventionsgruppen während 8 Wochen 3x wöchtenlich 30 Minuten mathematisch gefördert
  1. Interventionsgruppe gefördert mit: Mengen zählen Zahlen (mZZ)
  2. Interventionsgruppe geförder mit: Spielintegriertes Fördern (anhand 12 verschiedenen Spielen)
• Kontrollgruooe: Erhielt keine besondere mathematische Förderung, die LP setzte Unterricht wie gewohnt fort.

Resultate:

Die Kinder mit spielintegrierter Frühförderung (SpiF) lernen mindestens so gut wie mit dem Training. Die Lernfortschritte, welche die Kinder der drei Gruppen im Verlauf der Interventionszeit erzielt haben, sind deutlich:

• SpiF Gruppe deutlich mehr gelernt als Kontrollgruppe
• mZZ Gruppe nicht besser abgeschnitten als Kontrollgruppe
• Vom mZZ profitieren vor allem Kinder mit geringem mathematischem Vorwissen
• Von SpiF profitieren alle Kinder, unabhägig von Vorwissen/Lernstand

Kernaussage:

Spielintegriertes Fördern im KG ist sehr wichtig und man erzielt damit die gleichen Ergebnisse wie mit einem Trainigsprogramm. Es geht also aus didaktischer Sicht auch mit etwas weniger Verschulung. Die Spiele lassen sich einfacher an die Förderung des Rechnens bei fortgeschrittenen Kindern anwenden. Wichtig ist, dass die SPiele passend auf die frühen mathematischen Fähigkeiten der Kinder abgestimmt sind. Sie sollten unterschiedliche mathematische Aktivitäten fördern.

Kompetenzerwerb in Klassenstufen

Zu den Lernzielen des Mathematikunterrichts gehört auch der Erwerb geomatrischer Fähigkeiten und Fertigkeiten. Diese stehen in enger Beziehung zum räumlichen Denken. Es gibt verschiedene Stufen beziehungsweise Phasen des Lernprozesses, die Kinder beim geometrischen Lernen durchlaufen:

• Niveaustufe 0 (räumlich-anschauungsgebundenes Denken):
  Kinder erfassen und erkennen eine geometrische Figur als Gestalt. Erkennen aber Eigenschaften & Bestandteile der Figur nicht!
  Können z.b. gerade Linien von gewellten Linien unterscheiden, aber nicht Oval und Kreis.
   
• Niveaustufe 1 (visuelles Denken)
  Die Kinder können nun die Objekte anhand der Wahrnehmung nach sichtbaren Merkmalen beschreiben & erkennen Charakteristisches! z.B. Was passt zum Kreis? Oval, Dreieck oder Quadrat.

Spielerische mathematische Aktivitäten KG:

• geometrische Formen kennenlernen (Mosaik-Künstler = Blatt in 3 Stücke schneiden & Formen legen)
• Legen & bauen (Bauen ohne zu sehen = 1 SuS etwas vorbauen & dem zweiten beschreiben & nachbauen)
• Grunderfahrung Symmetrie (Spiegel-Spiel= 5 Plättchen & Spiegel so hinhalten dass 7 Plättchen zusehen)
• Orientierung im Raum (Wo bin ich? Kind beschreibt Weg & andere müssen gedanklich folgen)
• Motorische Grundfertigkeiten: (Rechte Hand auf linkes Knie)

Römisches Zahlensystem:

• Zuerst werden die Tausender notiert, dann die Hunderter, dann die Zehner & dann die Einer
• Falls zu D Hunderter bzw. zu L Zehner bzw. zu V Einer hinzugezählt werden sollen, stehen diese rechts von D bzw. L bzw. V.
• Ein Zeichen I, X oder C darf nur von dem jeweils Fünf- oder Zehnfachen abgezogen werden, man notiert das abzuziehende Zeichen dann unmittelbar links vor dem zu vermindernden Zeichen
• Unter beachtung der ersten drei Regeln müssen möglichst wenige Zeichen geschrieben werden

In der römischen Zahlschrift hat also jedes Zahlzeichen im Wesentlichen einen festen Wert, unabhängig von der Stellung im Zahlwort. Den Zahlwert eines mehrstelligen Zahlwortes erhalten wir im Wesentlichen durch Addition. Eine Null ist in der römischen Zahlschrift daher nicht notwendig. Wegen der Rehung werden die Zahlwörter allerdings oft recht lang und unübersichtlich.

Heutige Zahlenschrift:

Wir benutzen heute die Darstellung des Bündelungszeichens. Dies wird dadurch erreicht, dass den Zahlzeichen nicht ständig ein fester Zahelnwert zugeordnet wird. Vielmehr ist der Wert der Ziffern je nach Stellung im Zahlwort äusserst unterschiedlich.

• Die Ziffer gibt uns die Anzahl der Bündel betreffenden Mächtigkeit an (Zahlenwert der Ziffer)
• Die Stellung der Ziffer des Zahlwortes gibt die Mächtigkeit des zugehörigen Bündels an (Stellenwert der Ziffer)

Problem: Wortform (dreiundvierzig) Zifferform 43

Die Römer haben früher nicht mit den römischen Zahlen gerechnet. Sie benutzten für die Rechenoperation wie die Addition das Rechenbrett Abakus mit Hilfe von Münzen, Steinen oder Kugeln. Der Abakus besteht aus 7 Spalten mit beispielsweise den Einheiten I, X (=10'000), C (=100'000), M (=1'000'000). Während die Felder unterhalb dieser Einheiten für die entsprechenden Einheiten reserviert sind, stehen die oberen Felder für die Einheiten fünf, fünfzig, fünfhundert, fünftausend usw. zu Verfügung. Die Zahl 647'518 hat dafür folgende Darstellung: