Mathematik
Mathe 6: Quadratische Funktionen und Gleichungen
Mathe 6: Quadratische Funktionen und Gleichungen
Die Normalparabel
y = x2
- Der Graph hat eine Symetrieachse
- Der Graph schneidet die Symetrieachse am tiefsten/höchsten Punkt.
- Verschiebt sich der Graph auf der Y-Achse dann lautet die Formel:
y = x2 + c (Verschiebung nach oben)
y = x2 - c (Verschiebung nach unten)
Die Parabel y = ax2
a bestimmt die Form des Graphen.
Ist a kleiner als 1, dann ist der Graph breiter.
Ist a größer als 1, dann ist der Graph schmäler.
Wenn a postitiv ist dann ist der Graph nach oben geöffnet, wenn a negativ ist dann ist der Graph nach unten geöffnet.
Maßstab Y-Achse
Wenn man die Parabel y = ax2 mit der Schablone zeichnen möchte muss man die Y-Achse anpassen.
Bsp. Bei y = 2x2 sind die 1cm Schritte immer 2x (2;4;6;8;usw....)
Verschiebung der Parabel auf der x-Achse
Wird der Graph auf der x-Achse verschoben dann lautet die Formel:
y = (x+d)2 Verschiebung nach links
y = (x-d)2 Verschiebung nach rechts
y = (x+d)2 +c Verschiebung auf der y-Achse
Aus der Scheitelpunktsform y = a(x + d)2 + e kann man einfach den Scheitelpunkt S(d;e) ablesen.
Die algemeine Formel für Quadratische Gleichungen lautet:
y = ax2 + bx + c
Reinquadratische Gleichungen
Reinquadratische Gleichungen:
x2 = c oder ax2=c
Lösungen:
x2 = c /√
x = √c - x = √-c
1. c > 0 es gibt zwei Lösungen
2. c = 0 es gibt eine Lösung
3. c < 0 es gibt keine Lösung
Bsp.
3x2-75 = 0 /:3
x2-25 = 0 /+25
x = 25 /√
x1 = √25 - x2 = -√25
x1 = 5 - x2 = -5
L = (-5;5)
Gemischtquadratische Gleichungen
Bei der gemischtquadratischen Gleichung kommt x2 sowie x vor.
x2 + bx = 0 --> x(x+b) = 0
x = 0; x = -b
Bsp.
1)
7x2 -35x = 0 /:7
x2 -5x = 0 /x ausklammern
x(x-5) = 0
x = 0; x-5 = 0
x1 = 0 - x2 = 5
2)
(x-5)2 = 16 /√
(x-5) = 4
x-5 = 4 - x-5 = -4
x1 = 9; x2 = 1
3) umstellen in ein Bionom
x2 - 10x - 39 = 0
+52 auf beiden Seiten addieren um ein Bionom zu erhalten ind 39 auf die andere Seite setzen.
x2 - 10x + 52 = 39 + 52
(x-5)2 = 64 /√
x-5 = 8; x-5 = -8
x1 = 13; x2 = -3
pq-Formel
Gleichungen müssen immer erst in Normalform gebracht werden um sie mit der pq-Formel zu rechnen.
Gemischtquadratische Gleichungen haben die Normalform:
x2 + px + q = 0
Äquivalent zur Normalform ist die allgemeine Form:
ax2 + bx + c = 0
Der Ausdruck unter der Wurzel wird als Diskriminate D bezeichnet.
x1 und x2 sind die Nullstellen der x-Achse; die Symetrieachse ist x = -p/2
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Die Normalparabel
y = x2
- Der Graph hat eine Symetrieachse
- Der Graph schneidet die Symetrieachse am tiefsten/höchsten Punkt.
- Verschiebt sich der Graph auf der Y-Achse dann lautet die Formel:
y = x2 + c (Verschiebung nach oben)
y = x2 - c (Verschiebung nach unten)
Die Parabel y = ax2
a bestimmt die Form des Graphen.
Ist a kleiner als 1, dann ist der Graph breiter.
Ist a größer als 1, dann ist der Graph schmäler.
Wenn a postitiv ist dann ist der Graph nach oben geöffnet, wenn a negativ ist dann ist der Graph nach unten geöffnet.
Maßstab Y-Achse
Wenn man die Parabel y = ax2 mit der Schablone zeichnen möchte muss man die Y-Achse anpassen.
Bsp. Bei y = 2x2 sind die 1cm Schritte immer 2x (2;4;6;8;usw....)
Verschiebung der Parabel auf der x-Achse
Wird der Graph auf der x-Achse verschoben dann lautet die Formel:
y = (x+d)2 Verschiebung nach links
y = (x-d)2 Verschiebung nach rechts
y = (x+d)2 +c Verschiebung auf der y-Achse
Aus der Scheitelpunktsform y = a(x + d)2 + e kann man einfach den Scheitelpunkt S(d;e) ablesen.
Die algemeine Formel für Quadratische Gleichungen lautet:
y = ax2 + bx + c
Reinquadratische Gleichungen
Reinquadratische Gleichungen:
x2 = c oder ax2=c
Lösungen:
x2 = c /√
x = √c - x = √-c
1. c > 0 es gibt zwei Lösungen
2. c = 0 es gibt eine Lösung
3. c < 0 es gibt keine Lösung
Bsp.
3x2-75 = 0 /:3
x2-25 = 0 /+25
x = 25 /√
x1 = √25 - x2 = -√25
x1 = 5 - x2 = -5
L = (-5;5)
Gemischtquadratische Gleichungen
Bei der gemischtquadratischen Gleichung kommt x2 sowie x vor.
x2 + bx = 0 --> x(x+b) = 0
x = 0; x = -b
Bsp.
1)
7x2 -35x = 0 /:7
x2 -5x = 0 /x ausklammern
x(x-5) = 0
x = 0; x-5 = 0
x1 = 0 - x2 = 5
2)
(x-5)2 = 16 /√
(x-5) = 4
x-5 = 4 - x-5 = -4
x1 = 9; x2 = 1
3) umstellen in ein Bionom
x2 - 10x - 39 = 0
+52 auf beiden Seiten addieren um ein Bionom zu erhalten ind 39 auf die andere Seite setzen.
x2 - 10x + 52 = 39 + 52
(x-5)2 = 64 /√
x-5 = 8; x-5 = -8
x1 = 13; x2 = -3
pq-Formel
Gleichungen müssen immer erst in Normalform gebracht werden um sie mit der pq-Formel zu rechnen.
Gemischtquadratische Gleichungen haben die Normalform:
x2 + px + q = 0
Äquivalent zur Normalform ist die allgemeine Form:
ax2 + bx + c = 0
Der Ausdruck unter der Wurzel wird als Diskriminate D bezeichnet.
x1 und x2 sind die Nullstellen der x-Achse; die Symetrieachse ist x = -p/2
