Mathematik
Differentialrechnung
Differentialrechnung
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Lernkarten
Was erhält man durch das Ableiten einer Funktion?
Deren Steigungsverhalten.
Potenzregel
Allgemein gilt: \(y=x^n\) hat die Ableitung \(y'=\dots\)?
\(y'=n\times x^{n-1}\)
Wie lautet die Potenzregel?
\(f(x)=x^{n}\implies f'(x)=n\times x^{n-1}\)
In Worten: Eine Potenzfunktion wird abgeleitet (differenziert), indem man den Exponenten um eins verringert und die Potenz mit der alten Hochzahl multipliziert.
Potenzregel
Leite ab: \(f(x)=x^4\)
\(f'(x)=4\times x^{4-1}=4x^3\)
Die Regel gilt für alle Exponenten, also auch für negative, gebrochene und sogar irrationale Exponenten.
Potenzregel
Leite ab: \(f(x)=x^{2n}\)
\(f'(x)=2n\times x^{2n-1}\)
Verkürzen des Exponenten ist nicht möglich!
Potenzregel
Leite ab: \(f(x)=x^{2n-3}\)
\(f'(x)=(2n-3)x^{2n-4}\)
Potenzregel
Leite ab: \(f(x)=\frac1{x^2}\)
Damit wir die Potenzregel anwenden können, müssen wir den Funktionsterm mithilfe von \({1\over a^n}=a^{-n}\)umformen und können dann ableiten: \(f(x)=x^{-2}\implies f'(x)=-2\times x^{-2-1}=-2x^{-3}=-{2\over x^3}\)
Potenzregel
Leite ab: \(f(x)=\sqrt[3]x^7\)
In diesem Fall formen wir mithilfe von \(\sqrt[m]a^n=a^{n\over m}\) um: \(f(x)=x^{7\over 3}\implies f'(x)={7\over 3}\times x^{{7\over 3}-1}={7\over3 }x^{4\over 3}={7\over 3}\sqrt[3]x^4\)
Potenzregel
Leite ab: \(f(x)={1\over \sqrt x}\)
Nun werden beide Umformungsregeln kombiniert, wobei an \(\sqrt x=\sqrt[2]x^1\)zu denken ist: \(f(x)={1\over x^{1\over 2}}=x^{-{1\over 2}}\implies f'(x)=-{1\over 2}x^{-{1\over 2}-1}=-{1\over 2}x^{-{3\over 2}}=-{1\over {2\sqrt x^3}}\)
Wie lautet die Faktorregel?
Ist a eine Zahl, also unabhängig von der Variablen, so gilt: \(f(x)=a\times g(x)\implies f'(x)=a\times g'(x)\)
In Worten: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.
Faktorregel
Leite ab: \(f(x)=8\times x^4\)
Die Ableitungsfunktion von \(x^4\)ist \(4x^3\). Also gilt: \(f'(x)=8\times 4x^3=32x^3\)
Für Potenzfunktionen ergibt sich, dass der Faktor mit der alten Hochzahl multipliziert werden muss. Im Normalfall notiert man kein Zwischenergebnis, sondern sofort das Endergebnis.
Faktorregel
Leite ab: \(f(x)=5x\)
Wegen \(5x=5x^1\)gilt entsprechend: \(f'(x)=5\times 1x^{1-1}=5x^0=5\times 1=5\)
Faktorregel
Leite ab: \(f(x)={3\over 4x^2}\)
Die Potenz – und nur die Potenz, nicht der zugehörige Faktor – wird mit negativem Exponenten geschrieben: \(f(x)={3\over 4}\times {1\over x^2}={3\over 4}x^{-2}\). Die Ableitungsfunktion lautet damit: \(f'(x)={3\over 4}\times (-2)\times x^{-2-1}=-{3\over 2}x^{-3}=-{3\over 2x^3}\)
Wie lautet die Summenregel?
\(f(x)=g(x)+h(x)\implies f'(x)=g'(x)+h'(x)\)
In Worten: Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden Summanden für sich ableitet und die Ableitungen addiert.
Summenregel
Leite ab: \(f(x)=x^4+x^{-2}\)
Die Ableitungsfunktion von \(x^4\)ist \(4x^3\), diejenige von \(x^{-2}\)ist \(-2x^{-3}\). Also gilt: \(f'(x)=4x^3+-2x^{-3}\)
Summenregel
Leite ab: \(f(x)=x^2+\sqrt x+{1\over x^3}\)
Natürlich gilt die Summenregel auch für mehr als zwei Summanden, und mit den üblichen Umformungen bekommt man: \(f(x)=x^2+x^{1\over 2}+x^{-3}\implies f'(x)=2x+{1\over 2}x^{-{1\over 2}}-3x^{-4}\)
Einige Lehrer möchten das Ergebnis mit Brüchen und Wurzeln sehen: \(f'(x)=2x+{1\over 2\sqrt x}-{3\over x^4}\)
Wie lautet die Konstantenregel?
\(f(x)=c=konstant\implies f'(x)=0\)
Konstantenregel
Leite ab: \(f(x)=2\)
\(f(x)=2\implies f'(x)=0\)
