Mathematik
MATHE 3: Geometrie I
MATHE 3: Geometrie I
Mathematische Symbole
Geometrie
Symbole der Geometrie
Winkel, Winkelmessung, Winkelsätze
Die Drehung nach links heißt positive Drehrichtung = mathematische Drehrichtung
Die Drehung nach rechts heißt negative Drehrichtung
Punkt M(ittelpunkt) ist der Scheitel des Winkels (Scheitelpunkt).
Die Halbgeraden im Winkel heißen Schenkel
Vollwinkel: Schenkel a und b fallen aufeinander, Winkelgröße beträgt 360°
Spitzer Winkel: Winkelgröße liegt zwischen 0° und 90°
Rechter Winkel: Winkelgröße 90°
Stumpfer Winkel: zwischen 90° und 180°
Gestreckter Winkel: 180° beide Schenkel bilden eine Gerade
Überstumpfer Winkel: zwischen 180° und 360°
Nullwinkel: 0°
Zwei gegenüberliegende Winkel mit der gleichen Größe heißen Scheitelwinkel
Die an einem Winkel anliegen heißen Nebenwinkel
Scheitel- und Nebenwinkel ergeben 180°
Kreis und Gerade
Gelb = Passante p
Rot = Tangente t die mit dem Kreis k und Punkt P gemeinsam hat
Grün = Sekante s
Orange = Sehen QR und (ST = Durchmesser d)
Maßstäbe
Maßstab = Bildgröße : Gegenstandsgröße
Bsp.:
1:5000 = 1cm Bildgröße entspricht 5000cm in Original
Geradenspiegelung
- jede Geradenspiegelung ist durch die Spiegelgerade eindeutig festgelegt.
- Punkt P und Bildpunk P' haben den gleichen Abstand von der Spiegelgeraden.
- Jeder Punkt, der auf der Spiegelgeraden liegt, wird in sich selber gespiegelt und ist daher ein Fixpunkt.
- Durch die Spiegelung werden Bildpunkt und Punkt wechselseitig abgebildet.
- Bei der Geradenspiegelung bleibt der positive Drehsinn einer Figur nicht erhalten.
- Durch die Geradenspiegelung wird jedem Punkt der Ebene genau ein Bildpunkt zugeordnet.
- Eine Figur ist achsensymmetrisch zur Symmetrieachse g, wenn sie durch die Geradenspiegelung an g auf sich selbst abgebildet wird.
- Es enstehen kongurente Bilder.
Eigenschaften:
Längen bleiben erhalten (Längentreue)
Winkelgrößen bleiben erhalten (Winkeltreue)
Parallelen bleiben erhalten (Parallelentreue)
Drehspiegelung
- Durch eine Drehung um den Drehpunkt Z mit Drehbetrag a(alpha) wird jedem Punkt P ein Bildpunkt P' in der Ebene E zugeordnet
- Der Drehpunkt Z ist der Fixpunkt der Drehung
- Für alle Punkte der Ebene gilt: IZPI = IZP'I
-Für den Drehbetrag a(lpha) einer Drehung gilt:
0° ≤ a < 360°
- Der positive Drehsinn bleibt für Bildfiguren erhalten.
Punktspiegelung
- Die Punktspiegelung am Punkt Z ist die Drehung um Z mit de, Betrag von 180° (Halbdrehung)
- Drehpunkt Z ist Fixpunkt
- Jede gerade durch Fixpunkt Z ist eine Fixgerade
- Die Strecke von einen Punkt zum Bildpunkt wird durch den Fixpunkt halbiert
- Gerade und Bildgerade sin parralel zueinander.
Geradenspiegelung
Verschiebungen
Drehungen
Punktspiegelung
- Jedem Punkt P wird ein Bildpunkt P' in der Ebene zugeordnet
- Es gelten Längentreue, Parallelentreue und Winkeltreue
- Figur und Bildfigur sind zueinander kongruent
Umwandlungszahl Maßeinheiten
Die Umwandlungszahl ist 100
100mm2 = 1cm2
100cm2 = 1dm2
100dm2 = 1m2
100m2 = 1a
100a = 1ha
100ha = 1km2
Flächen - Umfang
Viereck
Quadrat:
u = 4a
A = a*a bzw. A = a2
Rechteck:
u = 2(a+b) bzw. u = 2a+2b
A = a*b
Parallelogramm:
u = 2(a+b)
A = g * h
A = a*ha
A = b*hb
Trapez:
u = a+b+c+d
A = m*h //m = (a+c):2//
A = 1/2(a+c)*h
Raute:
u = 4a
A = 1/2*e*f
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Mathematische Symbole
Geometrie
Symbole der Geometrie
Winkel, Winkelmessung, Winkelsätze
Die Drehung nach links heißt positive Drehrichtung = mathematische Drehrichtung
Die Drehung nach rechts heißt negative Drehrichtung
Punkt M(ittelpunkt) ist der Scheitel des Winkels (Scheitelpunkt).
Die Halbgeraden im Winkel heißen Schenkel
Vollwinkel: Schenkel a und b fallen aufeinander, Winkelgröße beträgt 360°
Spitzer Winkel: Winkelgröße liegt zwischen 0° und 90°
Rechter Winkel: Winkelgröße 90°
Stumpfer Winkel: zwischen 90° und 180°
Gestreckter Winkel: 180° beide Schenkel bilden eine Gerade
Überstumpfer Winkel: zwischen 180° und 360°
Nullwinkel: 0°
Zwei gegenüberliegende Winkel mit der gleichen Größe heißen Scheitelwinkel
Die an einem Winkel anliegen heißen Nebenwinkel
Scheitel- und Nebenwinkel ergeben 180°
Kreis und Gerade
Gelb = Passante p
Rot = Tangente t die mit dem Kreis k und Punkt P gemeinsam hat
Grün = Sekante s
Orange = Sehen QR und (ST = Durchmesser d)
Maßstäbe
Maßstab = Bildgröße : Gegenstandsgröße
Bsp.:
1:5000 = 1cm Bildgröße entspricht 5000cm in Original
Geradenspiegelung
- jede Geradenspiegelung ist durch die Spiegelgerade eindeutig festgelegt.
- Punkt P und Bildpunk P' haben den gleichen Abstand von der Spiegelgeraden.
- Jeder Punkt, der auf der Spiegelgeraden liegt, wird in sich selber gespiegelt und ist daher ein Fixpunkt.
- Durch die Spiegelung werden Bildpunkt und Punkt wechselseitig abgebildet.
- Bei der Geradenspiegelung bleibt der positive Drehsinn einer Figur nicht erhalten.
- Durch die Geradenspiegelung wird jedem Punkt der Ebene genau ein Bildpunkt zugeordnet.
- Eine Figur ist achsensymmetrisch zur Symmetrieachse g, wenn sie durch die Geradenspiegelung an g auf sich selbst abgebildet wird.
- Es enstehen kongurente Bilder.
Eigenschaften:
Längen bleiben erhalten (Längentreue)
Winkelgrößen bleiben erhalten (Winkeltreue)
Parallelen bleiben erhalten (Parallelentreue)
Drehspiegelung
- Durch eine Drehung um den Drehpunkt Z mit Drehbetrag a(alpha) wird jedem Punkt P ein Bildpunkt P' in der Ebene E zugeordnet
- Der Drehpunkt Z ist der Fixpunkt der Drehung
- Für alle Punkte der Ebene gilt: IZPI = IZP'I
-Für den Drehbetrag a(lpha) einer Drehung gilt:
0° ≤ a < 360°
- Der positive Drehsinn bleibt für Bildfiguren erhalten.
Punktspiegelung
- Die Punktspiegelung am Punkt Z ist die Drehung um Z mit de, Betrag von 180° (Halbdrehung)
- Drehpunkt Z ist Fixpunkt
- Jede gerade durch Fixpunkt Z ist eine Fixgerade
- Die Strecke von einen Punkt zum Bildpunkt wird durch den Fixpunkt halbiert
- Gerade und Bildgerade sin parralel zueinander.
Geradenspiegelung
Verschiebungen
Drehungen
Punktspiegelung
- Jedem Punkt P wird ein Bildpunkt P' in der Ebene zugeordnet
- Es gelten Längentreue, Parallelentreue und Winkeltreue
- Figur und Bildfigur sind zueinander kongruent
Umwandlungszahl Maßeinheiten
Die Umwandlungszahl ist 100
100mm2 = 1cm2
100cm2 = 1dm2
100dm2 = 1m2
100m2 = 1a
100a = 1ha
100ha = 1km2
Flächen - Umfang
Viereck
Quadrat:
u = 4a
A = a*a bzw. A = a2
Rechteck:
u = 2(a+b) bzw. u = 2a+2b
A = a*b
Parallelogramm:
u = 2(a+b)
A = g * h
A = a*ha
A = b*hb
Trapez:
u = a+b+c+d
A = m*h //m = (a+c):2//
A = 1/2(a+c)*h
Raute:
u = 4a
A = 1/2*e*f
