Mathematik
MATHE 2: Variablen und Gleichungen
MATHE 2: Variablen und Gleichungen
1. Bionomische Formel
(a+b)²
=(a+b)(a+b)
=a²+2ab+b²
Das doppelte Produkt von a*b wird addiert
2. Bionomische Formel
(a-b)²
=(a-b)(a-b)
=a²-2ab+b²
Das doppelte Produkt wird subtrahiert.
3. Bionomische Formel
a²-b²
=(a+b)(a-b)
a²-ab+ab-b²
Ausklammern gemeinsamer Faktoren
(Faktorisieren)
Bsp.: mx+my = m(x+y)
1. gemeinsamen Faktor suchen
2. durch den gemeinsamen Faktor dividieren und in Klammer setzen
3. der gemeinsame Faktor wird vor die Klammer gesetzt
Bsp.:
6ax-8ay+10az
=2a(3x-4y+5z)
Bsp.: Sonderfall -1
x+y = -1(-x-y) = -(-x-y)
Bruchtherme
(Variable)
a:b = a/b
Ist der Quotient beider Therme positiv oder negativ, so ist der Bruchtherm positiv.
Besitzt der Therm zwei unterschiedliche Vorzeichen, so ist der Bruchtherm negativ.
Bruchtherme mit Variablen erweitert:
x/3 mit 5 = 5x/15
x/y mit z² = xz²/yz²
Man kann nur kürzen wenn im Zähler oder Nenner ein Produkt vorliegt.
6b/8b = 3/4
x/5x = 1/5
5xy/3xz = 5y/3z
Aus einer Summe darf man nicht kürzen
2x-5/x-5 - Weder 5 noch x dürfen gekürzt werden
Bruchtherme werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Bruchtherme werden dividiert, indem man den Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert
4c/9d * 2e²/5f = 8ce²/45df
2/y : y/2 = 2/y * 2/y = 4/y²
Aussage, Aussageform, Term
Ist eine Gleichung wahr oder falsch ist das eine Aussage.
Enthält eine Gleichung eine Variable oder mehrere, ist das eine Aussageform.
Term ist die Sammelbezeichnung für mathematische Ausdrücke.
Gleichungen
Gleichungen die in ihrer Lösungsmenge übereinstimmen nennt man äquivalente Gleichungen.
Die Umformung nennt man Äquivalenzumformung.
Bei Gleichungen stehen alle Zahlen auf der rechten Seite, und alle Therme mit x auf der linken Seite.
Gleichungen mit Klammerthermen
1. Klammer auflösen
2. Zusammenfassen
3. Gleichung durch die Beizahl der Variable dividieren
4. Lösungsmenge angeben
Bsp. 1:
6(3x+5)+8=12-2(5-5x) /Klammerauflösen
18x+30+8=12-10+10x /zusammenfassen
18x+38=2+10x /-38
18x=-36+10x /-10x
8x=-36 /:8
x=-4,5
Bsp.2:
(x-3)(x+4)=(x+6)(x-4)-5(x+6) /Klammer auflösen
x2+4x-3x-12=x2-4x+6x-24-5x-30 /zusammenfassen
x2+x-12=x2-3x-54 /-x2 ; +3x
4x-12=-54 /+12
4x=-42 /:4
x=10,5
Bruchgleichungen
1. Gemeinsamen Nenner suchen
2. Erweitern der einzelnen Brüche
3. Multiplikation mit dem Hauptnenner
4. Zusammenfassen und ordnen
5. Errechnen der Lösung
Gleichungen mit Formvariablen
Bsp.:(umstellen nach v)
s=v/t /*t
s*t=v
v=s*t
Bsp2.: (umstellen nach b)
u=2a+2b /-2a
u-2a=2b /:2
u-2a / 2=b
b = u-2a / 2
Textaufgaben
Für Textaufgaben gelten fogende Regeln:
1. Text genau lesen
2. Festlegen der Variablen
3. Alle Angaben in einer Gleichung erfassen.
4. Gleichung lösen
5. Antwort formulieren
6. Probe erstellen
Mathematische Vokabeln
vermindert man.. bedeutet -
vermehrt man.. bedeutet +
das doppelte einer Zahl bedeutet 2x
das achtfache einer Zahl bedeutet 8x
der fünfte Teil einer Zahl bedeutet 1/5 x oder x/5
-
- 1 / 12
-
Cartes-fiches
1. Bionomische Formel
(a+b)²
=(a+b)(a+b)
=a²+2ab+b²
Das doppelte Produkt von a*b wird addiert
2. Bionomische Formel
(a-b)²
=(a-b)(a-b)
=a²-2ab+b²
Das doppelte Produkt wird subtrahiert.
3. Bionomische Formel
a²-b²
=(a+b)(a-b)
a²-ab+ab-b²
Ausklammern gemeinsamer Faktoren
(Faktorisieren)
Bsp.: mx+my = m(x+y)
1. gemeinsamen Faktor suchen
2. durch den gemeinsamen Faktor dividieren und in Klammer setzen
3. der gemeinsame Faktor wird vor die Klammer gesetzt
Bsp.:
6ax-8ay+10az
=2a(3x-4y+5z)
Bsp.: Sonderfall -1
x+y = -1(-x-y) = -(-x-y)
Bruchtherme
(Variable)
a:b = a/b
Ist der Quotient beider Therme positiv oder negativ, so ist der Bruchtherm positiv.
Besitzt der Therm zwei unterschiedliche Vorzeichen, so ist der Bruchtherm negativ.
Bruchtherme mit Variablen erweitert:
x/3 mit 5 = 5x/15
x/y mit z² = xz²/yz²
Man kann nur kürzen wenn im Zähler oder Nenner ein Produkt vorliegt.
6b/8b = 3/4
x/5x = 1/5
5xy/3xz = 5y/3z
Aus einer Summe darf man nicht kürzen
2x-5/x-5 - Weder 5 noch x dürfen gekürzt werden
Bruchtherme werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Bruchtherme werden dividiert, indem man den Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert
4c/9d * 2e²/5f = 8ce²/45df
2/y : y/2 = 2/y * 2/y = 4/y²
Aussage, Aussageform, Term
Ist eine Gleichung wahr oder falsch ist das eine Aussage.
Enthält eine Gleichung eine Variable oder mehrere, ist das eine Aussageform.
Term ist die Sammelbezeichnung für mathematische Ausdrücke.
Gleichungen
Gleichungen die in ihrer Lösungsmenge übereinstimmen nennt man äquivalente Gleichungen.
Die Umformung nennt man Äquivalenzumformung.
Bei Gleichungen stehen alle Zahlen auf der rechten Seite, und alle Therme mit x auf der linken Seite.
Gleichungen mit Klammerthermen
1. Klammer auflösen
2. Zusammenfassen
3. Gleichung durch die Beizahl der Variable dividieren
4. Lösungsmenge angeben
Bsp. 1:
6(3x+5)+8=12-2(5-5x) /Klammerauflösen
18x+30+8=12-10+10x /zusammenfassen
18x+38=2+10x /-38
18x=-36+10x /-10x
8x=-36 /:8
x=-4,5
Bsp.2:
(x-3)(x+4)=(x+6)(x-4)-5(x+6) /Klammer auflösen
x2+4x-3x-12=x2-4x+6x-24-5x-30 /zusammenfassen
x2+x-12=x2-3x-54 /-x2 ; +3x
4x-12=-54 /+12
4x=-42 /:4
x=10,5
Bruchgleichungen
1. Gemeinsamen Nenner suchen
2. Erweitern der einzelnen Brüche
3. Multiplikation mit dem Hauptnenner
4. Zusammenfassen und ordnen
5. Errechnen der Lösung
Gleichungen mit Formvariablen
Bsp.:(umstellen nach v)
s=v/t /*t
s*t=v
v=s*t
Bsp2.: (umstellen nach b)
u=2a+2b /-2a
u-2a=2b /:2
u-2a / 2=b
b = u-2a / 2
Textaufgaben
Für Textaufgaben gelten fogende Regeln:
1. Text genau lesen
2. Festlegen der Variablen
3. Alle Angaben in einer Gleichung erfassen.
4. Gleichung lösen
5. Antwort formulieren
6. Probe erstellen
Mathematische Vokabeln
vermindert man.. bedeutet -
vermehrt man.. bedeutet +
das doppelte einer Zahl bedeutet 2x
das achtfache einer Zahl bedeutet 8x
der fünfte Teil einer Zahl bedeutet 1/5 x oder x/5
