Mathe I für Physiker
Grundbegriffe
Grundbegriffe
Assoziativgesetz
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
(a b) c = a (b c) = a b c
Kommuntativgesetz
a + b = b+ a
a b = b a
Distributivgesetz
a (b + c) = ab + ac
Ordnungsaxiom (O3)
Archimedisches Axiom:
Ordnungsaxiom (O2)
->
Ordnungsaxiom (O1)
->
archimedisch geordneter Körper
ein Körper, der die Ordnungsaxiome (O1), (O2) und (O3) erfüllt
Im z
->
Re z
->
Betrag von z Element C
->
surjektiv
zu jedem y-Wert gibt es mindestens ein x-Wert (oder mehrere)
-> zu jedem Bild gibt es mindestens ein Urbild
injektiv
für ein y-Wert höchstens ein x-Wert (also kein oder ein x-Wert)
-> zu jedem Bild gibt es höchstens ein Urbild
bijektiv
surjektiv & injektiv
-> zu jedem Bild gibt es genau ein Urbi
d: R x R
Abstand!
i kartesisches Produkt
(0,1)
Mengen
Durchschnitt
Bsp.: M = {1,2,3} N= {3,4}
Durchschnitt von M & N = {3}
Mengen
Vereinigung
Bsp.: M = {1,2,3} N = {3,4}
Vereinigung von M und N = {1,2,3,4}
Teilmenge
B = {1,2,3,4,5,6}
A = {1,2,3,4,5,6}
alle Elemente die in A enthalten sind, sind auch in B enthalten
echte Teilmenge
B = {1,2,3,4,5,6}
A = {3,4}
Axiome A) - Axiome der Addition
Kommutativgesetz: x+y = y+x
Assoziativgesetz: x+(y+z) = (x+y)+z
neutrales Element: 0
additives Inverses: x+(-x)=0
Axiome M) - Axiome der Multiplikation
Kommutativgesetz: xy=yx
Assoziativgesetz: x(yz)=(xy)z
neutrales Element: 1
Inverses: x * x^-1 = 1
Axiome D) - Distributivgesetz
-> Verträglichkeit von Addition und Multiplikation
- x (y+z) = xy + xz
Definition Körper
->
Cauchy-Folge
Der Abstand zwischen xn und xm ist immer kleiner Epsilon, egal wie viel größer m als n ist.
Merke: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge, aber nicht jede Cauchy-Folge ist eine konvergente Folge (Bsp. Cauchy-Folge in den rationalen Zahlen, die gegen Wurzel zwei läuft.)
Cauchysches Konvergenzkriterium
Das heißt, die Folgenglieder werden so klein, dass die Summe über beliebig viele Folgenglieder immernoch kleiner als Epsilon ist.
Majorantenkriterium
Man vergleicht die zu untersuchende Folge (der Reihe) mit einer größeren Folge von der man weiß, dass sie gegen einen Wert konvergiert. -> konvergente Majorante (Dann konvergiert auch die zu untersuchende Folge.)
Minorantenkriterium
Man vergleicht mit dem Minoratenkriterium die zu untersuchende Folge mit einer kleineren Folge von der man weiß, dass sie divergiert. Dann divergiert auch die zu untersuchende Folge-> divergente Minorante.
Komposition Reihenfolge
g(f(x))
Exponentialreihe
->
Nullstellensatz von Bolzano
->
Zwischenwertsatz
->
Ableitung der Umkehrfunktion
g= Umkehrfunktion
f= Ursprungsfunktion
Satz von Rolle
->
Taylorreihe
Taylorpolynom für endliches n
Riemann-integrierbar
beschränkte Funktion auf dem Intervall (a,b),
wenn gilt:
partielle Integration
->
-
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Lernkarten
Assoziativgesetz
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
(a b) c = a (b c) = a b c
Kommuntativgesetz
a + b = b+ a
a b = b a
Distributivgesetz
a (b + c) = ab + ac
Ordnungsaxiom (O3)
Archimedisches Axiom:
Ordnungsaxiom (O2)
->
Ordnungsaxiom (O1)
->
archimedisch geordneter Körper
ein Körper, der die Ordnungsaxiome (O1), (O2) und (O3) erfüllt
Im z
->
Re z
->
Betrag von z Element C
->
surjektiv
zu jedem y-Wert gibt es mindestens ein x-Wert (oder mehrere)
-> zu jedem Bild gibt es mindestens ein Urbild
injektiv
für ein y-Wert höchstens ein x-Wert (also kein oder ein x-Wert)
-> zu jedem Bild gibt es höchstens ein Urbild
bijektiv
surjektiv & injektiv
-> zu jedem Bild gibt es genau ein Urbi
d: R x R
Abstand!
i kartesisches Produkt
(0,1)
Mengen
Durchschnitt
Bsp.: M = {1,2,3} N= {3,4}
Durchschnitt von M & N = {3}
Mengen
Vereinigung
Bsp.: M = {1,2,3} N = {3,4}
Vereinigung von M und N = {1,2,3,4}
Teilmenge
B = {1,2,3,4,5,6}
A = {1,2,3,4,5,6}
alle Elemente die in A enthalten sind, sind auch in B enthalten
echte Teilmenge
B = {1,2,3,4,5,6}
A = {3,4}
Axiome A) - Axiome der Addition
Kommutativgesetz: x+y = y+x
Assoziativgesetz: x+(y+z) = (x+y)+z
neutrales Element: 0
additives Inverses: x+(-x)=0
Axiome M) - Axiome der Multiplikation
Kommutativgesetz: xy=yx
Assoziativgesetz: x(yz)=(xy)z
neutrales Element: 1
Inverses: x * x^-1 = 1
Axiome D) - Distributivgesetz
-> Verträglichkeit von Addition und Multiplikation
- x (y+z) = xy + xz
Definition Körper
->
Cauchy-Folge
Der Abstand zwischen xn und xm ist immer kleiner Epsilon, egal wie viel größer m als n ist.
Merke: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge, aber nicht jede Cauchy-Folge ist eine konvergente Folge (Bsp. Cauchy-Folge in den rationalen Zahlen, die gegen Wurzel zwei läuft.)
Cauchysches Konvergenzkriterium
Das heißt, die Folgenglieder werden so klein, dass die Summe über beliebig viele Folgenglieder immernoch kleiner als Epsilon ist.
Majorantenkriterium
Man vergleicht die zu untersuchende Folge (der Reihe) mit einer größeren Folge von der man weiß, dass sie gegen einen Wert konvergiert. -> konvergente Majorante (Dann konvergiert auch die zu untersuchende Folge.)
Minorantenkriterium
Man vergleicht mit dem Minoratenkriterium die zu untersuchende Folge mit einer kleineren Folge von der man weiß, dass sie divergiert. Dann divergiert auch die zu untersuchende Folge-> divergente Minorante.
Komposition Reihenfolge
g(f(x))
Exponentialreihe
->
Nullstellensatz von Bolzano
->
Zwischenwertsatz
->
Ableitung der Umkehrfunktion
g= Umkehrfunktion
f= Ursprungsfunktion
Satz von Rolle
->
Taylorreihe
Taylorpolynom für endliches n
Riemann-integrierbar
beschränkte Funktion auf dem Intervall (a,b),
wenn gilt:
partielle Integration
->
