Mathe: Beweise und Tüfteleien (anspruchsvoll)
Beweise Teilbarkeitsregeln, erkläre Eigenschaften mathematischer Ausdrücke, finde Lösungen zu komplexen Aufgabenstellungen. Mit Aufgaben aus SMO (Schweizer Mathematik-Olympiade), Monatsaufgaben 2012/2013
Beweise Teilbarkeitsregeln, erkläre Eigenschaften mathematischer Ausdrücke, finde Lösungen zu komplexen Aufgabenstellungen. Mit Aufgaben aus SMO (Schweizer Mathematik-Olympiade), Monatsaufgaben 2012/2013
Fichier Détails
| Cartes-fiches | 10 |
|---|---|
| Langue | Deutsch |
| Catégorie | Mathématiques |
| Niveau | Collège |
| Copyright | BP Didac |
| Crée / Actualisé | 27.06.2014 / 30.01.2024 |
Warum funktioniert die Teilbarkeitsregel zur Zahl 9: Eine Zahl ist genau dann ohne Rest durch neun teilbar, wenn dies auch für ihre Quersumme gilt?
Wir schreiben unsere Zahlen üblicherweise im Dezimalsystem (Zehnersystem), d. h. jede Ziffer x bezeichnet – je nach Stelle – den Wert x, 10x, 100x, also das Produkt aus der Ziffer selbst und einer Zehnerpotenz. Die Zahl 123 ist z.B. 1·100 + 2·10 + 3·1.
Zehnerpotenzen lassen bei der Division durch 9 immer den Rest 1. Folglich lässt das Produkt x · 10n bei der Division durch 9 denselben Rest wie die Ziffer x und wir können anstatt der Zahl ihre Quersumme betrachten.
Kommentierte Lösung auf YouTube: http://y2u.be/kh8jrno3TLIWarum funktioniert die Teilbarkeitsregel zur Zahl 3: Eine Zahl ist genau dann ohne Rest durch drei teilbar, wenn dies auch für ihre Quersumme gilt?
Wir schreiben unsere Zahlen üblicherweise im Dezimalsystem (Zehnersystem), d. h. jede Ziffer x bezeichnet – je nach Stelle – den Wert x, 10x, 100x, also das Produkt aus der Ziffer selbst und einer Zehnerpotenz. Die Zahl 123 ist z.B. 1·100 + 2·10 + 3·1.
Zehnerpotenzen lassen bei der Division durch 3 immer den Rest 1. Folglich lässt das Produkt x · 10n bei der Division durch 3 denselben Rest wie die Ziffer x und wir können anstatt der Zahl ihre Quersumme betrachten.
Kommentierte Lösung auf YouTube: http://y2u.be/WWjvm9SV0vgWarum funktioniert die Teilbarkeitsregel zur Zahl 4: Eine Zahl ist genau dann ohne Rest durch vier teilbar, wenn die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildete Zahl dies auch ist?
Die Zahl 100 (und damit auch alle ihre Vielfachen) ist ohne Rest durch 4 teilbar. Wir können die gegebene Zahl a...bcdxy also aufteilen in a...bcd00 + xy, wobei jeder Buchstabe jeweils für eine beliebige Ziffer steht.
Da der erste Summand durch vier teilbar ist, brauchen wir nun nur noch die Teilbarkeit des zweiten Summanden zu überprüfen, also eben die Zahl xy, die aus den letzten beiden Ziffern gebildet wurde.
Kommentierte Lösung auf YouTube: http://y2u.be/JzUEd8mq32o
Warum funktioniert die Teilbarkeitsregel zur Zahl 8: Eine Zahl ist genau dann ohne Rest durch acht teilbar, wenn die aus ihren letzten drei Ziffern gebildete Zahl dies auch ist?
Die Zahl 1000 (und damit auch alle ihre Vielfachen) ist ohne Rest durch 8 teilbar. Wir können die gegebene Zahl a...bcdxyz also aufteilen in a...bcd000 + xyz, wobei jeder Buchstabe jeweils für eine beliebige Ziffer steht.
Da der erste Summand durch acht teilbar ist, brauchen wir nun nur noch die Teilbarkeit des zweiten Summanden zu überprüfen, also eben die Zahl xyz, die aus den letzten drei Ziffern gebildet wurde.
Kommentierte Lösung auf YouTube: http://y2u.be/opyC5GwgWsMWarum funktioniert die Teilbarkeitsregel zur Zahl 6: Eine Zahl ist genau dann ohne Rest durch sechs teilbar, wenn sie gerade und durch drei teilbar ist?
Die Zahlen 2 und 3 sind teilerfremd. Wenn eine Zahl ohne Rest durch beide teilbar ist, muss sie auch durch ihr Produkt teilbar sein, denn wenn wir die gegebene Zahl durch 2 teilen, so beeinflusst das nicht ihre Teilbarkeit durch 3.
Kommentierte Lösung auf YouTube: http://y2u.be/sOiGnaEgnpgWarum funktioniert die Teilbarkeitsregel zur Zahl 12: Eine Zahl ist genau dann ohne Rest durch zwölf teilbar, wenn sie durch drei und durch vier teilbar ist? Warum funktioniert es mit 2 und 6 nicht?
Die Zahlen 3 und 4 sind teilerfremd. Wenn eine Zahl ohne Rest durch beide teilbar ist, muss sie auch durch ihr Produkt teilbar sein.
Mit 2 und 6 funktioniert es nicht, weil jene beiden Zahlen nicht teilerfremd sind. Es könnte also sein, dass die gegebene Zahl zwar durch 2 und 6 teilbar ist, dass sie aber, nachdem sie durch 2 geteilt wurde, nicht mehr gerade und somit nicht mehr durch 6 teilbar ist. Ein Beispiel dafür wäre die Zahl 18.
Kommentierte Lösung auf YouTube: http://y2u.be/BA0ZC5fcWowWarum funktioniert die Teilbarkeitsregel zur Zahl 11: Eine Zahl ist genau dann ohne Rest durch elf teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar oder 0 ist.
Wir schreiben unsere Zahlen üblicherweise im Dezimalsystem (Zehnersystem), d. h. jede Ziffer x bezeichnet – je nach Stelle – den Wert x, 10x, 100x, also das Produkt aus der Ziffer selbst und einer Zehnerpotenz. Die Zahl 123 ist z.B. 1·100 + 2·10 + 3·1.
Zehnerpotenzen der Form 10n lassen bei der Division durch 11 immer den Rest 1 (wenn n gerade ist) oder 10 bzw. −1 (für ungerade n).
Folglich lässt x · 10n bei der Division durch 11 jeweils abwechselnd den Rest x bzw. −x und wir können anstatt der Zahl ihre alternierende Quersumme betrachten.
Kommentierte Lösung auf YouTube: http://y2u.be/KawqawE-8rAWarum ist n4 − 1 niemals eine Primzahl?
Wegen
n 4-1 = (n 2+1) (n 2-1) = (n 2+1) (n+1) (n-1)
hat die Zahl (mindestens) drei Teiler. Primzahlen haben aber genau zwei Teiler.
Warum ist für jede natürliche Zahl n der Ausdruck 3 n − 3 ohne Rest durch sechs teilbar?
Wir faktorisieren
3n −3 = 3 (3n−1 −1)
und erkennen, dass es sich um ein Vielfaches von 3 handelt. Ferner ist der Faktor 3 n−1 − 1 sicher eine gerade Zahl. Damit ist die Teilbarkeit durch sechs automatisch gegeben.
Für wie viele natürliche Zahlen n ≤ 2013 ist nn eine Quadratzahl?
Dies gilt für 1006 Zahlen, nämlich für alle geraden n.
Wir können das erkennen, indem wir uns überlegen, dass offenbar nn = (nm) 2 für ein passendes m gelten muss. Nun ist aber n(m)2 = n2m, also n = 2m eine gerade Zahl.
Und natürlich gibt es 1006 gerade Zahlen zwischen 1 und 2013.
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