Mathe

Eine nicht leere Menge mit einer Verknüpfungsoperation mit folgenden Gesetzmäßigkeiten:

- Assoziativgesetz

- Neutrales Element

- Inverses Elememt

- Kommutativgesetz

Beispiel:

Die ganzen Zahlen Q mit der Addition „+“ als Verknüpfung und der Null als neutralem Element

Eine Halbgruppe ist eine nicht leere Menge (H) mit einer Verknüpfungsoperation (+, *) für die folgende Gesetztmäßigkeiten gelten:

- Assoziativität

In einem Summen- oder Produktterm dürfen die Summanden oder Faktoren beliebig mit Klammern verbunden werden. Dies gilt auch für mehr als drei Summanden oder Faktoren.

Im deutschen wird es auch das Verbindungsgesetzt oder Klammergesetzt genannt.

Ist eine mathematische Regel, die angibt, wie sich zweistellige Verknüpfungen bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten.

Wenn das Kommutativgesetz gilt, können die Zahlen einer Rechenoperation vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis verändert.

Im deutschen wird es auch das Vertauschungsgesetz genannt.

Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Verknüpfungen (x, *) für das folgende Rechengesetze erfüllt werden müssen:

- (R, +) ist eine abelsche Gruppe (Assoziativität, Neutrales u. Inverses Element, Kommutativität)

- (R, *) ist eine Halbgruppe (Assoziativität)

- Die Distributivgesetze a * (b+c) = a*b + a*c und (a+b) * c = a*c + b*c sind für alle a,b,c von R erfüllt

Ein Tripel (K, +, *), bestehend aus einer Menge K und zwei binären Verknüpfungen „+“ und „*“ ist genau dann ein Körper, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

- (K, +) ist eine abelsche Gruppe (Assoziativität, Kommutativgesetz, Neutrales und Inverses Element)

- (K, *) ist eine abelsche Gruppe (Assoziativität, Kommutativgesetz, Neutrales und Inverses Element)

- Distributivität gemäß a * (b+c) = a*b + a*c und (a+b) * c = a*c + b*c gilt.

Beispiele:

- Die Menge der rationalen Zahlen (Q, +, *)

- Die Menge der reelen Zahlen (R, +, *)

- Die Menge der komplexen Zahlen (C, +, *)

- Eine Basis ist ein linear Unabhängiges Erzeugendensystem

- Im Gausschen Lösungsverfahren darf keine Null Zeile entstehen

- Jeder Vektor aus V kann auf genau eine Art als Linearkombination der Basisvektoren geschrieben werden

Vorgehensweise:

1. Überprüfung ob alle Vektoren überhaupt im R² oder im R³ usw. liegen

2. Die Vektoren in Stufenform bringen -> Wenn eine Nullzeile entsteht --> Keine Basis da lineare Abhängigkeit besteht

3. Wenn der Rang = der Dimension ist -> Erzeugendensystem -> Wenn dann die Vektoren auch linear Unabhängig sind -> Basis

- Ein Erzeugendensystem (E) ist ein Bausatz für einen Vektorraum (V)

- Mit E < V kann man jeden Vektor aus V bauen

- Das EZS ist also die Menge an Vektoren, mit denen ich die gesamte Menge V durch Linearkombinationen bauen kann

- Kann linear abhängig sein, bei unabhängigkeit ist es ein spezielles Erzeugendensystem -> Eine Basis

Kriterien:

- EZS können beliebig viele Vektoren enthalten, auch solche, die man weglassen könnte und man dann immer noch ein Erzeugendensystem hätte

- Eine Menge von Vektoren, die weniger Elemente enthält als die Dimension des Vektorraums, kann niemals ein Erzeugendensystem sein

Vorgehensweise:

1. Vektoren in eine Matrix bringen und diese in Stufenform bringen

2. Wenn Dimension durch angabe R² oder R³ bekannt und eine Nullzeile entsteht -> Kein EZS

3. Wenn Dimension = Rang -> Erzeugendensystem

- Diese Anzahl an Vektoren in einer Basis ist die Dimension des Vektorraums

- Gibt an wieviele Vektoren man mind. benötigt um den Vektorraum bauen zu können

- Wenn R¹ oder R² oder R³ angegeben ist, ist die Dimension bekannt -> Hochzahl = Dimension

Bestimmung der Dimension:

1. Menge der Vektoren (V) in eine Matrix bringen und in Stufenform bringen

2. Anzahl der Basisvektoren ermitteln -> Anzahl Basisvektoren = dim(V)

- Rang kann genutzt werden für die Veranschaulichung von EZS und Basen

- Wenn Rang gleich Anzahl der Vektoren -> Linear Unabhängig

- Wenn Rang ungleich Anzahl der Vektoren -> Linear Abhängig