MA P120 | 02 Zahl und Variable
MA P120 Mathematik Didaktik 1 | 02 Zahl und Variable
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Lernkarten
Arithmetische Folgen
Eine Folge heisst arithmetisch, wenn die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist.
Beispiele:
1, 2, 3, 4, 5, … immer + 1
5, 10, 15, 20, 25, … immer + 5
…wenn jedes Glied aus dem vorhergehenden durch Addition einer Konstanten, der Differenz, hervorgeht.
Eine Folge heißt geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist.
…wenn jedes Glied aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit einer Konstanten, dem Quotienten, hervorgeht.
Beispiele:
1, 2, 4, 8, 16, … immer mal 2 (2x)
1, 5, 25, 125, 625, … immer mal 5 (5x)
Primzahlen
Primzahlen lassen sich nur durch 1 und sich selbst teilen. Eine Primzahl hat demnach genau zwei (unechte) Teiler: die Zahl 1 und sich selbst.
Die Zahl 1 ist nach diesen Kriterien keine Primzahl (sie hat nur einen Teiler).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Primfaktorzerlegung
Natürliche Zahlen, die nicht Primzahlen sind, lassen sich oft auf mehrere Arten in ein Produkt zerlegen. Die auftretenden Faktoren heissen Teiler.
Wenn man als Faktoren nur Primzahlen wählt, heisst die Zerlegung «Primfaktorzerlegung». Die Primfaktorzerlegung ist eindeutig.
Beispiele:
30 = 2 · 3 · 5
90 = 2 · 32 · 5
68607 = 34 · 7 · 112
Aus der PFZ lassen sich alle Teiler gewinnen.
Teiler und ggT
PFZ: 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7
(echte) Teiler von 42 sind
2, 3, 6, 14 und 21
PFZ: 60 = 22 ∙ 3 ∙ 5
(echte) Teiler von 60 sind
2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 und 30
ggT (42,60): 6
Vielfache
Multipliziert man irgendeine Zahl a mit 1, 2, 3, 4, …, so entstehen Vielfache dieser Zahl a.
Zwei Zahlen können ein gemeinsames Vielfaches haben: 36 ist Vielfaches sowohl von 6 als auch von 9.
Manchmal braucht man von zwei oder mehr Zahlen das kleinste gemeinsame Vielfache, abgekürzt kgV:
kgV (6, 9) = 18
kgV (3, 8) = 24
kgV (8, 12) = 24
kgV (4, 9, 12) = 36
Spezialfälle wie kgV (6, 12) = 12
Teilbarkeitsregeln
Jede Zahl ist durch 1 teilbar.
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer gerade oder 0 ist.
(26 8 , 53 0)
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer 5 oder 0 ist.
(43 5, 635 0)
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist.
(999 0 , 810 0)
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die zwei letzten Ziffern durch 4 teilbar (oder 00) sind.
(1 36 , 44 96)
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die drei letzten Ziffern durch 8 teilbar (oder 000) sind. (6 544 , 11 000)
Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die zwei letzten Ziffern durch 25 teilbar sind.
(52330 75)
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist.
(312 [6], 2538 [18])
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.
(513 [9], 4383 [18])
Eine natürliche Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
(8382 [-11])
Satz von Sylvester
«Jede Zahl lässt sich auf so viele Arten als Summe mindestens zwei aufeinander folgender Zahlen darstellen, wie sie ungerade Teiler > 1 hat.»
