MA P120 | 02 Zahl und Variable

262
818
383
656
909
454
787
616

434 + 343 = 777
515 + 151 = 666
787 + 878 = 1665

Ergebnisse sind Vielfache von 111.
(Summe der beiden Ziffern mal 111.)

74 – 47 = 27
(3 mal 9)

5335 – 3553 = 1782
(2 mal 891)

622 – 226 = 396
771 – 177 = 594
(Vielfache von 99)

623 – 326 = 297
503 – 305 = 198
(Vielfache von 99)

Unter schönen Päckchen versteht man eine Serie von Aufgaben, die nicht willkürlich zu einem Rechenpäckchen zusammengefasst worden sind, sondern die in einem bestimmten Zusammenhang stehen, indem sie sich etwa von Aufgabe zu Aufgabe operativ verändern. Das dadurch entstehende Muster muss dabei noch nicht einmal sonderlich kompliziert sein, wie auch das folgende Beispiel zeigt:

Schönes Päckchen
5 + 5 = 10
6 + 4 = 10
7 + 3 = 10
8 + 2 = 10
9 + 1 = 10

So lassen sich an diesem schönen Päckchen beispielweise folgende Muster bzw. operative Veränderungen entdecken:

• Der 1. Summand wird von Aufgabe zu Aufgabe immer um eins grösser.
• Der 2. Summand wird von Aufgabe zu Aufgabe immer um eins kleiner.
• Das Ergebnis bleibt bei allen Aufgaben gleich.

Während bei klassischen Rechenpäckchen (von Wittmann 1994 auch als «Graue Päckchen» bezeichnet) nur das reine Ausrechnen geübt wird, bieten die sogenannten schönen Päckchen (vgl. Wittmann & Müller 2004) bereits in den unteren Jahrgangsstufen die Möglichkeit, sich mit Zahlbeziehungen und mathematischen Gesetzmässigkeiten auseinanderzusetzen, so dass sowohl Kompetenzbereiche als auch Handlungsaspekte auf vielfache Weise angesprochen werden.

Graues Päckchen
6 + 1 = 7
8 + 3 = 11
2 + 7 = 9
9 + 5 = 14
4 + 4 = 8

1, 3, 6, 10, 15, …

explizite Darstellung
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. + n = D _n = ½ _n · (n + 1)

rekursive Darstellung
D _n = D _n-1 + n

1, 4, 9, 16, 25, …

explizite Darstellung
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 2n-1 = Q_n = n²

rekursive Darstellung
Q_n = Q_n-1 + 2n-1

2, 6, 12, 20, 30, …

explizite Darstellung
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2n = R_n = n·(n+1)

rekursive Darstellung
R_n = R_n-1 + 2n

Reihen entstehen aus Folgen, indem man die Folgenglieder laufend zusammenzählt. Eine Reihe ist also eine Folge von Summen.

Dementsprechend sind die aufeinanderfolgenden natürlichen (ungeraden, geraden) Zahlen eine (arithmetische) Folge.

Die sich daraus ergebenden Summen stellen die Dreieckszahlen (Quadratzahlen, Rechteckzahlen) dar.

Aber: Die Quadratzahlen (als Beispiel) sind wiederum eine Folge (arithmetische Folge zweiter Ordnung)!

Eine Folge heisst arithmetisch, wenn die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist.

Beispiele:
1, 2, 3, 4, 5, … immer + 1
5, 10, 15, 20, 25, … immer + 5

…wenn jedes Glied aus dem vorhergehenden durch Addition einer Konstanten, der Differenz, hervorgeht.

Eine Folge heißt geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist.

…wenn jedes Glied aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit einer Konstanten, dem Quotienten, hervorgeht.

Beispiele:
1, 2, 4, 8, 16, … immer mal 2 (2^x)
1, 5, 25, 125, 625, … immer mal 5 (5^x)

Primzahlen lassen sich nur durch 1 und sich selbst teilen. Eine Primzahl hat demnach genau zwei (unechte) Teiler: die Zahl 1 und sich selbst.

Die Zahl 1 ist nach diesen Kriterien keine Primzahl (sie hat nur einen Teiler).

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Natürliche Zahlen, die nicht Primzahlen sind, lassen sich oft auf mehrere Arten in ein Produkt zerlegen. Die auftretenden Faktoren heissen Teiler.

Wenn man als Faktoren nur Primzahlen wählt, heisst die Zerlegung «Primfaktorzerlegung». Die Primfaktorzerlegung ist eindeutig.

Beispiele:
30 = 2 · 3 · 5
90 = 2 · 3² · 5
68607 = 3⁴ · 7 · 11²

Aus der PFZ lassen sich alle Teiler gewinnen.

PFZ: 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7
(echte) Teiler von 42 sind
2, 3, 6, 14 und 21

PFZ: 60 = 22 ∙ 3 ∙ 5
(echte) Teiler von 60 sind
2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 und 30

ggT (42,60): 6

Multipliziert man irgendeine Zahl a mit 1, 2, 3, 4, …, so entstehen Vielfache dieser Zahl a.

Zwei Zahlen können ein gemeinsames Vielfaches haben: 36 ist Vielfaches sowohl von 6 als auch von 9.

Manchmal braucht man von zwei oder mehr Zahlen das kleinste gemeinsame Vielfache, abgekürzt kgV:
kgV (6, 9) = 18
kgV (3, 8) = 24
kgV (8, 12) = 24
kgV (4, 9, 12) = 36

Spezialfälle wie kgV (6, 12) = 12

Jede Zahl ist durch 1 teilbar.

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer gerade oder 0 ist.
(26 8 , 53 0)

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer 5 oder 0 ist.
(43 5, 635 0)

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist.
(999 0 , 810 0)

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die zwei letzten Ziffern durch 4 teilbar (oder 00) sind.
(1 36 , 44 96)

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die drei letzten Ziffern durch 8 teilbar (oder 000) sind. (6 544 , 11 000)

Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die zwei letzten Ziffern durch 25 teilbar sind.
(52330 75)

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist.
(312 [6], 2538 [18])

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.
(513 [9], 4383 [18])

Eine natürliche Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
(8382 [-11])

«Jede Zahl lässt sich auf so viele Arten als Summe mindestens zwei aufeinander folgender Zahlen darstellen, wie sie ungerade Teiler > 1 hat.»

V

X

L

C

D

M

T | H | Z | E || z | h | t

N

0,1,2,3, …

Z

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Q

Ganze Zahlen und Brüche

R

Rationale Zahlen und irrationale Zahlen (z.B. Wurzel aus 2)

C

Reelle Zahlen und imaginäre Zahlen

«Fünf Kinder spielen im Garten.»

Zahlen geben die Anzahl der Elemente (die Mächtigkeit) von Mengen an.

«Der Mai ist der fünfte Monat im Jahr.»

«Stan verkaufte ⅓ der Schoggitaler und ich nur ¼.»

Zählzahlaspekt: Reihenfolge der natürlichen Zahlen, die beim Zählen durchlaufen werden.

Ordnungszahlaspekt: Rangplatz in einer geordneten Reihe.

«Claudia fährt mit dem Tram 5 zum Zoo.»

Zahlen werden als Namen für bestimmte Objekte benutzt.

«Noch 5 Minuten bis zur Pause!»

«Es geht noch ¼ Stunde bis zur Mittagspause.»

Zahlen geben als Masszahlen zusammen mit einer Masseinheit Grössen an.

«In meiner Klasse hat es fünf Kinder weniger.»

«Steffi, Tim, Nina und ich teilen uns 3 Äpfel.»

algebraischer Aspekt: Eigenschaften beim Rechnen mit Zahlen

algorithmischer Aspekt: Regeln zum Rechnen mit Zahlen in ihrer Darstellung durch Ziffern

«Jeder fünfte Schweizer ist jünger als 20 Jahre alt.»

«Für 20 Personen brauche ich die fünffache Menge.»

«An der Lesenacht nahmen ¼ der 24 Kinder teil.»

Zahlen bezeichnen eine Vielfachheit von Handlungen oder Vorgängen.

«Ich habe nur eine Viertelpizza geschafft.»