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Florian Kaltseis
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Lernende 17 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 22.01.2014 / 24.03.2020
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HESSEsche Normalvektorform

HNF:

|<n,AX> - d| / ||n|| = 0

  • n orthogonal auf Ebene
  • A Punkt in der Ebene
  • X beliebiger Punkt
  • d Abstand von X zur Ebene

Die HNF ist praktisch, weil man mit ihr schnell Abstände berechnen kann.

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  1. Definition symmetrische Matrix
  2. Definition schiefsymmetrische = alternierende Matrix
  3. Definition Diagonalmatrix
  4. Definition Dreiecksmatrix
  5. Definition Einheitsmatrix
  1. Quadratisch, Symmetrie bezüglich Hauptdiagonale. A = TA
  2. Quadratisch, Symmetrei bezüglich Hauptdiagonale, wenn mal (-1). A = -TA
  3. Alle Elemente sind 0en außer Hauptdiagonale.
  4. Alle Elemte sind Nullen bis auf Hauptdiagonale und darüber (bzw. darunter) liegende --> obere (bzw. untere) Dreiecksmatrix.
  5. Diagonalmatrix mit 1en als Hauptdiagonale. (neutrales Element der Matrixmultiplikation)
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Definition diagonalisierbare Matrix

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Definition siehe Abb

3 Diagonalisierbarkeitskriterien:

  1. Es gibt v1,...,vn mit span(v1,...,vn) = V
  2. algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit
  3. Es gibt n Eigenwerte und sie unterscheiden sich von einander.
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Definition orthogonale Abbildung

Definition unitäre Abbildung

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siehe Abb

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Definition inverse Matrix

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Sei A eine quadratische Matrix, so nennt man A-1 die zu A inverse Matrix, wenn A*A-1 = In gilt

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Dimensionsformel

dim(M) = dim(Ker(A)) + dim(Im(A))

wobei dim(Im(A)) = rang(A)

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Definition algebraische  und geometrische Vielfachheit

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siehe Abb

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Definition kanonisches Skalarprodukt = Standardskalarbrodukt

Definition Standardnorm

Standardskalarprodukt

x aus Rn, y aus Rn

<x,y> = x1y1 + ... + xnyn

Eigenschaften:
seien x,y,x',y' aus
Rn und k aus R
 

  • <x+x',y> = <x,y> + <x',y>
    <kx,y> = k <x,y>
    <x,y+y'> = <x,y> + <x,y'>
    <x,ky> = k <x,y>
    (vgl. Bilinearform)
     
  • <x,y> = <y,x>
    (vgl. symmetrische Bilinearform)
     
  • <x,x> >= 0
    <x,x>=0 <=> x=0

 

Standardnorm

||x|| = √(<x,x>)

Eigenschaften

  • ||x||=0    <=>   x=0
  • ||k*x|| = k * ||x||
  • ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||  (Dreiecksungleichung)
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Ungleichung von CAUCHY-SCHWARZ

+ Anwendung

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siehe Abb

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Definition des Kreuzproduktes

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Existiert nur speziell für R3

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Definition Bilinearform
+ symmetrische
+ schiefsymmetrische = alternierende

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siehe Abb

Bem.:

  • darstellende Matrix der Bilinearform (schief)symmetrisch  <=>  (schief)symmetrische Bilinearform
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Definition Polarisierung

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siehe Abb

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Definition Ortghogonalsystem und Orthonormalsystem

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siehe Abb

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Definition selbstadjungierte Abbildung

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siehe Abb

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Determinante einer 2x2 Matrix

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siehe Abb

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Definition einer Determinante

  1. Die Determinante ist bilinear, d.h. in jeder Zeile (bzw. Spalte) linear.
  2. Determinanten sind alternierend, d.h. hat A zwei gleiche Spalten --> det(A)=0
  3. Die Determinante ist normiert, d.h. det(In)=1
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Eigenschaften der Determinante

  • Die 3 Eigenschaften der Definition
  • det(k * A) = kn * det(A)
  • Hat A eine Nullzeile oder -spalte --> det(A) = 0
  • Bei jeder Vertauschung von Zeilen (bzw. Spalten) ändert die Determinante ihr Vorzeichen. (wichtig für GAUSSsche Umformungen).
  • Wird k mal die j-te von A zur i-ten Zeile von B (mit i ungleich j) addiert, so bleibt die Determinante unverändert. (wichtig für GAUSSsche Umformungen).
  • Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist die Multiplikation der Diagonalelemente.
  • Bei Kastenform ist det(A) = det(A1) * det(A2)
  • det(A) = 0  <--> rang(A) < n
  • det(A * B) = det(A) * det(B)
  • det(A-1) = det(A)-1
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Definition Eigenwerte und Eigenvektoren

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siehe Abb

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Definition ähnliche Matrizen

Seien A und B quadratische Matrizen, so sind sie ähnlich zu einander wenn B = SAS-1 gilt.

 

Bem.: Stellt man einen Endomorphismus einmal zur Basis V1 und V2 dar und einmal zur Basis V1' und V2' dar, so sind die beiden darstellenden Matrizen zueinander ähnlich.

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Definition charakteristisches Polinom

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siehe Abb

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Definition Eigenraum

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siehe Abb

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Definition Hauptraum

HauLambda(A) = Ker( (A - Lambda*In)a )

Lambda = zugehöriger Eigenwert zum Hau(A)
a = algebraische Vielfachheit

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JORDANsche Normalform

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siehe Abb

Anzahl der Jordanblöcke = geometrische Vielfachheit

Länge des Jordankästchens = algebraische Vielfachheit des zugehörigen Lambdai

 

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Definition Skalarprodukt allgemein

Definition Norm allgemein

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Definition Skalarprodukt

positiv definite symmetrische Bilinearform in Vektorräumen über R hermitesche Formen über C

Definition Norm

siehe Abb

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Orthonormalisierungsverfahren nach GRAM-SCHMIDT

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Wir haben eine Basis gegeben und wollen den davon aufgespannten Vektorraum durch eine Orthonormalbasis angeben. Dazu verwenden wir das Orthonormalisierungsverfahren (siehe Formel in Abb).

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Definition Basis

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siehe Abb

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1

1 Kommentare

  • 25.01.2014
    K. Steinleitner
    Kerf=f^-1 (0)
1

Definition Kern, Bild, Rang sowohl unter  Verwendung von linearen Abbildungen, als auch unter Verwendung der darstellenden Matrizen.

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ausarbeiten

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Definition Dimension

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siehe Abb

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Definition lineare Abbildung und deren darstellende (=korrespondierende) Matrix

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siehe Abb

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Erklläre was bei einer Basistransofrmation passiert und wie man vorgeht!

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Wir haben Vektoren bezüglich A = {a1,a2,a3} gegeben und wollen sie aber bezüglich B = {b1,b2,b3}. Die Koordinatentransformation T von A nach B ist eine lineare Abbildung bzw. Matrix, die einen v Vektor dargestellt bzgl. A bekomm und den selben Vektor dargestellt bzgl. B ausgibt:

[v]bzgl.A * TAnachB = [v]bzgl.B
bzw.
f( [v]bzgl.A ) = [v]bzgl.B

 

Für gibt TAnachB es dabei folgende Formel:

TAnachB = ( [a1]bzgl.B,...,[an]bzgl.B )