Lineare Algebra II
Lineare Algebra bei Prof. Dr. Joachim Rosenthal Universität Zürich
Lineare Algebra bei Prof. Dr. Joachim Rosenthal Universität Zürich
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Cartes-fiches
Definition Diagonalisierbar
Existiert S so dass S^-1AS diagonal & für irgendeine Basis von Endomorphismus Matrix diagonalisierbar
Ähnlichkeit und diagonalisierbar
A,A' ähnlich - A diagonalisierbar <=> A' diagonalisierbar
Endomorphismus und Basis
Endomorphismus diagonalisierbar <=> Basis aus Eigenvektoren
Eigenschaften von S - diagonalisierbar
S = {v1,...,vn}
Diagonalisierbarkeit und Vielfachheit
A diagonalisierbar <=> müG(A,EW) = müA(A,EW)
Eigenraum
Eig(A,EW) = <(EV)>
Dimension Eigenraum
dimEig(A,EW) = müG(A,EW)
Spur und Determinante
Spur = Summe(EW) - Det = Produkt(EW)
Dimension algebraische und geometrische Vielfachheit
müG(A,EW) < müA(A,EW)
Charakteristisches Polynom von Diagonal und original Matrix
=
Nte HasseAbleitung
f^(n) / n!
A nilpotent
A^k = 0
Nilpotenzindex
A^Nilpotenzindex = 0
Nilpotenzindexverhältnis für A = nxn
Nilpotenzindex <= n
Invertierbarkeit von nilpotenten Matrizen (A)
En - A invertierbar
Jordanmatrix aussehen
Diagonale mit Eigenwerte und obendran 1 oder 0
S für Jordanform
die Basiswechselmatrix von der Standardbasis zu der Basis B ist.
Existenz der Jordanform
jede Matrix deren charak. Polynom in Linearfaktoren zerfällt
Nilpotentindex zum Eigenwert Lamda - Jordanform
grösse des grössten Kästchens
Eindeutige Zerlegung D und N
D diagonal \ N nilpotent \ ND = DN
Cayley Hamilton
pa(A) = 0
Eigenschaften N und D
sind Eindeutig
annulierendes Polynom f der Matrix A
f(A) = 0
Minimalpolynom
Annulierendes Polynom mit kleinstem Grad
Minimalpolynom Eigenschaften
JEDER Eigenwert ist enthalten
Annulierendes und minimal Polynom
Minimalpolynom teilt JEDES annulierende Polynom
