LinAlg
LinAlg Basics
LinAlg Basics
Wieviel freie Parameter in einem Gleichungssystem?
n-r
Die Lösung eines Gleichungssystem ist dann eindeutig wenn
r = n
Für eine Lösung müssen Verträglichkeitsbedingeungen gelten wenn
r < m
Ein lineares Gleichungsystem ist dann und nur dann für beliebige rechte Seiten lösbar wenn
r = m
Ein homogenes Gleichungssystem hat zusätliche nicht triviale Lösungen wenn
r < n
Gilt m = n
-Lösung ist dann eindeutig wenn das System für beliebeige rechte Seiten lösbar ist (dh) dass das zugehörige homogene System nur die Triviale Lösung besitzt. (dh gilt m = n = r)
Matrixmultiplikation
Siehe Bild
Bei Rechnen mit Matrizen gelten folgende Gesetze:
Kommutativ Addition A+B=B+A
Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ!
Assoziativ Addition (A+B)+C=A+(B+C)
Assoziativ Multiplikation (A*B)*C=A*(B*C)
Distributiv (A+B)*C=A*C+B*C
Es gilt für jede mxn-Matrix A: I(zeilen)*A=A*I(spalten)=A
Sei A eine nxm-Matrix mit m-spaltenvektoren a(i) und e(i) der i-te spaltenvektor von I(n) dann gilt
A*e(i)=a(i)=i-ter Spaltenvektor von A
Sei A eine nxm-Matrix mit m-spaltenvektoren a(i) und x ein Spaltenvektor dann gilt
A*x=x(1)*a(1)+...+x(n)*a(n)
Ist die Matrixmultplikation A*B möglich und sind b(p) spaltenvektoren von B dann gilt:
AB=A*b(i)+A*b(2)+.....+A*b(p)
A^T
Transponierte Matrix (um die diagonale links oben nach rechts unten spiegeln)
Falls A=A^T dann ist die Matrix symmetrisch
Für Matrizen und ihre Transponierten gilt:
(A^T)^T=A
(A+B)^T=A^T+B^T
(A*B)^T=B^T*A^T
Matrixschreibweise für Gleichungssysteme
Ax=b
x Variablen
b rechte Seite
Seien A und B Matrizen mit Zeilenvektoren a[i] und b[i], y ein n- Zeilenvektor und e[i] der i-te Zeilenvektor von I(n) dann gilt
e[i]B=b[i]
yB=y(1)*b[1]+....+y(i)*b[i]
A*B= erste zeile: a[1]*B usw.. i-te Zeile: a[i]*B
Inverse einer Matrix A^-1
es gilt A*A^-1=I(n) A ist invertierbar, regulär <-> singulär, eindeutig bestimmt
Für invertierbare nxn-Matrizen gilt:
A^-1*A=I(n)
A^-1 invertierbar und (A^-1)^-1=A
I(n) invertierbar und I(n)^-1=I(n)
A*B invertierbar und (A*B)^-1=B^-1*A^-1
A^T invertierbar und (A^T)^-1=(A^-1)^T
Für jede nxn-Matrix sind folgende Aussagen äquivalent:
A ist invertierbar/regulär
Ax=b ist für jedes b lösbar
Ax=0 hat nur die triviale Lösung
Die Matrix ist orthogonal falls gilt
A^T*A=I(n)
Für orthogonale Matrizen gilt:
A ist invertierbar und A^-1=A^T
A^-1 ist orthogonal
A*B ist orthogonal
I(n) ist orthogonal
LR-Zerlegung
Ax=b.... A bis zum Endschema -> R
L -> Quotienten+I(n)
P -> Zeilenvertauschungen in I(n) (Premutationsmatrix)
Es gilt: L*R=A*P
Löse L*c=P*b nach c auf
bestimme Lösungsmenge des Systems R*x=c
Rang einer Matrix
Der Rang einer Matrix A ist gleich dem Rang von Ax=0 ("nicht0zeilen"im hauptteil des endschemas)
Die Determinante einer 1x1-Matrix ist gleich
ihrem Element
Die Determinante von nxn-Matrizen (n>=2) kann wie entwickelt werden?
entweder nach der ersten Zeile oder ersten Spalte:
nach ersten Spalte: element (1,1)*Matrix(ohne Zeile 1 und Spalte 1) - element (2,1)*Matrix(ohne Zeile 2 und Spalte 1)...usw. (-1)^n*a(n,1)*A(ohne Zeile n und Spalte 1)
nach ersten Zeile: element (1,1)*Matrix(ohne Zeile 1 und Spalte 1) - element (1,2)*Matrix(ohne Zeile 1 und Spalte 2)...usw. (-1)^n*a(1,n)*A(ohne Zeile 1 und Spalte n)
Werden zwei Zeilen oder zwei Spalten in einer nxn-Matrix vertauscht so ändert die Determinante
ihr Vorzeichen
Wird zu einer Zeile einer nxn-Matrix ein Vielfaches einer anderen Zeile addiert
oder
Wird zu einer Spalte einer nxn-Matrix ein Vielfaches einer anderen Spalte addiert
bleibt die Determinante gleich
Wird eine Zeile/Spalte einer nxn-Matrix mit einem Faktor a multipliziert
so ändert sich die Determinante um den Faktor a
Sind zwei Zeilen einer Matrix gleich so ist die Determinante
gleich null
Die Determinante einer Matrix die aus lauter 0 besteht
ist gleich 0
Die Determinante einer Dreiecksmatrix
ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente
Für jede nxn-Matrix bezüglich ^T und Determinante gilt:
det(A^T)=det(A)
Für beliebige nxn-Matrizen A und B gilt bezüglich der Multpiplikation und det
det(A*B)=det(A)*det(B)
Ist nxn-Matrix A invertierbar so gilt bez. det
detA nicht gleich 0 und det(A^-1)=1/det(A)
Sei A eine nxn-Matrix und liefert der Gaussalgorithmus Matrizen L,R und P sodass L*R=P*A so gilt bez. det
det(A)=det(P)*det(R)=(-1)^Anzahl Zeilenvertauschungen*det(R)
gilt im Endschema des Gaus'schen Eliminationsverfahren r=n so gilt bez. det
det(A) nicht gleich 0
für jede nxn-Matrix sind folgende Aussagen äquivalent:
A ist invertierbar
det(A) nicht gleich 0
r=n im Endschema
Ax=b für jedes b lösbar
Lösung von Ax=b eindeutig bestimmt
Ax=0 hat nur triv Lösung x=0
Falls det(A) ungleich 0
Ax=b für beliebige Seiten lösbar
Lösung von Ax=b
Ax=0 hat nur triv Lösung
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Wieviel freie Parameter in einem Gleichungssystem?
n-r
Die Lösung eines Gleichungssystem ist dann eindeutig wenn
r = n
Für eine Lösung müssen Verträglichkeitsbedingeungen gelten wenn
r < m
Ein lineares Gleichungsystem ist dann und nur dann für beliebige rechte Seiten lösbar wenn
r = m
Ein homogenes Gleichungssystem hat zusätliche nicht triviale Lösungen wenn
r < n
Gilt m = n
-Lösung ist dann eindeutig wenn das System für beliebeige rechte Seiten lösbar ist (dh) dass das zugehörige homogene System nur die Triviale Lösung besitzt. (dh gilt m = n = r)
Matrixmultiplikation
Siehe Bild
Bei Rechnen mit Matrizen gelten folgende Gesetze:
Kommutativ Addition A+B=B+A
Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ!
Assoziativ Addition (A+B)+C=A+(B+C)
Assoziativ Multiplikation (A*B)*C=A*(B*C)
Distributiv (A+B)*C=A*C+B*C
Es gilt für jede mxn-Matrix A: I(zeilen)*A=A*I(spalten)=A
Sei A eine nxm-Matrix mit m-spaltenvektoren a(i) und e(i) der i-te spaltenvektor von I(n) dann gilt
A*e(i)=a(i)=i-ter Spaltenvektor von A
Sei A eine nxm-Matrix mit m-spaltenvektoren a(i) und x ein Spaltenvektor dann gilt
A*x=x(1)*a(1)+...+x(n)*a(n)
Ist die Matrixmultplikation A*B möglich und sind b(p) spaltenvektoren von B dann gilt:
AB=A*b(i)+A*b(2)+.....+A*b(p)
A^T
Transponierte Matrix (um die diagonale links oben nach rechts unten spiegeln)
Falls A=A^T dann ist die Matrix symmetrisch
Für Matrizen und ihre Transponierten gilt:
(A^T)^T=A
(A+B)^T=A^T+B^T
(A*B)^T=B^T*A^T
Matrixschreibweise für Gleichungssysteme
Ax=b
x Variablen
b rechte Seite
Seien A und B Matrizen mit Zeilenvektoren a[i] und b[i], y ein n- Zeilenvektor und e[i] der i-te Zeilenvektor von I(n) dann gilt
e[i]B=b[i]
yB=y(1)*b[1]+....+y(i)*b[i]
A*B= erste zeile: a[1]*B usw.. i-te Zeile: a[i]*B
Inverse einer Matrix A^-1
es gilt A*A^-1=I(n) A ist invertierbar, regulär <-> singulär, eindeutig bestimmt
Für invertierbare nxn-Matrizen gilt:
A^-1*A=I(n)
A^-1 invertierbar und (A^-1)^-1=A
I(n) invertierbar und I(n)^-1=I(n)
A*B invertierbar und (A*B)^-1=B^-1*A^-1
A^T invertierbar und (A^T)^-1=(A^-1)^T
Für jede nxn-Matrix sind folgende Aussagen äquivalent:
A ist invertierbar/regulär
Ax=b ist für jedes b lösbar
Ax=0 hat nur die triviale Lösung
Die Matrix ist orthogonal falls gilt
A^T*A=I(n)
Für orthogonale Matrizen gilt:
A ist invertierbar und A^-1=A^T
A^-1 ist orthogonal
A*B ist orthogonal
I(n) ist orthogonal
LR-Zerlegung
Ax=b.... A bis zum Endschema -> R
L -> Quotienten+I(n)
P -> Zeilenvertauschungen in I(n) (Premutationsmatrix)
Es gilt: L*R=A*P
Löse L*c=P*b nach c auf
bestimme Lösungsmenge des Systems R*x=c
Rang einer Matrix
Der Rang einer Matrix A ist gleich dem Rang von Ax=0 ("nicht0zeilen"im hauptteil des endschemas)
Die Determinante einer 1x1-Matrix ist gleich
ihrem Element
Die Determinante von nxn-Matrizen (n>=2) kann wie entwickelt werden?
entweder nach der ersten Zeile oder ersten Spalte:
nach ersten Spalte: element (1,1)*Matrix(ohne Zeile 1 und Spalte 1) - element (2,1)*Matrix(ohne Zeile 2 und Spalte 1)...usw. (-1)^n*a(n,1)*A(ohne Zeile n und Spalte 1)
nach ersten Zeile: element (1,1)*Matrix(ohne Zeile 1 und Spalte 1) - element (1,2)*Matrix(ohne Zeile 1 und Spalte 2)...usw. (-1)^n*a(1,n)*A(ohne Zeile 1 und Spalte n)
Werden zwei Zeilen oder zwei Spalten in einer nxn-Matrix vertauscht so ändert die Determinante
ihr Vorzeichen
Wird zu einer Zeile einer nxn-Matrix ein Vielfaches einer anderen Zeile addiert
oder
Wird zu einer Spalte einer nxn-Matrix ein Vielfaches einer anderen Spalte addiert
bleibt die Determinante gleich
Wird eine Zeile/Spalte einer nxn-Matrix mit einem Faktor a multipliziert
so ändert sich die Determinante um den Faktor a
Sind zwei Zeilen einer Matrix gleich so ist die Determinante
gleich null
Die Determinante einer Matrix die aus lauter 0 besteht
ist gleich 0
Die Determinante einer Dreiecksmatrix
ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente
Für jede nxn-Matrix bezüglich ^T und Determinante gilt:
det(A^T)=det(A)
Für beliebige nxn-Matrizen A und B gilt bezüglich der Multpiplikation und det
det(A*B)=det(A)*det(B)
Ist nxn-Matrix A invertierbar so gilt bez. det
detA nicht gleich 0 und det(A^-1)=1/det(A)
Sei A eine nxn-Matrix und liefert der Gaussalgorithmus Matrizen L,R und P sodass L*R=P*A so gilt bez. det
det(A)=det(P)*det(R)=(-1)^Anzahl Zeilenvertauschungen*det(R)
gilt im Endschema des Gaus'schen Eliminationsverfahren r=n so gilt bez. det
det(A) nicht gleich 0
für jede nxn-Matrix sind folgende Aussagen äquivalent:
A ist invertierbar
det(A) nicht gleich 0
r=n im Endschema
Ax=b für jedes b lösbar
Lösung von Ax=b eindeutig bestimmt
Ax=0 hat nur triv Lösung x=0
Falls det(A) ungleich 0
Ax=b für beliebige Seiten lösbar
Lösung von Ax=b
Ax=0 hat nur triv Lösung
