Leitungstheorie

\(Z = \sqrt{R' + j\omega L' \over G' + j\omega C'}\)

\(\gamma^2 \ U = \frac{d^2 U}{dz^2}\)

mit der Ausbreitungskonstante 

\(\gamma=\sqrt{(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')}=\alpha+j \beta\)

\(\alpha\):Ausbreitungskonstante

\(\beta\):Phasenkonstante

Der Reflektionsfaktor ergibt sich aus dem Verhältnis von rücklaufender zu hinlaufender Spannung (Wieviel der Spannung wird reflektiert?

\(\frac{\underline{U}_r}{\underline{U}_h} = \frac{Z_e-Z}{Z_e+Z} \ e^{-2 \gamma(l-z)}\)

\(r = \frac{Z_e-Z}{Z_e+Z}=\frac{\frac{Z_e}{Z}-1}{\frac{Z_e}{Z}+1}=\frac{\omega-1}{\omega+1}\)

mit \(\omega = \frac{Z_e}{Z}\)

Es gilt:

• Anpassung (\(Z_e=Z\)):\(r=0\)
• Leerlauf:                     \(r=1\)
• Kurzschluss:              \(r=-1\) (180° Phasendrehung)

• Wellenwiderstand:

  \(Z = \sqrt{R' + j\omega L' \over G' + j\omega C'}\)

• Ausbreitungskoeffizient:

  \(\gamma=\sqrt{(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')}=\alpha+j \beta\)

• Leitungslänge: \(l\)

Bei verlustloser Leitung: 

\(R'=G'=0 \rightarrow \alpha=0\)

Daraus folgt:

• \(Z = \sqrt{\frac{L'}{C'}}\)
• \(\gamma = j\beta = j\frac{2\pi}{\lambda}=j\omega\sqrt{L'C'}\)

Allgemein: 

Wenn die Leitungslänge im Bereich der Wellenlänge liegt bzw. die Signallaufzeit im Bereich der Periodendauer:

Bsp:

Signallaufzeit für 1m Leitungslänge: 

\(\tau = \frac{1}{v} = \frac{1}{\frac{c_0}{\sqrt{\epsilon_r}}} \approx 3,3ns\) bzw \(30 \frac{cm}{ns}\)

• Bei \(f = 1kHz\): 

\(\lambda = \frac{v}{f}=300km \rightarrow T = \frac{1}{f}=1 ms \rightarrow \tau \ll T\)

Die Signalausbreitung erfolgt so schnell, dass praktisch überall auf der Leitung zur selben Zeit dieselbe Spannung anliegt.

• Bei \(f = 300MHz\):

  \(\lambda = \frac{v}{f}=1m \rightarrow T = \frac{1}{f}=3,3 ns \rightarrow \tau = T\)

  Die Signaländerung erfolgt genauso schnell wie die Signalausbreitung, sodass an verschiedenen Stellen der Leitung zur selben Zeit verschiedene Spannungspegel anliegen.

\(\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}\)

Ist die Heaviside-Bedingung erfüllt ist die Leitung verzerrungsfrei, d.h. es tritt keine Dispersion auf.

In der Praxis sind Leitungen jedoch stark kapazitiv, daher kann eine verzerrungsfreie Leitung nur durch zusätzliche Maßnahmen wie z.B. Bespulung erreicht werden.

• Anpassung (lange Leitung):

\(Z_e = Z = Z_a\)

Ist eine Leitung mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen ist sie angepasst. Die Welle, die den Wellenwiderstand "sieht", denkt die Leitung sei noch nicht zu Ende und springt in den Abschlusswiderstand, wo seine Energie verbraucht wird. Der Reflexionsfaktor ist damit \(r = 0\)

• \(\frac{\lambda}{4}\)-Transformator:

Für eine \(\frac{\lambda}{4}\)lange Leitung tranformiert zwischen Ein- und Ausgang gemäß der Formel:

\(Z_e = \frac{Z^2}{Z_a}\)

Eine kurzgeschlossene \(\frac{\lambda}{4}\)-Leitung (\(Z_e=0\)) wirkt am Eingang wie ein Leerlauf (\(Z_a \rightarrow \infty\))

Eine offene \(\frac{\lambda}{4}\)-Leitung (\(Z_e \rightarrow \infty\)) wirkt am Eingang wie ein Kurzschluss (\(Z_a = 0\))

• \(\frac{\lambda}{2}\)-Transformator:

Für eine \(\frac{\lambda}{2}\)lange Leitung tranformiert zwischen Ein- und Ausgang gemäß der Formel:

\(Z_e = Z_a\) (es handelt sich damit nicht im eigentlichen Sinne um eine Transformation)

Eine kurzgeschlossene \(\frac{\lambda}{2}\)-Leitung (\(Z_e=0\)) wirkt damit auch Eingang wie ein Kurzschluss (\(Z_a = 0\))

Eine offene \(\frac{\lambda}{2}\)-Leitung (\(Z_e \rightarrow \infty\)) wirkt auch am Eingang wie ein Leerlauf (\(Z_a \rightarrow \infty\))