Leitungstheorie

\(\gamma^2 \ U = \frac{d^2 U}{dz^2}\)

mit der Ausbreitungskonstante 

\(\gamma=\sqrt{(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')}=\alpha+j \beta\)

\(\alpha\):Ausbreitungskonstante

\(\beta\):Phasenkonstante

Der Reflektionsfaktor ergibt sich aus dem Verhältnis von rücklaufender zu hinlaufender Spannung (Wieviel der Spannung wird reflektiert?

\(\frac{\underline{U}_r}{\underline{U}_h} = \frac{Z_e-Z}{Z_e+Z} \ e^{-2 \gamma(l-z)}\)

\(r = \frac{Z_e-Z}{Z_e+Z}=\frac{\frac{Z_e}{Z}-1}{\frac{Z_e}{Z}+1}=\frac{\omega-1}{\omega+1}\)

mit \(\omega = \frac{Z_e}{Z}\)

Es gilt:

• Anpassung (\(Z_e=Z\)):\(r=0\)
• Leerlauf:                     \(r=1\)
• Kurzschluss:              \(r=-1\) (180° Phasendrehung)

• Wellenwiderstand:

  \(Z = \sqrt{R' + j\omega L' \over G' + j\omega C'}\)

• Ausbreitungskoeffizient:

  \(\gamma=\sqrt{(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')}=\alpha+j \beta\)

• Leitungslänge: \(l\)

Bei verlustloser Leitung: 

\(R'=G'=0 \rightarrow \alpha=0\)

Daraus folgt:

• \(Z = \sqrt{\frac{L'}{C'}}\)
• \(\gamma = j\beta = j\frac{2\pi}{\lambda}=j\omega\sqrt{L'C'}\)

Allgemein: 

Wenn die Leitungslänge im Bereich der Wellenlänge liegt bzw. die Signallaufzeit im Bereich der Periodendauer:

Bsp:

Signallaufzeit für 1m Leitungslänge: 

\(\tau = \frac{1}{v} = \frac{1}{\frac{c_0}{\sqrt{\epsilon_r}}} \approx 3,3ns\) bzw \(30 \frac{cm}{ns}\)

• Bei \(f = 1kHz\): 

\(\lambda = \frac{v}{f}=300km \rightarrow T = \frac{1}{f}=1 ms \rightarrow \tau \ll T\)

Die Signalausbreitung erfolgt so schnell, dass praktisch überall auf der Leitung zur selben Zeit dieselbe Spannung anliegt.

• Bei \(f = 300MHz\):

  \(\lambda = \frac{v}{f}=1m \rightarrow T = \frac{1}{f}=3,3 ns \rightarrow \tau = T\)

  Die Signaländerung erfolgt genauso schnell wie die Signalausbreitung, sodass an verschiedenen Stellen der Leitung zur selben Zeit verschiedene Spannungspegel anliegen.

\(\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}\)

Ist die Heaviside-Bedingung erfüllt ist die Leitung verzerrungsfrei, d.h. es tritt keine Dispersion auf.

In der Praxis sind Leitungen jedoch stark kapazitiv, daher kann eine verzerrungsfreie Leitung nur durch zusätzliche Maßnahmen wie z.B. Bespulung erreicht werden.

• Anpassung (lange Leitung):

\(Z_e = Z = Z_a\)

Ist eine Leitung mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen ist sie angepasst. Die Welle, die den Wellenwiderstand "sieht", denkt die Leitung sei noch nicht zu Ende und springt in den Abschlusswiderstand, wo seine Energie verbraucht wird. Der Reflexionsfaktor ist damit \(r = 0\)

• \(\frac{\lambda}{4}\)-Transformator:

Für eine \(\frac{\lambda}{4}\)lange Leitung tranformiert zwischen Ein- und Ausgang gemäß der Formel:

\(Z_e = \frac{Z^2}{Z_a}\)

Eine kurzgeschlossene \(\frac{\lambda}{4}\)-Leitung (\(Z_e=0\)) wirkt am Eingang wie ein Leerlauf (\(Z_a \rightarrow \infty\))

Eine offene \(\frac{\lambda}{4}\)-Leitung (\(Z_e \rightarrow \infty\)) wirkt am Eingang wie ein Kurzschluss (\(Z_a = 0\))

• \(\frac{\lambda}{2}\)-Transformator:

Für eine \(\frac{\lambda}{2}\)lange Leitung tranformiert zwischen Ein- und Ausgang gemäß der Formel:

\(Z_e = Z_a\) (es handelt sich damit nicht im eigentlichen Sinne um eine Transformation)

Eine kurzgeschlossene \(\frac{\lambda}{2}\)-Leitung (\(Z_e=0\)) wirkt damit auch Eingang wie ein Kurzschluss (\(Z_a = 0\))

Eine offene \(\frac{\lambda}{2}\)-Leitung (\(Z_e \rightarrow \infty\)) wirkt auch am Eingang wie ein Leerlauf (\(Z_a \rightarrow \infty\))

• Kurzschluss:

1. Für 1/4 > \(\frac{l}{\lambda}\) > 0 ist es eine Induktivität.
2. Für 1/4 = \(\frac{l}{\lambda}\)  ist es ein Parallelschwingkreis mit den Resonanzwellenlängen λ; λ/3; λ/5; …
3. Für 1/2 > \(\frac{l}{\lambda}\) > 1/4 ist es eine Kapazität.
4. Für 1/2 = \(\frac{l}{\lambda}\) ist es ein Reihenschwingkreis mit den Resonanzwellenlängen λ; λ/2; λ/4; …
5. Für 3/4 > \(\frac{l}{\lambda}\) > 1/2 ist es eine Induktivität.

• Leerlauf:

1. Für 1/4 > \(\frac{l}{\lambda}\) > 0 ist es eine Kapazität.
2. Für 1/4 = \(\frac{l}{\lambda}\)  ist es ein Reihenschwingkreis mit den Resonanzwellenlängen λ; λ/3; λ/5; …
3. Für 1/2 > \(\frac{l}{\lambda}\) > 1/4 ist es eine Induktivität.
4. Für 1/2 = \(\frac{l}{\lambda}\) ist es ein Parallelschwingkreis mit den Resonanzwellenlängen λ; λ/2; λ/4; …
5. Für 3/4 > \(\frac{l}{\lambda}\) > 1/2 ist es eine Kapazität.

Das Smith-Diagramm ist eine konforme Abbildung der komplexen Impedanzebene. Es ist die gleichzeitige Reflexionsfaktor- und Impedanzdarstellung.

Es erlaubt:

• direkte Umwandlung von \(r \leftrightarrow \frac{Z}{Z_0}\)
• Widerstandstransformation
• Bestimmung der Welligkeit
• Umwandlung von \(Y \leftrightarrow Z\) (simple Spiegelung im Mittelpunkt)

Es wird das Stehwellenverhältnis (SWR) ermittelt.

\(s = \frac{U_{max}}{U_{min}} = \frac{1+ |r|}{1-|r|} \rightarrow r = \frac{s-1}{s+1}\)

Der Phasenwinkel \(\rho\)ergibt sich aus:

\(\rho = 2\beta l_{min}-\pi\) mit \(\beta = \frac{2\pi}{\lambda}\) 

bzw. muss um \(\frac{l_{min}}{\lambda}\) in Richtung Last gedreht werden. 

\(U_a = \frac{Z_a}{R_i+Z_a}U_0\)

\(I_a = \frac{1}{R_i+Z_a}U_0\)

Die Einhüllende einer Schwebung (\(\rightarrow\)Gruppengeschwindigkeit) wandert mit einer anderen Geschwindigkeit als die Oszillation (\(\rightarrow\)Phasengeschwindigkeit) innerhalb einer Einhüllenden.

Bei Frequenzunabhängiger Phasengeschwindigkeit ist die Gruppengeschwindigkeit \(v_g = v_p\)(kommt praktisch sehr selten vor). In allen anderen Fällen ist \(v_g\) aus der Phasengeschwindigkeit abzuleiten. Die frequenzabhängige Phasengeschwindigkeit heißt Dispersion.

\(v_p = \frac{\omega_1+\omega_2}{\beta_1+\beta_2}\)

\(v_g = \frac{\omega_1-\omega_2}{\beta_1-\beta_2}\)

Für den Grenzübergang \(\omega_1 \rightarrow \omega_2\):

\(v_p = \frac{\omega}{\beta}\)

\(v_g = \frac{d \ \omega}{d \ \beta} \rightarrow v_g \gt v_p\)

Es wird zwischen E- und H-Moden unterschieden. Die Charakterisierung erfolgt dabei so:

\(H_{m,n}\) bzw. \(E_{m,n}\)

\(m\): bezeichnet die Anzahl halber Perioden in x-Richtung

\(n\): bezeichnet die Anzahl halber Perioden in y-Richtung

Die Phasengeschwindigkeit in Ausbreitungsrichtung (\(k\)) beträgt:

\(v = \frac{1}{\sqrt{\mu \ \epsilon}}\)

Die Wellenlänge der ebenen Welle im Dielektrikum ist:

\(\lambda = \frac{\lambda_0}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}\)mit\(\lambda_0\) als Vakuumwellenlänge.

\(\lambda_H = \frac{\lambda}{\sqrt{1-(\frac{m \lambda}{2a})^2}} = \frac{v}{f\sqrt{1-(\frac{m v}{2af})^2}} = \frac{v}{f \sqrt{1-(\frac{f_{cm}}{f})^2}} \)

Die Phasenkonstante der Welle lautet: \(\beta = \frac{\omega}{v} = \omega\sqrt{\mu\epsilon}\)

Sie ist auch die Wellenzahl \(k\) oder Wellenvektor \(\vec{k}\) in Ausbreitungsrichtung.In Querschnittsrichtung (x) ist die Wellenzahl dann nur noch \(k_x = k \ sin\theta\). Nach zwei Reflexionen läuft die Welle wieder in ursprungsrichtung und überlagert sich. Konstruktive Überlagerung findet dabei nur statt wenn die Wellen in Phase (\(n \cdot2\pi\) sind. Daraus ergibt sich:

\(sin\theta = \frac{m\lambda}{2a}\)mit \(\lambda = \frac{2\pi}{k}\)

Damit sich die Welle axial fortbewegen kann muss die Wellenlänge kleiner der Grenzwellenlänge sein:

\(\lambda \lt \lambda_{cm} = \frac{2a}{m}\)Andernfalls ergibt sich kein reeller Winkel \(\theta\). Für \(\lambda=\lambda_{cm}\)ergibt sich ein Winkel von \(\frac{\pi}{2}\), die Welle bleibt also auf der Stelle stehen.

Wenn:

\(\lambda \lt \lambda_{cm} = \frac{2a}{m}\) bzw. \(f \gt f_{cm} = \frac{mv}{2a}\)

Für \(\lambda = \lambda_{cm}\): \(\theta = \frac{\pi}{2}\), \( v_G\rightarrow 0\),\( v_P\rightarrow \infty\) (keine Ausbreitung)

Für \(\lambda \ll \lambda_{cm}\): \(\theta = 0\), \( v_G = v_P \rightarrow v\),\( v_P\rightarrow \infty\)

\(v_G = k \cdot cos\theta = v \sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_{cm}})^2} = v \sqrt{1-(\frac{f_{cm}}{f})^2}\)

\(v_P = \frac{k}{cos\theta} = \frac{\omega}{\beta_H} = \frac{v}{\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_{cm}})^2}} = \frac{v}{\sqrt{1-(\frac{f_{cm}}{f})^2}}\)

\(Z = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_{cm}})^2}} = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{f_{cm}}{f})^2}}\)

• H-Mode bedeutet, dass ein H-Feld in Ausbreitungsrichtung besteht
• benachbarte Felder haben immer entgegengekehrten Drehsinn.

• verlustlos

vom Leitungsanfang:

\(\underline{U}(z) = \frac{1}{2}(\underline{U}_a+Z \underline{I}_a)e^{-j\beta z}+\frac{1}{2}(\underline{U}_a-Z \underline{I}_a)e^{j\beta z}\)

\(\underline{I}(z) = \frac{1}{2Z}(\underline{U}_a+Z \underline{I}_a)e^{-j\beta z}+\frac{1}{2Z}(\underline{U}_a-Z \underline{I}_a)e^{j\beta z}\)

vom Leitungsende:  

\(\underline{U}(z) = \frac{1}{2}(\underline{U}_e+Z \underline{I}_e)e^{-j\beta (l-z)}+\frac{1}{2}(\underline{U}_e-Z \underline{I}_e)e^{j\beta (l-z)}\)

\(\underline{I}(z) = \frac{1}{2Z}(\underline{U}_e+Z \underline{I}_e)e^{-j\beta (l-z)}+\frac{1}{2Z}(\underline{U}_e-Z \underline{I}_e)e^{j\beta (l-z)}\)

Im allgemeinen Fall muss die Dämpfungskonstante \(\alpha\) berücksichtigt werden, d.h. 

\(e^{\gamma z}\) bzw. \(e^{\gamma (l-z)}\)

• verlustlos

vom Leitungsanfang:

\(\underline{U}(z) =\underline{U}_a \ cos(\beta z)-jZ \underline{I}_a \ sin(\beta z)\)

\(\underline{I}(z) = \underline{U}_a \ cos(\beta z) - j\frac{\underline{U}_a}{Z} \ sin(\beta z)\)

vom Leitungsende:  

\(\underline{U}(z) =\underline{U}_e \ cos(\beta (l-z))-jZ \underline{I}_e \ sin(\beta (l-z))\)

\(\underline{I}(z) = \underline{U}_e \ cos(\beta (l-z)) - j\frac{\underline{U}_e}{Z} \ sin(\beta (l-z))\)

Im allgemeinen Fall gilt: 

\(cosh\) und \(sinh\) statt \(cos\) und \(sin\)

 \(\gamma z\) und \(\gamma(l-z)\) statt \(\beta z\) und \(\beta(l-z)\)

Spannungen für drei Leiter:

\(- \frac{d \underline{U}_1}{dz} = Z_{11}' \underline{I}_1 + Z_{12}' \underline{I}_2 \)

\(- \frac{d \underline{U}_2}{dz} = Z_{21}' \underline{I}_1 + Z_{22}' \underline{I}_2 \)

allgemein:

\(- \frac{d [\underline{U}]}{dz} = [Z'] [\underline{I}] \)

Ströme für drei Leiter:

\(- \frac{d \underline{I}_1}{dz} = Y_{1}' \underline{U}_1 + Y_{12}' (\underline{U}_2-\underline{U}_1) \)

\(- \frac{d \underline{I}_2}{dz} = Y_{2}' \underline{U}_2 + Y_{21}' (\underline{U}_1-\underline{U}_2) \)

allgemein:

\(- \frac{d [\underline{I}]}{dz} = [Y'] [\underline{U}] \)

Daraus wird:

\(- \frac{d^2 [\underline{U}]}{dz^2} = [A'] [\underline{U}] \)

\([A]\) ist die Produktmatrix aus \([Z'][Y']\):

\([A]=[Z'][Y']\)

• Gegeben ist der Längsimpedanzbelag Z_{ii}':

\(Z_{ii}' = R_i' + j \omega L_i'\)

• Gegeninduktivitätsbelag \(M_{ik}'\)zwischen beiden Leitern. Der Längsimpedanzbelag beträgt:

\(Z_{ik}' = j \omega M_{ik}'\)

• Gegeben ist der Queradmittanzbelag

\(Y_{i}' = G_i' + j \omega C_i'\) 

• Queradmittanzbelag \(Y_{ik}'\)zwischen beiden Leitern. Er beträgt:

\(-Y_{ik}' = G_{ik}' + j \omega C_{ik}'\)

Die Enkopplung der Leiter in der Wellengleichung!

\(\underline{U}_1 = v_{11} \underline{w}_1 + v_{12} \underline{w}_2\)

\(\underline{U}_2 = v_{21} \underline{w}_1 + v_{22} \underline{w}_2\)

allgemein:

\([\underline{U}] = [v][\underline{w}] \)

\(v\) wird so gewählt das unverkoppelte Differentialgleichungen entstehen:

\(\frac{d^2 \underline{w}_1}{dz^2} = \gamma^2_1 \underline{w}_1\)

\(\frac{d^2 \underline{w}_2}{dz^2} = \gamma^2_2 \underline{w}_2\)

allgemein:

\(\frac{d^2 [\underline{w}]}{dz^2} = [\gamma^2] [\underline{w}]\)