Integralrechnung 1
Grundlagen der Integralrechnung
Grundlagen der Integralrechnung
Potenzregel
\(\int {x^n dx} = \frac {x^{n-1}}{n-1}+C\)
Grundschreibweise des bestimmten Integrals in den Grenzen von x = a bis x = b
\(\int\limits_a^b f(x)\: \mathrm{d}x\)
Was ist der Unterschied zwischen einem unbestimmten und einem bestimmten Integral?
Das unbestimmte Integral besitzt eine feste untere Grenze und hängt lediglich von der oberen Grenze ab, welcher durch den x-Wert für welchen die Rechnung durchgeführt wird gegeben ist.
Das bestimmte Integral hängt dagen von der unteren und oberen Grenze ab. Hier wird die Fläche innerhalb eines bestimmten Intervals berechnet.
Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
Jedes unbestimmte Integral \(I(x) = \int \limits_a^x f(x)\: \mathrm{d}x\) der stetigen Funktion \(f(x)\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)\)
\(\implies I'(x) = f(x)\)
Beispiel zum Weg-Zeit-Gestz
Berechnung des Weges durch Integration von
\(\int \dot{s} \: \mathrm{d}x = \int v(t) \: \mathrm{d}x = \int (gt + v_0) \: \mathrm{d}x\)
\(\int \cos x \: \mathrm{d}x\)
\(\sin x + C\)
\(\int \frac{1}{\cos^2 x} \: \mathrm{d}x\)
\(\tan x +C\)
\(\int 0 \: \mathrm{d}x\)
\(\int 0 \: \mathrm{d}x= C\)
\(\int 1 \: \mathrm{d}x\)
\(\int 1 \: \mathrm{d}x= x + C\)
\(\int \frac{1}{x}\)
\(\ln |x| + C\)
\(\int a^x\: \mathrm{d}x\)
\(\frac{a^x}{\ln a} +C\)
\(\int \sin x\: \mathrm{d}x\)
\(-\cos x +C\)
\(\int \frac{1}{\sin^2 x}\: \mathrm{d}x\)
\(-\cot x + C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\: \mathrm{d}x\)
\(\arcsin x + C\) oder \(- \arccos x +C\)
\(\int \frac{1}{1 + x^2}\: \mathrm{d}x\)
\(\arctan {x} + C\)
\(\int \frac{1}{1 + x^2} \: \mathrm{d}x\)
\(\arctan x +C \ \rightarrow \ |x| <1 \\ \text{arcoth x} + C \ \rightarrow \ |x| > 1\)
Berechnung eines bestimmten Integrals bei der \(F(x)\) eine Stammfunktion von \(f(x)\) ist.
\(\int\limits_a^b f(x)\: \mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)\)
b... obere Grenze; a... untere Grenze
Haupproblem hierbei ist es eine Stammfunktion zu finden, gelingt dies nicht sind andere Methoden wie die Integralsubstitution heranzuziehen.
Integration durch Substitution in \(\int f(x)\: \mathrm{d}x\)
Beispiel: \(\int x \cdot \cos (x^2) \implies u = x^2 \;(u = g(x))\\ \implies \frac{du}{dx} = 2x \;(g'(x)) \\ \implies dx = \frac{du}{2x} \; (\frac{du}{g'(x)})\)
- Aufstellung Substitutionsgleichung (Beispiel)
- Durchführung der Integralsubstitution \(\int f(x) \: \mathrm{d}x = \int f(u) \: \mathrm{d}x\)
- Integration (ausrechnen des neuen Integrals \(\int f(u) \: \mathrm{d}x = F(u) \implies F'(u) = f(u)\)
- Rücksubstitution \(F(u) = F(g(x))\)
Faktorregel
\(\int\limits_a^b C \cdot f(x) \: \mathrm{d}x = C \cdot \int f(x) \: \mathrm{d}x\)
Summenregel
Eine endliche Summe von Funktionen darf gliedweise integriert werden:
\(\int\limits_a^2 [f_1(x) + \dotsb + f_n(x)] \: \mathrm{d}x = \int\limits_a^2 f_1(x) \: \mathrm{d}x+ \dotsb + \int f_n(x) \: \mathrm{d}x \)
Vertauschungsregel
Vertauschen der Integrationsgrenzen bewirkt einen Vorzeichenwechsel des Integrals:
\(\int\limits_a^b f(x) \: \mathrm{d}x = - \int\limits_b^a f(x) \: \mathrm{d}x\)
Zerlegung der Fläche bzw. Aufteilung in Integrationsintervalle
\(\int\limits_a^b f(x) \: \mathrm{d}x = \int\limits_a^c f(x) \: \mathrm{d}x + \int\limits_c^b f(x) \: \mathrm{d}x\\ (a\leq c \leq b)\)
\(\int \frac{1}{x-1} \ dx \)
\(\ln |x-1| + C\)
\(\int \frac{1}{x+2} \ dx \)
\(\ln |x + 2| +C\)
\(\int \frac{1}{(x+2)^2} \ dx \)
\(- \frac{1}{x + 2} + C \)
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Potenzregel
\(\int {x^n dx} = \frac {x^{n-1}}{n-1}+C\)
Grundschreibweise des bestimmten Integrals in den Grenzen von x = a bis x = b
\(\int\limits_a^b f(x)\: \mathrm{d}x\)
Was ist der Unterschied zwischen einem unbestimmten und einem bestimmten Integral?
Das unbestimmte Integral besitzt eine feste untere Grenze und hängt lediglich von der oberen Grenze ab, welcher durch den x-Wert für welchen die Rechnung durchgeführt wird gegeben ist.
Das bestimmte Integral hängt dagen von der unteren und oberen Grenze ab. Hier wird die Fläche innerhalb eines bestimmten Intervals berechnet.
Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
Jedes unbestimmte Integral \(I(x) = \int \limits_a^x f(x)\: \mathrm{d}x\) der stetigen Funktion \(f(x)\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)\)
\(\implies I'(x) = f(x)\)
Beispiel zum Weg-Zeit-Gestz
Berechnung des Weges durch Integration von
\(\int \dot{s} \: \mathrm{d}x = \int v(t) \: \mathrm{d}x = \int (gt + v_0) \: \mathrm{d}x\)
\(\int \cos x \: \mathrm{d}x\)
\(\sin x + C\)
\(\int \frac{1}{\cos^2 x} \: \mathrm{d}x\)
\(\tan x +C\)
\(\int 0 \: \mathrm{d}x\)
\(\int 0 \: \mathrm{d}x= C\)
\(\int 1 \: \mathrm{d}x\)
\(\int 1 \: \mathrm{d}x= x + C\)
\(\int \frac{1}{x}\)
\(\ln |x| + C\)
\(\int a^x\: \mathrm{d}x\)
\(\frac{a^x}{\ln a} +C\)
\(\int \sin x\: \mathrm{d}x\)
\(-\cos x +C\)
\(\int \frac{1}{\sin^2 x}\: \mathrm{d}x\)
\(-\cot x + C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\: \mathrm{d}x\)
\(\arcsin x + C\) oder \(- \arccos x +C\)
\(\int \frac{1}{1 + x^2}\: \mathrm{d}x\)
\(\arctan {x} + C\)
\(\int \frac{1}{1 + x^2} \: \mathrm{d}x\)
\(\arctan x +C \ \rightarrow \ |x| <1 \\ \text{arcoth x} + C \ \rightarrow \ |x| > 1\)
Berechnung eines bestimmten Integrals bei der \(F(x)\) eine Stammfunktion von \(f(x)\) ist.
\(\int\limits_a^b f(x)\: \mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)\)
b... obere Grenze; a... untere Grenze
Haupproblem hierbei ist es eine Stammfunktion zu finden, gelingt dies nicht sind andere Methoden wie die Integralsubstitution heranzuziehen.
Integration durch Substitution in \(\int f(x)\: \mathrm{d}x\)
Beispiel: \(\int x \cdot \cos (x^2) \implies u = x^2 \;(u = g(x))\\ \implies \frac{du}{dx} = 2x \;(g'(x)) \\ \implies dx = \frac{du}{2x} \; (\frac{du}{g'(x)})\)
- Aufstellung Substitutionsgleichung (Beispiel)
- Durchführung der Integralsubstitution \(\int f(x) \: \mathrm{d}x = \int f(u) \: \mathrm{d}x\)
- Integration (ausrechnen des neuen Integrals \(\int f(u) \: \mathrm{d}x = F(u) \implies F'(u) = f(u)\)
- Rücksubstitution \(F(u) = F(g(x))\)
Faktorregel
\(\int\limits_a^b C \cdot f(x) \: \mathrm{d}x = C \cdot \int f(x) \: \mathrm{d}x\)
Summenregel
Eine endliche Summe von Funktionen darf gliedweise integriert werden:
\(\int\limits_a^2 [f_1(x) + \dotsb + f_n(x)] \: \mathrm{d}x = \int\limits_a^2 f_1(x) \: \mathrm{d}x+ \dotsb + \int f_n(x) \: \mathrm{d}x \)
Vertauschungsregel
Vertauschen der Integrationsgrenzen bewirkt einen Vorzeichenwechsel des Integrals:
\(\int\limits_a^b f(x) \: \mathrm{d}x = - \int\limits_b^a f(x) \: \mathrm{d}x\)
Zerlegung der Fläche bzw. Aufteilung in Integrationsintervalle
\(\int\limits_a^b f(x) \: \mathrm{d}x = \int\limits_a^c f(x) \: \mathrm{d}x + \int\limits_c^b f(x) \: \mathrm{d}x\\ (a\leq c \leq b)\)
\(\int \frac{1}{x-1} \ dx \)
\(\ln |x-1| + C\)
\(\int \frac{1}{x+2} \ dx \)
\(\ln |x + 2| +C\)
\(\int \frac{1}{(x+2)^2} \ dx \)
\(- \frac{1}{x + 2} + C \)
