HSE_Mathe_1B_Matrizen
Grundlagen Matrizen .....
Grundlagen Matrizen .....
Wie ist die Determinante einer (2,2) - Matrix definiert?
Die Determinante einer (2, 2)-Matrix ist als Differenz des Produktes der Zahlen in
der Hauptdiagonalen und des Produktes der Zahlen in der Nebendiagonalen definiert.
Wann hat ein lineares Gleichungssystem nur eine Eindeutige Lösung?
Das lineare Gleichungssystem in Matrixform A*x = b, hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Matrix A nicht null ist.
Wie lässt sich die Lösung eins Linearen Gleichungssystem mithilfe einer Determinante lösen?
Die Lösung kann man dann nach der Cramerschen Regel berechnen.
Wie lässt sich die Deteriminante einer (3,3) - Matrix bestimmen ?
Die Determinante einer (3,3)-Matrix entsteht aus Determinanten von (2,2)-Matrizen. (Nach diesem System lassen sich auch größere Matrizen rekursiv berechnen.
Wie lässt sich die Determinante dieser Matrix berechnen?
Die Berechnung der Determinante erfolgt durch Streichen der entsprechenden Zeilen und Spalten.
Wie lässt sich eine Determinante mithilfe der Regel von Sarrus lösen?
Die Determinante einer (3, 3)-Matrix A kann man berechnen, indem man die Matrix
um die ersten beiden Spalten erweitert und anschließend die Produkte der Elemente in
den drei Nebendiagonalen von den Produkten der Elemente in den drei Hauptdiagonalen
subtrahiert.
Löse die gegebene Matrix nach der Regel von Sarrus.
=> (4⋅0⋅2)+(7⋅8⋅1)+(1⋅1⋅5)−(1⋅0⋅1)−(4⋅8⋅5)−(7⋅1⋅2)= −113.
Wie kann mann die lösung eines Linearen Gleichungssystem mit 3 Unbekannten mithilfe der Cramerschen Regel lösen?
Das lineare Gleichungssystem in Matrixform Ax = b, hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Matrix A nicht null ist. Die Lösung kann man dann nach der Cramerschen Regel berechnen.
Wie lässt sich das gegebene Gleichungssystem in Matrixform schreiben?
.
Wie ist der Zusammenhang zwischen dem Spatprodukt und der Determinanten?
Das Spatprodukt der Vektoren a, b und c kann man als Determinante berechnen.
Was ist der Zusammenhang zwischen Determinante und dem Vektorprodukt?
Das Vektorprodukt der Vektoren a und b kann man als symbolische Determinante berechnen. Dabei sind e1, e2 und e3 die Basisvektoren. Basisvektoren -> (1|0|0) / (0|1|0) / (0|0|1).
Wie ist die Determinante einer (n,n) - Matrix definiert?
Die Determinante einer (n,n)-Matrix ist rekursiv definiert.
Nach welchen Zeilen / Spalten lässt sich eine Determinante berrechnen? (Entwicklungssatz)
Die Determinante einer (n,n)-Matrix A lässt sich durch Entwickeln nach der i-ten Zeile berechnen
Dabei bezeichnet Aij diejenige Matrix der Dimension (n−1, n−1), die durch Streichen
der i-ten Zeile und der j-ten Spalte aus der Matrix A entsteht. Entsprechend kann man
eine Determinante auch durch Entwickeln nach einer beliebigen Spalte berechnen.
Auf welche besonderheit im bezug auf die Vorzeichen muss beim Entwickeln einer Determinante geachtet werden?
Die Vorzeichen beim Entwicklungssatz ergeben sich aus einem Schachbrettmuster, das in der linken oberen Ecke mit + startet.
In welchen Fällen ist die Determinante einer Matrix null?
Die Determinante einer quadratischen Matrix ist null, falls
- die Matrix eine Zeile oder Spalte mit lauter Nullen besitzt oder
- in der Matrix zwei Zeilen oder zwei Spalten gleich sind oder
- es in der Matrix eine Zeile bzw. Spalte gibt, die das Vielfache einer anderen Zeile
bzw. Spalte ist.
Welche Rechenregeln gelten für Determinanten (beliebige (n,n) - Matrix)?
- ∣AT∣ = ?
- Vertauschen von zwei Spalten oder Zeilen ?
- ∣λA∣
- ∣A⋅B∣
Für beliebige (n,n)-Matrizen A, B und Skalare λ gilt:
- Die transponierte Matrix hat dieselbe Determinante wie die Matrix: ∣AT∣ = ∣A∣
- Vertauscht man zwei Zeilen oder zwei Spalten, dann ändert sich das Vorzeichen der
Determinante - Bei der Multiplikation mit einem Skalar gilt: ∣λA∣ = λn ∣A∣
- Bei der Multiplikation von Matrizen gilt: ∣A⋅B∣ = ∣A∣ * ∣B∣
Wie läst dich die Determinante von Diagonal- und Dreiecksmatrizen berechnen?
Die Determinante einer Diagonalmatrix oder einer unteren oder oberen Dreiecksmatrix
ist das Produkt der Elemente in der Diagonalen.
Wie ist eine Inverse Matrix definiert?
Zu jeder quadratischen Matrix A, deren Determinante nicht null ist, gibt es eine eindeutig bestimmte inverse Matrix A−1 so, dass
A−1⋅A = E.
Eine Matrix A, die eine inverse Matrix besitzt, nennt man invertierbar oder regulär. Eine nicht invertierbare Matrix heißt singulär.
Unter welcher Bedinung existiert die Inverse einer (2, 2)-Matrix und wie lässt sich diese bestimmen?
Falls die Determinante einer (2, 2)-Matrix nicht null ist, kann man die inverse Matrix
durch folgende Formel berechnen.
Wie lässt sich mit einer Inverse Matrix ein lineares Gleichungssystem lösen?
A*x = b
Falls die Determinante einer quadratischen Matrix A ungleich null ist, dann ist das
lineare Gleichungssystem Ax = b eindeutig lösbar. Die Lösung x kann man durch
Multiplikation der rechten Seite b mit der inversen Matrix A−1 berechnen: x = A−1 b.
Wie ist eine rechteckige Matrize definiert ?
Rechteckige Matrix
Wie ist eine Quadratische Matrix definiert?
Eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen und Spalten gleich ist, nennt man eine
quadratische Matrix.
Wie ist ein Zeilenvektor definiert ?
.
Wie ist ein Spaltenvektor definiert?
Eine Matrix, die aus einer einzigen Spalte bestehet.
Kann eine Matrix ein Skalar sein?
Eine (1, 1)-Matrix x ist eine Matrix mit einer einzigen Zeile und einer einzigen Spalte,
also ein Skalar x = (a11).
Wie ist eine Nullmatrix definiert?
Eine Matrix, bei der alle Elemente den Wert null haben, bezeichnet man als Nullmatrix
0. Eine Nullmatrix muss nicht quadratisch sein.
Wie sind die Begriffe Diagonalmatrix und Einheitsmatrix definiert?
Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Diagonalen null sind,
nennt man eine Diagonalmatrix D. Eine Diagonalmatrix, bei der alle Diagonalelemente
aus Einsen bestehen, nennt man eine Einheitsmatrix E:
Wie ist eine Dreiecksmatrix definiert?
Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente oberhalb der Diagonalen null sind,
nennt man eine untere Dreiecksmatrix L. Entsprechend nennt man eine quadratische
Matrix, bei der alle Elemente unterhalb der Diagonalen null sind, eine obere
Dreiecksmatrix R
Wie wird eine Matrix Transponiert? A => AT
Werden in einer Matrix A die Zeilen und Spalten miteinander vertauscht,so erhält man die transponierte Matrix AT.
Was ist eine Symetrische Matrix?
Eine Matrix, die sich durch Transponieren nicht ändert, nennt man symmetrisch. Eine
symmetrische Matrix ist immer quadratisch.
Wann sind zwei Matrizen gleich?
Die Matrizen A und B sind von derselben Dimension, wenn sowohl die Anzahl der
Zeilen bei A und B als auch die Anzahl der Spalten bei A und B gleich sind. Zwei
Matrizen derselben Dimension sind genau dann gleich, wenn alle entsprechenden Elemente
in jeder Zeile und Spalte gleich sind.
Wie werden zwei Matrizen Addiert bzw. Subtrahiert?
Zwei Matrizen derselben Dimension werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die
entsprechenden Elemente in jeder Zeile und jeder Spalte einzeln addiert bzw. subtrahiert.
Wie wird eine Matrize mit einem Skalar multipliziert?
Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem man jedes einzelne Element
der Matrix mit dem Skalar multipliziert.
Welche Rechenregeln gibt es für Addition und skalare Multiplikation von Matrizen?
Für beliebige Matrizen A, B, C und Skalare λ, μ gilt:
▸ A+B = B +A
▸ (A+B) +C =A+ (B+C)
▸ (A+B)T =AT +BT
▸ (λ+μ)A= λA+μA
▸ λ(A+B) = λA+λB
▸ (AT)T =A
Welche Matrizen lassen sich miteinander Multiplizien?
Das Produkt A⋅B zweier Matrizen A und B ist nur definiert, wenn die Anzahl der
Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von B übereinstimmt. Die Ergebnismatrix C
hat so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B.
Wie ist die Multiplikation von zwei Matrizen definiert?
Bei der Matrixmultiplikation C = A⋅B
berechnet man das Element cij in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix C durch
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + . . . ain bnj
Was ist der Zusammenhang zwischen dem Matrixprodukt und dem Skalarprodukt?
Das Skalarprodukt der Vektoren a und b entspricht dem Produkt einer (1, n)-Matrix
mit einer (n, 1)-Matrix
aTb
Dabei wird der Vektor a durch Transponieren zu einem Zeilenvektor.
Was ist das dyadische Produkt?
Das dyadische Produkt der Vektoren a und b entspricht dem Produkt einer
(m, 1)-Matrix mit einer (1, n)-Matrix
abT
Dabei wird der Vektor b durch Transponieren zu einem Zeilenvektor. Das Ergebnis ist
eine (m,n)-Matrix.
Ist das Matrixprodukte A⋅B und B ⋅A generell das selbe?
Die Matrixprodukte A⋅B und B ⋅A sind nur in Ausnahmefällen gleich:
Wenn das Produkt zweier Matrizen A und B eine Nullmatrix ergibt, ist dann eine der Martizen eine Nullmatrix?
Wenn das Produkt zweier Matrizen A und B eine Nullmatrix ergibt, dann kann man
daraus nicht schließen, dass die Matrix A oder die Matrix B eine Nullmatrix ist
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Cartes-fiches
Wie ist eine rechteckige Matrize definiert ?
Rechteckige Matrix
Wie ist eine Quadratische Matrix definiert?
Eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen und Spalten gleich ist, nennt man eine
quadratische Matrix.
Wie ist ein Zeilenvektor definiert ?
.
Wie ist ein Spaltenvektor definiert?
Eine Matrix, die aus einer einzigen Spalte bestehet.
Kann eine Matrix ein Skalar sein?
Eine (1, 1)-Matrix x ist eine Matrix mit einer einzigen Zeile und einer einzigen Spalte,
also ein Skalar x = (a11).
Wie ist eine Nullmatrix definiert?
Eine Matrix, bei der alle Elemente den Wert null haben, bezeichnet man als Nullmatrix
0. Eine Nullmatrix muss nicht quadratisch sein.
Wie sind die Begriffe Diagonalmatrix und Einheitsmatrix definiert?
Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Diagonalen null sind,
nennt man eine Diagonalmatrix D. Eine Diagonalmatrix, bei der alle Diagonalelemente
aus Einsen bestehen, nennt man eine Einheitsmatrix E:
Wie ist eine Dreiecksmatrix definiert?
Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente oberhalb der Diagonalen null sind,
nennt man eine untere Dreiecksmatrix L. Entsprechend nennt man eine quadratische
Matrix, bei der alle Elemente unterhalb der Diagonalen null sind, eine obere
Dreiecksmatrix R
Wie wird eine Matrix Transponiert? A => AT
Werden in einer Matrix A die Zeilen und Spalten miteinander vertauscht,so erhält man die transponierte Matrix AT.
Was ist eine Symetrische Matrix?
Eine Matrix, die sich durch Transponieren nicht ändert, nennt man symmetrisch. Eine
symmetrische Matrix ist immer quadratisch.
Wann sind zwei Matrizen gleich?
Die Matrizen A und B sind von derselben Dimension, wenn sowohl die Anzahl der
Zeilen bei A und B als auch die Anzahl der Spalten bei A und B gleich sind. Zwei
Matrizen derselben Dimension sind genau dann gleich, wenn alle entsprechenden Elemente
in jeder Zeile und Spalte gleich sind.
Wie werden zwei Matrizen Addiert bzw. Subtrahiert?
Zwei Matrizen derselben Dimension werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die
entsprechenden Elemente in jeder Zeile und jeder Spalte einzeln addiert bzw. subtrahiert.
Wie wird eine Matrize mit einem Skalar multipliziert?
Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem man jedes einzelne Element
der Matrix mit dem Skalar multipliziert.
Welche Rechenregeln gibt es für Addition und skalare Multiplikation von Matrizen?
Für beliebige Matrizen A, B, C und Skalare λ, μ gilt:
▸ A+B = B +A
▸ (A+B) +C =A+ (B+C)
▸ (A+B)T =AT +BT
▸ (λ+μ)A= λA+μA
▸ λ(A+B) = λA+λB
▸ (AT)T =A
Welche Matrizen lassen sich miteinander Multiplizien?
Das Produkt A⋅B zweier Matrizen A und B ist nur definiert, wenn die Anzahl der
Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von B übereinstimmt. Die Ergebnismatrix C
hat so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B.
Wie ist die Multiplikation von zwei Matrizen definiert?
Bei der Matrixmultiplikation C = A⋅B
berechnet man das Element cij in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix C durch
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + . . . ain bnj
Was ist der Zusammenhang zwischen dem Matrixprodukt und dem Skalarprodukt?
Das Skalarprodukt der Vektoren a und b entspricht dem Produkt einer (1, n)-Matrix
mit einer (n, 1)-Matrix
aTb
Dabei wird der Vektor a durch Transponieren zu einem Zeilenvektor.
Was ist das dyadische Produkt?
Das dyadische Produkt der Vektoren a und b entspricht dem Produkt einer
(m, 1)-Matrix mit einer (1, n)-Matrix
abT
Dabei wird der Vektor b durch Transponieren zu einem Zeilenvektor. Das Ergebnis ist
eine (m,n)-Matrix.
Ist das Matrixprodukte A⋅B und B ⋅A generell das selbe?
Die Matrixprodukte A⋅B und B ⋅A sind nur in Ausnahmefällen gleich:
Wenn das Produkt zweier Matrizen A und B eine Nullmatrix ergibt, ist dann eine der Martizen eine Nullmatrix?
Wenn das Produkt zweier Matrizen A und B eine Nullmatrix ergibt, dann kann man
daraus nicht schließen, dass die Matrix A oder die Matrix B eine Nullmatrix ist
Was gilt für die Multiplikation einer Matrix mit der Einheitsmatrix?
Bei der Multiplikation einer (n,n)-Matrix A mit der (n,n)-Einheitsmatrix E gilt:
A⋅E = A, E⋅A = A
Wass gilt für die Multiplikation mit einer Diagonalmatrix?
Multipliziert man eine Matrix A von links mit einer Diagonalmatrix D, dann werden
die einzelnen Zeilen der Matrix A mit den Elementen der Diagonale skaliert. Bei der
entsprechenden Multiplikation von rechts werden die Spalten der Matrix A mit den
Elementen der Diagonale skaliert.
Wie lauten die Rechenregeln welche für die Muktiplikation von Matrizen gelten?
(λA) ⋅B = ?
A⋅ (B+C) = ?
(A⋅B) ⋅C = ?
(A+B) ⋅C = ?
Für beliebige Matrizen A, B und C mit entsprechend passenden Dimensionen und für
Skalare λ gilt:
(λA) ⋅B = A⋅ (λB)
(A⋅B) ⋅C = A⋅ (B⋅C)
A⋅ (B+C) = A⋅B+A⋅C
(A+B) ⋅C = A⋅C +B⋅C
Wie ist die Potenz einer Matrix definiert?
An
Eine quadratische Matrix A kann man beliebig oft mit sich selbst multiplizieren:
An = A⋅A⋅ . . . ⋅A (n Fache Multiplikation)
Wie ist die Determinante einer (2,2) - Matrix definiert?
Die Determinante einer (2, 2)-Matrix ist als Differenz des Produktes der Zahlen in
der Hauptdiagonalen und des Produktes der Zahlen in der Nebendiagonalen definiert.
Wann hat ein lineares Gleichungssystem nur eine Eindeutige Lösung?
Das lineare Gleichungssystem in Matrixform A*x = b, hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Matrix A nicht null ist.
Wie lässt sich die Lösung eins Linearen Gleichungssystem mithilfe einer Determinante lösen?
Die Lösung kann man dann nach der Cramerschen Regel berechnen.
Wie lässt sich die Deteriminante einer (3,3) - Matrix bestimmen ?
Die Determinante einer (3,3)-Matrix entsteht aus Determinanten von (2,2)-Matrizen. (Nach diesem System lassen sich auch größere Matrizen rekursiv berechnen.
Wie lässt sich die Determinante dieser Matrix berechnen?
Die Berechnung der Determinante erfolgt durch Streichen der entsprechenden Zeilen und Spalten.
Wie lässt sich eine Determinante mithilfe der Regel von Sarrus lösen?
Die Determinante einer (3, 3)-Matrix A kann man berechnen, indem man die Matrix
um die ersten beiden Spalten erweitert und anschließend die Produkte der Elemente in
den drei Nebendiagonalen von den Produkten der Elemente in den drei Hauptdiagonalen
subtrahiert.
Löse die gegebene Matrix nach der Regel von Sarrus.
=> (4⋅0⋅2)+(7⋅8⋅1)+(1⋅1⋅5)−(1⋅0⋅1)−(4⋅8⋅5)−(7⋅1⋅2)= −113.
Wie kann mann die lösung eines Linearen Gleichungssystem mit 3 Unbekannten mithilfe der Cramerschen Regel lösen?
Das lineare Gleichungssystem in Matrixform Ax = b, hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Matrix A nicht null ist. Die Lösung kann man dann nach der Cramerschen Regel berechnen.
Wie lässt sich das gegebene Gleichungssystem in Matrixform schreiben?
.
Wie ist der Zusammenhang zwischen dem Spatprodukt und der Determinanten?
Das Spatprodukt der Vektoren a, b und c kann man als Determinante berechnen.
Was ist der Zusammenhang zwischen Determinante und dem Vektorprodukt?
Das Vektorprodukt der Vektoren a und b kann man als symbolische Determinante berechnen. Dabei sind e1, e2 und e3 die Basisvektoren. Basisvektoren -> (1|0|0) / (0|1|0) / (0|0|1).
Wie ist die Determinante einer (n,n) - Matrix definiert?
Die Determinante einer (n,n)-Matrix ist rekursiv definiert.
Nach welchen Zeilen / Spalten lässt sich eine Determinante berrechnen? (Entwicklungssatz)
Die Determinante einer (n,n)-Matrix A lässt sich durch Entwickeln nach der i-ten Zeile berechnen
Dabei bezeichnet Aij diejenige Matrix der Dimension (n−1, n−1), die durch Streichen
der i-ten Zeile und der j-ten Spalte aus der Matrix A entsteht. Entsprechend kann man
eine Determinante auch durch Entwickeln nach einer beliebigen Spalte berechnen.
Auf welche besonderheit im bezug auf die Vorzeichen muss beim Entwickeln einer Determinante geachtet werden?
Die Vorzeichen beim Entwicklungssatz ergeben sich aus einem Schachbrettmuster, das in der linken oberen Ecke mit + startet.
In welchen Fällen ist die Determinante einer Matrix null?
Die Determinante einer quadratischen Matrix ist null, falls
- die Matrix eine Zeile oder Spalte mit lauter Nullen besitzt oder
- in der Matrix zwei Zeilen oder zwei Spalten gleich sind oder
- es in der Matrix eine Zeile bzw. Spalte gibt, die das Vielfache einer anderen Zeile
bzw. Spalte ist.
Welche Rechenregeln gelten für Determinanten (beliebige (n,n) - Matrix)?
- ∣AT∣ = ?
- Vertauschen von zwei Spalten oder Zeilen ?
- ∣λA∣
- ∣A⋅B∣
Für beliebige (n,n)-Matrizen A, B und Skalare λ gilt:
- Die transponierte Matrix hat dieselbe Determinante wie die Matrix: ∣AT∣ = ∣A∣
- Vertauscht man zwei Zeilen oder zwei Spalten, dann ändert sich das Vorzeichen der
Determinante - Bei der Multiplikation mit einem Skalar gilt: ∣λA∣ = λn ∣A∣
- Bei der Multiplikation von Matrizen gilt: ∣A⋅B∣ = ∣A∣ * ∣B∣
