Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik - Kurseinheit 1 Kapitel 3 Deskriptive Statistik
Grundlagenkurs der Fernuni Hagen
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Welche Formel kann angewandt werden, wenn jede Beobachtung nur einmal auftritt?
Unter der Voraussetzung, dass jede Beobachtung nur einmal auftritt, gilt ausgehend von der Formel des Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson, wobei die Beobachtungen xi und yi den Rangzahlen entsprechen:
Wie sieht der Korrelationskoeffizient nach Spearman (ohne Bindung aus)?
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Was kann man mit einer Kontingenztabelle untersuchen?
Die Abhängigkeit zwischen zwei nominalen Merkmalen wird anhand des Kontingenzkoeffizienten untersucht. Dabei wird von der zweidimensionalen absoluten Häufigkeitstabelle ausgegangen, welche in diesem Zusammenhang Kontingenztabelle genannt wird.
Mit was wird der Chi-Quadrat-Test berechnet?
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Wie berechnet sich der Chi-Quadrat-Test?
Die Summanden bestehen aus der quadrierten Abweichung der beobachteten absoluten Häufigkeiten von den Häufigkeiten, die sich bei Unabhängigkeit ergeben. Die Division durch die absolute Häufigkeit bei Unabhängigkeit der Merkmale bedeutet, dass die relativen quadratischen Abweichungen betrachtet werden.
Wie definiert sich der Kontingenzkoeffizient?
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Welche Werte nimmt der Kontingenzkoeffizient C an?
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Wovon hängt der maximale Wert ab, den der Kontingenzkoeffizient annehmen kann?
Der maximale Wert, den der Kontingenzkoeffizient annehmen kann, hängt somit von der Größe der Kontingenztabelle ab.
Wie berechnet sich der korrigierte Kontingenzkoeffizient?
korrigierter Kontingenzkoeffizient
Erläutere den Begriff der Invarianz.
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Was kann mittels Kontingenzkoeffizienten nicht gemessen werden?
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Was schränkt den Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson ein?
Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson darf nur für metrisch messbare Merkmale berechnet werden, da er nur für diese ein sinnvolles Maß für den Grad des Zusammenhangs liefert.
Wofür ist der Rangkorrelationskoeffizient geeignet?
Der Rangkorrelationskoeffizient (Korrelationskoeffizient nach Spearman) ist für Merkmale geeignet, die wenigstens auf einer Ordinalskala gemessen werden können. Seiner Berechnung liegen die Rangziffern der geordneten Merkmalswerte zugrunde. Der Rangkorrelationskoeffizient ist der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson dieser Rangziffern. Aus diesem Zusammenhang ergeben sich dann auch entsprechende Interpretationsmöglichkeiten für diesen Korrelationskoeffizienten.
Wofür ist der Kontingenzkoeffizient?
Der Kontingenzkoeffizient kann für nominal messbare Merkmale berechnet werden. Seine Bestimmung ist unabhängig davon, in welcher Reihenfolge die einzelnen Merkmalsausprägungen in der Kontingenztabelle aufgeführt werden. Wird die Reihenfolge der Merkmalsausprägungen geändert, so entspricht das einer Vertauschung von Zeilen und/oder Spalten, wobei der Wert des Kontingenzkoeffizienten gleich bleibt (Invarianzeigenschaft).
Warum ist die Beziehung zwischen Zusammenhangsmaßen und Messbarkeitseigenschaften der betrachteten Merkmale bei der Untersuchung von Abhängigkeiten zwischen Merkmalen besonders zu beachten.
Werden Merkmale mit unterschiedlichen Messbarkeitseigenschaften auf Abhängigkeiten untersucht, dann ist die jeweils schwächste Skala maßgebend. Das bedeutet z.B., dass ein ordinal messbares und ein metrisch messbares Merkmal nicht mit dem Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson, sondern mit dem Rangkorrelationskoeffizienten auf einen Zusammenhang hin untersucht werden können.
Was bezeichnet den Begriff der Regression und der Regressionsfunktion?
Der Begriff Regression bezeichnet die Untersuchung der Abhängigkeit der Veränderungen eines quantitativen Merkmals von Änderungen eines anderen quantitativen Merkmals (=einfache Regression) oder von Änderungen mehrerer quantitativer Merkmale (=mehrfache Regression).
Zur Beschreibung dieser Abhängigkeit wird die Regressionsfunktion verwendet.
Was beschreiben Regresionsfunktionen in der Regel?
Regressionsfunktionen beschreiben für gewöhnlich keinen eindeutigen Zusammenhang. Die einzelnen Paare von Beobachtungswerten (xj ; yj) werden im allgemeinen nicht auf der Regressionsfunktion liegen, sondern um die Funktion herum streuen. Es wird ein Zusammenhang zwischen den Ausprägungen des Merkmals X und den zugehörigen durchschnittlichen Werten des Merkmals Y beschrieben, d.h. mit ^y wird ein Schätzwert für y angegeben.
Erläutere die Begriffe: Regressionsrechnung, Regressor und Regressand
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Welche möglichen Funktionstypen kann eine Regressionsfunktion annehmen?
Funktionen:
Erläutere das Kriterium der kleinsten Quadrate
Kriterium der kleinsten Quadrate
Was ist ein Streudiagramm. Welchen Zweck hat es?
In verschiedenen Wissenschaften als Anwendungsgebiet der Statistik lassen sich Zusammenhänge nicht immer eindeutig durch eine Funktion beschreiben.
Mittels Streudiagramme lässt sich oft ein erster Eindruck über die Art und die Stärke des Zusammenhanges gewinnen.
Eine grafische Darstellung von Wertpaaren metrischer Merkmale als Punkt in einem kartesischen Koordinatensystem heißt Streuungsdiagramm oder kurz Streudiagramm.
Welche Problem tritt bei der Betrachtung zweier gemeinsam auftretender Merkmale auf?
Es kann zwischen zwei Merkmalen ein tendenzieller Zusammenhang bestehen. Zu klären ist:
- Wie ausgeprägt ist ein Zusammenhang? Tritt er sehr deutlich hervor, ist er nur schwach oder ist gar kein Zusammenhang vorhanden?
- Von welchem Typ ist ein Zusammenhang oder die durchschnittliche Tendenz eines Zusammenhanges? Linear, quadratisch...?
Was ist das lexiografische Ordnungsprinzip?
Eine gleichzeitige Ordnung verschiedener Merkmale ist problematisch, da eine gleichzeitige Ordnung nach beiden Merkmalen nicht möglich ist. Daher werden die Paare zunächst nach den Ausprägungen eines Merkmals und anschließend für übereinstimmenden Ausprägungen dieses Merkmals nach den Ausprägungen des anderen Merkmals geordnet. Dieses Ordnungsprinzip ist die lexiografische Ordnung.
Was ist die zweidimensionale Häufigkeitsverteilung?
Die Gesamtheit aller Kombinationen von Merkmalsausprgungen und der dazugeörigen absoluten und relativen Häufigkeiten ergibt die zweidimensionale Häufigkeitsverteilung. In der tabellarischen Darstellung wird sie zweidimensionale Häufigkeitstabelle genannt.
Was ist eine Korrelationstabelle?
Die Häufigkeitstabelle zweier metrischer oder ordinalskalierter Merkmale wird auch Korrelationstabelle genannt.
Was ist eine Kontingenztabelle?
Die tabellarische Darstellung der Häufigkeitsverteilung zweier nominalskalierter Merkmale heißt auch Kontingenztabelle.
Was besagt die Randverteilung (marginal Verteilung)?
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Was gilt für die absolute Randverteilung?
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Was gilt für die relative Randverteilung?
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Wie können zweidimensionale Häufigkeitstabellen angegeben sein?
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Wie ist die bedingte Verteilung (konditionale Verteilung) definiert?
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Was besagt der bedingter Mittelwert und was die bedingte Streuung?
Für zweidimensionale Verteilungen können Lage- und Streuungsmaße für die Randverteilungen und für die bedingten Verteilungen bestimmt werden. Im letzteren Fall wird von bedingten Mittelwerten und bedingten Streuungen gesprochen.
Was ist die Kovarianz?
Ein spezielles Maß für zweidimensionale Verteilungen quantitativer Merkmale ist die Kovarianz.
Die Kovarianz Cov(X; Y ) der gemeinsamen Verteilung der quantitativen Merkmale X und Y ist ein Maß für die gemeinsame Streuung der beiden Merkmale. Das Vorzeichen der Kovarianz gibt die Richtung des vorliegenden Zusammenhangs an.
Wie berechnet sich die Kovarianz?
Je nachdem, ob für die Berechnung der Kovarianz die absoluten oder die relativen Häufigkeiten verwendet werden, ergeben sich für die Bestimmung der Kovarianz folgende Formeln:
Wie wird die Kovarianz errechnet, wenn die Summanden der Produkte ausmultipliziert weden?
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Was sind abhängige Merkmale?
Für abhängige Merkmale gilt, dass die Werte bzw. die Gestalt der bedingten Verteilung des einen Merkmals davon abhängt, welchen Wert bzw. welche Ausprägung das andere Merkmal annimmt.
Was sind unabhängige Merkmale?
Für unabhängige Merkmale gilt, dass für alle Ausprägungen des einen Merkmals die gleiche bedingte Verteilung des anderen Merkmals vorliegt. Die bedingten Verteilungen eines Merkmals dürfen nicht davon abhängen, welchen Wert das andere Merkmal annimmt
Wann heißt eine zweidimensionale Häufigkeitsverteilung empirisch abhängig oder unabhängig?
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Wie lassen sich die Ergebnisse und Aussagen im Bereich der beschreibenden Statistik bewerten?
Alle Ergebnisse und Aussagen im Bereich der beschreibenden Statistik beziehen sich immer nur auf die jeweils erfasste Masse. Verallgemeinerungen auf irgendwelche übergeordnete Massen sind unzulässig. Das gilt für Häufigkeitsverteilungen, für die Kenngrößen von Häufigkeitsverteilungen und auch für die Unabhängigkeit von Merkmalen. Wird für eine gegebene zweidimensionale Häufigkeitsverteilung Unabhängigkeit (oder Abhängigkeit) der beiden Merkmale festgestellt, dann gilt diese Unabhängigkeit nur bezüglich der erfassten Beobachtungswerte, aber nicht allgemein.
Worauf bezieht sich die festgestellte Unabhängigkeit?
- Eine festgestellte Unabhängigkeit bezieht sich im Falle klassierter Daten auf eine gegebene Klasseneinteilung.
- Der eingeführte Unabhängigkeitsbegriff gilt für beliebige Merkmale, d.h. die Messbarkeitseigenschaften der Merkmale haben keinen Einfluss.
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Was ist ein Streudiagramm. Welchen Zweck hat es?
In verschiedenen Wissenschaften als Anwendungsgebiet der Statistik lassen sich Zusammenhänge nicht immer eindeutig durch eine Funktion beschreiben.
Mittels Streudiagramme lässt sich oft ein erster Eindruck über die Art und die Stärke des Zusammenhanges gewinnen.
Eine grafische Darstellung von Wertpaaren metrischer Merkmale als Punkt in einem kartesischen Koordinatensystem heißt Streuungsdiagramm oder kurz Streudiagramm.
Welche Problem tritt bei der Betrachtung zweier gemeinsam auftretender Merkmale auf?
Es kann zwischen zwei Merkmalen ein tendenzieller Zusammenhang bestehen. Zu klären ist:
- Wie ausgeprägt ist ein Zusammenhang? Tritt er sehr deutlich hervor, ist er nur schwach oder ist gar kein Zusammenhang vorhanden?
- Von welchem Typ ist ein Zusammenhang oder die durchschnittliche Tendenz eines Zusammenhanges? Linear, quadratisch...?
Was ist das lexiografische Ordnungsprinzip?
Eine gleichzeitige Ordnung verschiedener Merkmale ist problematisch, da eine gleichzeitige Ordnung nach beiden Merkmalen nicht möglich ist. Daher werden die Paare zunächst nach den Ausprägungen eines Merkmals und anschließend für übereinstimmenden Ausprägungen dieses Merkmals nach den Ausprägungen des anderen Merkmals geordnet. Dieses Ordnungsprinzip ist die lexiografische Ordnung.
Was ist die zweidimensionale Häufigkeitsverteilung?
Die Gesamtheit aller Kombinationen von Merkmalsausprgungen und der dazugeörigen absoluten und relativen Häufigkeiten ergibt die zweidimensionale Häufigkeitsverteilung. In der tabellarischen Darstellung wird sie zweidimensionale Häufigkeitstabelle genannt.
Was ist eine Korrelationstabelle?
Die Häufigkeitstabelle zweier metrischer oder ordinalskalierter Merkmale wird auch Korrelationstabelle genannt.
Was ist eine Kontingenztabelle?
Die tabellarische Darstellung der Häufigkeitsverteilung zweier nominalskalierter Merkmale heißt auch Kontingenztabelle.
Was besagt die Randverteilung (marginal Verteilung)?
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Was gilt für die absolute Randverteilung?
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Was gilt für die relative Randverteilung?
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Wie können zweidimensionale Häufigkeitstabellen angegeben sein?
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Wie ist die bedingte Verteilung (konditionale Verteilung) definiert?
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Was besagt der bedingter Mittelwert und was die bedingte Streuung?
Für zweidimensionale Verteilungen können Lage- und Streuungsmaße für die Randverteilungen und für die bedingten Verteilungen bestimmt werden. Im letzteren Fall wird von bedingten Mittelwerten und bedingten Streuungen gesprochen.
Was ist die Kovarianz?
Ein spezielles Maß für zweidimensionale Verteilungen quantitativer Merkmale ist die Kovarianz.
Die Kovarianz Cov(X; Y ) der gemeinsamen Verteilung der quantitativen Merkmale X und Y ist ein Maß für die gemeinsame Streuung der beiden Merkmale. Das Vorzeichen der Kovarianz gibt die Richtung des vorliegenden Zusammenhangs an.
Wie berechnet sich die Kovarianz?
Je nachdem, ob für die Berechnung der Kovarianz die absoluten oder die relativen Häufigkeiten verwendet werden, ergeben sich für die Bestimmung der Kovarianz folgende Formeln:
Wie wird die Kovarianz errechnet, wenn die Summanden der Produkte ausmultipliziert weden?
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Was sind abhängige Merkmale?
Für abhängige Merkmale gilt, dass die Werte bzw. die Gestalt der bedingten Verteilung des einen Merkmals davon abhängt, welchen Wert bzw. welche Ausprägung das andere Merkmal annimmt.
Was sind unabhängige Merkmale?
Für unabhängige Merkmale gilt, dass für alle Ausprägungen des einen Merkmals die gleiche bedingte Verteilung des anderen Merkmals vorliegt. Die bedingten Verteilungen eines Merkmals dürfen nicht davon abhängen, welchen Wert das andere Merkmal annimmt
Wann heißt eine zweidimensionale Häufigkeitsverteilung empirisch abhängig oder unabhängig?
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Wie lassen sich die Ergebnisse und Aussagen im Bereich der beschreibenden Statistik bewerten?
Alle Ergebnisse und Aussagen im Bereich der beschreibenden Statistik beziehen sich immer nur auf die jeweils erfasste Masse. Verallgemeinerungen auf irgendwelche übergeordnete Massen sind unzulässig. Das gilt für Häufigkeitsverteilungen, für die Kenngrößen von Häufigkeitsverteilungen und auch für die Unabhängigkeit von Merkmalen. Wird für eine gegebene zweidimensionale Häufigkeitsverteilung Unabhängigkeit (oder Abhängigkeit) der beiden Merkmale festgestellt, dann gilt diese Unabhängigkeit nur bezüglich der erfassten Beobachtungswerte, aber nicht allgemein.
Worauf bezieht sich die festgestellte Unabhängigkeit?
- Eine festgestellte Unabhängigkeit bezieht sich im Falle klassierter Daten auf eine gegebene Klasseneinteilung.
- Der eingeführte Unabhängigkeitsbegriff gilt für beliebige Merkmale, d.h. die Messbarkeitseigenschaften der Merkmale haben keinen Einfluss.
Was gilt für empirisch unabhängige Merkmale?
Für empirisch unabhängige Merkmale stimmen alle Verteilungen der bedingten relativen Häufigkeiten untereinander und mit der entsprechenden Randverteilung überein.
Was gilt, wenn für zwei unabhängige Merkmale die absolute Häufigkeit gegeben ist?
Sind für zwei unabhängige Merkmale die absoluten Häufigkeiten gegeben, dann gilt für die absolute Häufigkeit der gemeinsamen zweidimensionalen Verteilung:
Welchen Zweck hat die Aufstelung und die Anaylse zweidimensionaler Verteilungen?
- Besteht eine Abhängigkeit zwischen den betrachteten Merkmalen? Wenn ja, in welcher Ausprägung und von welcher Art liegt diese vor?
Wie kann eine vorhandene Abhängigkeit quantitativ beschrieben werden?
Was gilt für die Darstellung von Merkmalen, die nach einer Nominalskala oder einer Ordinalskala klassifiziert werden? Zu welchen Schlüssen kann man hier gelangen?
Für Merkmale, die nach einer Nominalskala oder einer Ordinalskala klassifiziert werden können, ist eine grafische Darstellung einer zweidimensionalen Verteilung in einem Streudiagramm nicht möglich. Hier können nicht so schnell Urteile über eventuelle Abhängigkeiten gemacht werden.
Was kann man festhalten, wenn man die Zusammenhänge zwischen Merkmalen untersuchen will?
- Bestimmung von Maßzahlen, die angeben, ob überhaupt ein Zusammenhang vorliegt und wie ausgeprägt dieser ist. Die Maßzahlen werden im Allgemeinen so definiert, dass sie bei Unabhängigkeit den Wert 0 annehmen. Bei einem vorhandenen Zusammenhang soll aus demWert der Maßzahl deutlich werden, wie ausgeprägt der Zusammenhang ist.
Bestimmung von Funktionen, die die durchschnittliche Tendenz eines Zusammenhangs wiedergeben. Das ist nur für metrisch messbare Merkmale möglich. Diese Funktionen sind so zu bestimmen, dass sie die in einem Zusammenhang steckende Tendenz möglichst gut beschreiben.
Was bezeichnet man als Kontingenz und was als Korrelation?
Kontingenz bezeichnet den Zusammenhang zwischen qualitativen Merkmalen und von Korrelation wird bei einem Zusammenhang zwischen quantitativen bzw. mindestens ordinalskalierten Merkmalen gesprochen.
was sind Maßzahlen, die für den Grad bzw. die Ausgeprägtheit eines Zusammenhangs berechnet werden?
Die Maßzahlen, die für den Grad bzw. die Ausgeprägtheit eines Zusammenhangs berechnet werden, heißen Korrelationskoeffizient bzw. Kontingenzkoeffizient. An diese Maßzahlen werden folgende Forderungen gestellt:
Existiert kein Zusammenhang, d.h. sind die beiden untersuchten Merkmale unabhängig voneinander, dann soll das Zusammenhangsmaß den Wert 0 annehmen.
Wie drückt sich ein eindeutiger Zusammenhang aus?
Liegt ein eindeutiger Zusammenhang vor, dann soll die Maßzahl den Wert 1 bzw. +1 oder -1 annehmen.
Ein Zusammenhangsmaß, welches diese Eigenschaften erfüllt, nimmt somit Werte in dem Intervall [-1, 1] an.
Die Messbarkeitseigenschaften der betrachteten Merkmale spielen bei der Bestimmung der Korrelations- bzw. Kontingenzkoeffizienten eine wichtige Rolle.
Wie ergibt sich der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
Wird die Kovarianz Cov(X; Y ) durch das Produkt der Standardabweichungen der Randverteilungen der beiden Merkmale (~sx bzw. ~sy) dividiert, so ergibt sich der Korrelationskoeffizient, der nach den englischen Statistikern Bravais und Pearson benannt wurde. Vorausgesetzt wird dabei, dass eine lineare Beziehung zwischen den Merkmalen X und Y vorliegt und beide Variablen mindestens auf einer Intervallskala gemessen werden können.
Wie lautet die formale Definition des Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson (r)?
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Wie kann man den Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson interpretieren?
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Wie liegen die Beobachtungswerte nach dem Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson auf der Geraden?
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Wann wird der Korrelationskoeffizient nach Spearman angewendet?
Der Korrelationskoeffizient nach Spearman wird angewendet, wenn ordinalskalierte Merkmale vorliegen. Im Vergleich zu r wird kein linearer sondern ein monotoner Zusammenhang betrachtet. Für die Berechnung des Korrelationskoeffizient nach Spearman werden Rangdaten benötigt. Dabei werden die Beobachtungswerte jedes Merkmals für sich geordnet und den geordneten Werten wird entsprechend der Reihenfolge eine Rangziffer zugeordnet.
Erläutere den Korrelationskoeffizienten nach Spearman (auch Rangkorrelationskoeffizient genannt)
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Was versteht man bei den Beobachtungswerten unter einer Bindung (Tie)?
Kommen bei den Beobachtungswerten xi bzw. yi identische Merkmalswerte vor, wird von Bindungen (Ties) gesprochen. In dem Fall können die Ränge nicht direkt vergeben werden und es werden sogenannte Durchschnittsränge gebildet, in dem den identischen Werten das arithmetische Mittel der entsprechenden Rangziffern zugeordnet wird.
Welche Formel kann angewandt werden, wenn jede Beobachtung nur einmal auftritt?
Unter der Voraussetzung, dass jede Beobachtung nur einmal auftritt, gilt ausgehend von der Formel des Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson, wobei die Beobachtungen xi und yi den Rangzahlen entsprechen:
Wie sieht der Korrelationskoeffizient nach Spearman (ohne Bindung aus)?
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Was kann man mit einer Kontingenztabelle untersuchen?
Die Abhängigkeit zwischen zwei nominalen Merkmalen wird anhand des Kontingenzkoeffizienten untersucht. Dabei wird von der zweidimensionalen absoluten Häufigkeitstabelle ausgegangen, welche in diesem Zusammenhang Kontingenztabelle genannt wird.
Mit was wird der Chi-Quadrat-Test berechnet?
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Wie berechnet sich der Chi-Quadrat-Test?
Die Summanden bestehen aus der quadrierten Abweichung der beobachteten absoluten Häufigkeiten von den Häufigkeiten, die sich bei Unabhängigkeit ergeben. Die Division durch die absolute Häufigkeit bei Unabhängigkeit der Merkmale bedeutet, dass die relativen quadratischen Abweichungen betrachtet werden.
