Geometrische Formeln
Geometrie, Formeln und ihre Anwendungen. Umfang, Fläche, Volumen von geometrischen Gebilden. Markus Vogel, mavo
Geometrie, Formeln und ihre Anwendungen. Umfang, Fläche, Volumen von geometrischen Gebilden. Markus Vogel, mavo
Würfel:
Gegeben: Kantenlänge s
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {s^3}}\)
Volumen = Länge mal Breite mal Höhe.
Würfel:
Gegeben: Volumen V
Gesucht: Kantenlänge s
\(\LARGE \mathsf { {s} ={^3\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{red}V}}}\)
weil s · s · s = s3 = V
Quader:
Gegeben: Kantenlängen a, b, c
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {a\cdot b\cdot c}=abc}\)
Volumen = Länge mal Breite mal Höhe.
Quader:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{\color{blue}G}\cdot h}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe.
Zudem:
Volumen = Seitenfläche mal Länge = Frontfläche mal Breite
Senkrechtes Prisma:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{\color{blue}G}\cdot h}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe.
Zylinder:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{\color{blue}G}\cdot h}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe.
Zylinder:
Gegeben: Radius r und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = { r^2\! \! \! \cdot\! \pi\! \! \cdot \! \! h}=r^2\!\pi h}\)
Volumen = Grundfläche (=Kreisfläche) mal Höhe.
Pyramide:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{{\color{blue}G}\cdot h}\over3} = {{{\color{blue}G}\!\cdot \!h\! \!\cdot \! \!{1\over3}}}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe durch 3.
Kegel:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{{\color{blue}G}\cdot h}\over3} = {{{\color{blue}G}\!\cdot\! \!h\!\cdot \!\! {1\over3}}}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe durch 3.
Kegel:
Gegeben: Radius r und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{r^2 \!\pi \cdot h}\over3} = {{{r^2 \!\pi} h\!\cdot \!{1\over3}}}}\)
Volumen = Grundfläche (= Kreisfläche) mal Höhe durch 3.
Kugel:
Gegeben: Radius r
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{4r^3 \!\pi }\over3} = {{{4r^3 \!\pi} \!\cdot \!{1\over3}}}}\)
Was kugelt da an mir vorbei?
Vier Drittel Pi mal r hoch drei!
Kugel:
Gegeben: Radius r
Gesucht: Oberfläche O○
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}O_\odot} = {{4r^2 \!\pi } \\{\color{blue}O_\odot} = {{(2r)^2 \!\pi }}}}\)
... und was sie auf dem Leibe hat,
ist vier mal Pi mal r Quadrat.
Kugel:
Gegeben: Durchmesser d
Gesucht: Oberfläche O
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}O_\odot} = {{d^2 \!\pi }}}\)
Kegel:
Gegeben: Radius r und Kantenlänge s
Gesucht: Oberfläche O
\(\large \mathsf {{\color{blue}O} = {{{\color{blue}A_\circ} + Mantel }}\\{{\color{blue}O} = {{{r^2\pi} + {b\cdot s\over2 }}}}\\{{\color{blue}O} = {{{r^2\pi} + rs\pi=\pi r(r\!+\!s)}}}}\)
\(weil\!\!:\mathsf { b = 2r\pi}\)
Zylinder:
Gegeben: Radius r und Höhe h
Gesucht: Oberfläche O
\(\large \mathsf {{\color{blue}O} = {{2{\color{blue}G} + Mantel }}\\{{\color{blue}O} = {{{2r^2\pi} + u\cdot h }}}\\{{\color{blue}O} = {{{2r^2\pi} + 2r\pi h= 2r\pi(r\!+\!h)}}}}\)
\(weil\!\!:\mathsf { u = 2r\pi}\)
Pyramide:
Gesucht: Oberfläche O
\(\large \mathsf {{\color{blue}O} = {{{\color{blue}G} + Mantel }}}\)
Grundfläche + Mantelfläche
Mantel = Summe aller Dreiecksflächen
senkrechtes Prisma:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Oberfläche O
\(\large \mathsf {{\color{blue}O} = {{2{\color{blue}G} + Mantel }}\\{{\color{blue}O} = {{{2{\color{blue}G}} + u\cdot h }}}}\)
\(\mathsf { u = Umfang\,\, der \,\, Grundfläche}\)
Quader:
Gegeben: Kantenlängen a, b, c
Gesucht: Oberfläche O
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}O} = {{2ab\!+\!\!2ac\!\!+\!\!2bc}}}\\ \LARGE \mathsf {{\color{blue}O} = {{2\!\!\cdot\!\!(ab\!+\!ac\!+\!bc)}}}\)
Würfel:
Gegeben: Kantenlänge s
Gesucht:Oberfläche O
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}O} = {6\cdot s^2 = 6s^2}}\)
Quader:
Gegeben: Kantenlängen a, b, c
Gesucht: Raumdiagonale k
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}k} = {{\sqrt{a^2\!+\!b^2\!+\!c^2}}}}\)
Quadrat:
Gegeben: Seitenlänge s
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 4\!\cdot \! s = 4s}\)
Rhombus oder Raute:
Gegeben: Seitenlänge s
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 4\!\cdot \!s = 4s}\)
Rechteck:
Gegeben: Seiten a und b
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 2a \!+\!2b \\ u = 2(a\!+\!b)}\)
Parallelogramm:
Gegeben: Seiten a und b
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 2a\! +\!2b \\u= 2(a\!+\!b)}\)
Dreieck:
Gegeben: Seiten a, b und c
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = a \!+\! b \!+\!c}\)
Gleichseitiges Dreieck:
Gegeben: Seite s
Gesucht: Umfang u
\(\LARGE \mathsf {u = 3\!\cdot \!s = 3s}\)
beliebiges n-Eck:
Gegeben: alle Seiten
Gesucht: Umfang u
\(\large \mathsf {u =\\ Summe \;aller\ Seiten}\)
Beispiel: u = a + b + c + d + e + f + g
Kreis:
Gegeben: Radius r
Gesucht: Umfang u○
\(\LARGE \mathsf {u_{\circ} = 2\!\cdot \! r \!\cdot \! \pi=2 r \pi}\)
Kreis:
Gegeben: Durchmesser d
Gesucht: Umfang u○
\(\LARGE \mathsf {u_{\circ} = d\!\!\cdot\!\!\pi = d\pi}\)
Wie ist die Zahl Pi definiert?
\(\LARGE \mathsf {{\color{green}\pi }= {Kreisumfang\over Kreisdurchmesser} }\)
\(\LARGE \mathsf {{{\color{green}\pi }}= {u_\circ \over d}}\)
π ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser:
Kreis:
Gegeben: Umfang u○
Gesucht: Radius r
\(\LARGE \mathsf {r = {u_\circ\over 2\pi} = {u_\circ\!\! : \!\!(2\pi) }}\)
Kreis:
Gegeben: Umfang u○
Gesucht: Durchmesser d
\(\LARGE \mathsf {d = {u_\circ\over \pi} = {u_\circ\!\! : \!\!\pi }}\)
Rechteck:
Gegeben: Umfang u und Seite b
Gesucht: Seite a
\(\LARGE \mathsf {a = u\!\!:\!\!2 -b\\a = (u\!\!-\!\!2b):2}\)
Quadrat:
Gegeben: Umfang u
Gesucht: Seite s
\(\LARGE \mathsf {s = u:4={u \over 4}}\)
Raute oder Rhombus:
Gegeben: Umfang u
Gesucht: Seite s
\(\LARGE \mathsf {s = u:4={u\over 4}}\)
Parallelogramm:
Gegeben: Umfang u und Seite a
Gesucht: Seite b
\(\LARGE \mathsf {b = u\!:\!2 -a \\b= (u\!\!-\!\!2a):2}\)
Quadrat:
Gegeben: Seite s
Gesucht: Fläche A□
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}{A_{\large\square}}} = s \cdot s = s\large^2}\)
Quadrat:
Gegeben: Fläche A□
Gesucht: Seite s
\(\LARGE \mathsf {s = \sqrt{\color{Blue}\!\!A_{\large\square}}}\)
weil: s · s = s2 = A□
Rechteck:
Gegeben: Seiten a und b
Gesucht: Fläche A
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}A} = a \cdot b=ab}\)
Rechteck:
Gegeben: Fläche A und Seite b
Gesucht: Seite a
\(\LARGE \mathsf {a = {\color{Blue}A} : b = {{\color{Blue}A}\over b}}\)
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Flashcards
Dreieck:
Gegeben: Fläche A und Höhe hc
Gesucht: Seite c
\(\LARGE \mathsf {c = {2\color{Blue}A} : h_c = {2{\color{Blue}A}\over h_c}}\)
Dreieck:
Gegeben: c; hb und hc
Gesucht: Seite b
\(\LARGE \mathsf {b = {2{\color{Blue}A}\over h_b}={c\cdot h_c\over h_b}}\)
Dreieck:
Gegeben: a, b und ha
Gesucht: Höhe hb
\(\LARGE \mathsf {h_b = {2{\color{Blue}A}\over b}={ a\cdot h_a\over b}}\)
Trapez:
Gegeben: Parallelseiten a und c; Höhe ha
Gesucht: Fläche A
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}A} ={a +c\over2}\cdot{h_a}= \\\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,= {(a+c) \cdot h_a\over2}}\)
Fläche gleich Mittellinie m mal Höhe h (Abstand der Parallelen).
Kreis:
Gegeben: Radius r
Gesucht: Fläche A○
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}A_\circ} = r^2 \!\!\!\cdot\!\!\pi=r^2\pi}\)
Die Fläche beträgt Pi mal Quadrat des Radius'.
Kreis:
Gegeben: Fläche A○
Gesucht: Radius r
\(\LARGE \mathsf {r = \sqrt{{\color{blue}A_\circ\over \pi} }}\)
Kreissektor:
Gegeben: Radius r und Zentriwinkel α
Gesucht: Fläche As
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}A_s} = {\alpha \over 360°}\cdot {\color{blue}A_\circ} \\{\color{blue}A_s}= {\alpha \over 360°}\cdot r^2\pi}\)
Die Fläche des Sektors As verhält sich zur Kreisfläche gleich wie α zu 360°.
Kreissektor:
Gegeben: Radius r und Bogenlänge b
Gesucht: Fläche As
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}A_s} = {b\cdot r \over 2 }}\)
Merke:
Die Fläche wird ähnlich einem Dreieck berechnet:
b = "Grundseite"; r = "Höhe"
Würfel:
Gegeben: Kantenlänge s
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {s^3}}\)
Volumen = Länge mal Breite mal Höhe.
Würfel:
Gegeben: Volumen V
Gesucht: Kantenlänge s
\(\LARGE \mathsf { {s} ={^3\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{red}V}}}\)
weil s · s · s = s3 = V
Quader:
Gegeben: Kantenlängen a, b, c
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {a\cdot b\cdot c}=abc}\)
Volumen = Länge mal Breite mal Höhe.
Quader:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{\color{blue}G}\cdot h}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe.
Zudem:
Volumen = Seitenfläche mal Länge = Frontfläche mal Breite
Senkrechtes Prisma:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{\color{blue}G}\cdot h}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe.
Zylinder:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{\color{blue}G}\cdot h}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe.
Zylinder:
Gegeben: Radius r und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = { r^2\! \! \! \cdot\! \pi\! \! \cdot \! \! h}=r^2\!\pi h}\)
Volumen = Grundfläche (=Kreisfläche) mal Höhe.
Pyramide:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{{\color{blue}G}\cdot h}\over3} = {{{\color{blue}G}\!\cdot \!h\! \!\cdot \! \!{1\over3}}}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe durch 3.
Kegel:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{{\color{blue}G}\cdot h}\over3} = {{{\color{blue}G}\!\cdot\! \!h\!\cdot \!\! {1\over3}}}}\)
Volumen = Grundfläche mal Höhe durch 3.
Kegel:
Gegeben: Radius r und Höhe h
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{r^2 \!\pi \cdot h}\over3} = {{{r^2 \!\pi} h\!\cdot \!{1\over3}}}}\)
Volumen = Grundfläche (= Kreisfläche) mal Höhe durch 3.
Kugel:
Gegeben: Radius r
Gesucht: Volumen V
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}V} = {{4r^3 \!\pi }\over3} = {{{4r^3 \!\pi} \!\cdot \!{1\over3}}}}\)
Was kugelt da an mir vorbei?
Vier Drittel Pi mal r hoch drei!
Kugel:
Gegeben: Radius r
Gesucht: Oberfläche O○
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}O_\odot} = {{4r^2 \!\pi } \\{\color{blue}O_\odot} = {{(2r)^2 \!\pi }}}}\)
... und was sie auf dem Leibe hat,
ist vier mal Pi mal r Quadrat.
Kugel:
Gegeben: Durchmesser d
Gesucht: Oberfläche O
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}O_\odot} = {{d^2 \!\pi }}}\)
Kegel:
Gegeben: Radius r und Kantenlänge s
Gesucht: Oberfläche O
\(\large \mathsf {{\color{blue}O} = {{{\color{blue}A_\circ} + Mantel }}\\{{\color{blue}O} = {{{r^2\pi} + {b\cdot s\over2 }}}}\\{{\color{blue}O} = {{{r^2\pi} + rs\pi=\pi r(r\!+\!s)}}}}\)
\(weil\!\!:\mathsf { b = 2r\pi}\)
Zylinder:
Gegeben: Radius r und Höhe h
Gesucht: Oberfläche O
\(\large \mathsf {{\color{blue}O} = {{2{\color{blue}G} + Mantel }}\\{{\color{blue}O} = {{{2r^2\pi} + u\cdot h }}}\\{{\color{blue}O} = {{{2r^2\pi} + 2r\pi h= 2r\pi(r\!+\!h)}}}}\)
\(weil\!\!:\mathsf { u = 2r\pi}\)
Pyramide:
Gesucht: Oberfläche O
\(\large \mathsf {{\color{blue}O} = {{{\color{blue}G} + Mantel }}}\)
Grundfläche + Mantelfläche
Mantel = Summe aller Dreiecksflächen
senkrechtes Prisma:
Gegeben: Grundfläche G und Höhe h
Gesucht: Oberfläche O
\(\large \mathsf {{\color{blue}O} = {{2{\color{blue}G} + Mantel }}\\{{\color{blue}O} = {{{2{\color{blue}G}} + u\cdot h }}}}\)
\(\mathsf { u = Umfang\,\, der \,\, Grundfläche}\)
Quader:
Gegeben: Kantenlängen a, b, c
Gesucht: Oberfläche O
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}O} = {{2ab\!+\!\!2ac\!\!+\!\!2bc}}}\\ \LARGE \mathsf {{\color{blue}O} = {{2\!\!\cdot\!\!(ab\!+\!ac\!+\!bc)}}}\)
Würfel:
Gegeben: Kantenlänge s
Gesucht:Oberfläche O
\(\LARGE \mathsf {{\color{blue}O} = {6\cdot s^2 = 6s^2}}\)
Quader:
Gegeben: Kantenlängen a, b, c
Gesucht: Raumdiagonale k
\(\LARGE \mathsf {{\color{red}k} = {{\sqrt{a^2\!+\!b^2\!+\!c^2}}}}\)
