Förder Mathe

-vom Konkreten zum Abstrakten

konkrete Handlungsebene: konkrete Vorgabe der Gesamtmenge & beider Teilmengen (2+2 Bonbons=4), Dosenwerfen

teilweise vorstellende Handlgsebene: eine Teilmenge aus der Vorstellung heraus benennen

                                                                bei einer konkret vorgegebenen Teilmenge auf die Zahleigenschat der zweiten Teilmenge schließen (2 Bonbons hinlegen -> wie viele fehlen bis zu 4?)

vollständig vorstellende Handlgsebene: zu einer Teilmenge, deren Zahleigenschaft vorgegeben ist, die zweite Teilmenge benennen ( stell dir vor, ich habe 2 Bonbons und will aber 4 haben. Wie viele fehlen mir?)

1. Art: Kind erkennt an einem Modell (Rechenzug), dass immer eine Teilmenge die andere bestimmt

         Fähigkeit zur Übertragung von Erkenntnissen innerhalb des ersten Handlungsmodells

Bsp: Beim Büchsenwerfen auf 6 Büchsen, bleiben 2 stehen. Das heißt, es fallen immer 4 runter.

2. Art: Erkenntnisse auf andere Handlungsmodelle übertragen

             Voraussetzung: Generalisierung 1. Art

Bsp: Auch bei 6 Wendeplättchen gehören zu 2 roten immer 4 gelbe.

3. Art: rkenntnisse verallgemeinern (allgemeine Struktur erkennen)

             Voraussetzung: Generalisierung 2. Art

Bsp: Wenn ich 6 Dinge habe, gehören immer zu 2 Dingen 4.

allgemeine Sachstruktur

objektive Gegebenheiten, die einen Sachverhalt, ein Din, ein Phänomen, als solches bestimmen

Invarianz: Anordnung der Elemene verändert nicht die Mächtigkeit der Elemente

Voraussetzung: gedankliche Rückordnung

Seriation: Mengen können seriativ erweitert/vermindert werden

Mächtigkeitsfolgen sind erstellbar : jede folgende Menge hat ein Element mehr (aufsteigend) oder weniger (absteigend)

Klassifikation: Einzelelemente können zu Klassen zusammengefasst werden

Erkenntnis der Gleichmächtigkeit von Mengen (Klasseneinteilung)

Repräsentanz: Größe der Elemente verändert nicht Mächtigkeit  (Luftballons aufgeblasen/leer -> immer gleich viele)

kardinalaspekt:  Zahleigenschaft

                             Anzahl, Menge und Mächtigkeit, das Erfassen einer Menge (wie viele) z.B. 5 Äpfel

                  kardialer Aspekt erfasst, wenn Kinder Mengen in Bezug setzen können -> mehr Kinder im Schwimmbecken als im Sand?

ordinalaspekt: Positionsbestimmung eines Elements in einer räumlichen oder zeitlichen abfolge (welche) z.B. Position der 5

Das Kind lässt sich durch die Anordnung der Elemente nicht mehr verwirren. Invariante Kinder variieren ihre Meinung nicht.

Erkenntnisse: Reversibilität -> Umkehrbarkeit der Handlung

                           Reversibilität in Verbindung mit Identität-> Gleiche Elemente

                           logische Multiplikation-> Ausdehnug und Dichte wrden in Bezug gesetzt

Zahl der vollen Bündel wird vor Zahl der einzelnen Elemente geschrieben

Bündelung der Elemente

Ich kann alle zweistelligen Zahlen interpretiereun und auf der Mengenebene darstellen

Zehner haben eigene Namen

Bedeutung der Null erkennen (nur volle Bündel, keine einzelnen Elemente)

konventionelle Sprechweise

Erkennen der Struktur der zweistelligen Zahl

verstehender Umgang mit additiven/subtrativen Zahlverknüpfungen im Zahlbereich 0-9

Invarianz, Reperäsentanz, Verbindung von Invarianz und Repräsentanz, Klassifikation, Seriation

Umgang mit der "Mal"-Sprechweise

Erkennen der unterschieldichen Bedeutung der Faktoren

kompetenter Umgang mit der "Mal"-Schreibweise

Berechnen der Produkte

Erkennen der Beziehung zwischen Mengen und Zahlen

Bedeutung der Operationszeichen "+" und "-"

Bedeutung des "="

kindgemäß: Lernvoraussetzungen und die Zone der nächsten Entwicklung des Kindes müssen bekannt sein

sachstrukturgemäß: Strukturelemente des achgegenstandes kennen: Objektive Anforderung des Ziels / Lernzeil entsprechende Lernart wählen/ Lernsituationen schaffen, in denen Strukturelemente erfassbar sind und Schwierigkeiten isolieren

lernstrukturgemäß: Lernprozessorganisation unter Beachtung der wesentlichen Lerndimensionen und ihrer Beziehungen zueinander

untrennbar miteinander verbunden, weil Lernprozesse immer mehrdimensional bestimmt sind.

subjektive Lernvoraussetzungen des Kindes können unter Beachtung von kind-,sach- und lernstrukturgemäßer Lernorganisation mit den objektiven Anforderungen des Lernziels abgestimmt werden.

Lernförderung ist erst dann erfolgreich

Grobdaignose: Festellung in welchem der größeren Lernbereiche die Zone der nächsten Entwicklung liegt

Begonnen wird mit relativ komplexem Item und dann schrittweise weitergearbeitet

Wenn ein Kind ein Item nicht mehr bewältigen kann, ist der Bereich ermittelt, in dem eine Förderung erfolgen muss.

Danach erfolgt Feindiagnose

Feindiagnose: aktueller Lernstand des Kindes innerhalb des ermittelten Gebietes aufzeigen

Feindiagnose ist nur unter Berücksichtigung von Noveau und Komplexität möglich

unterrichtsimmanente: Überprüfung während des Unterrichts, in dem Lernschwierigkeiten erkannt werden sollen

Voraussetzung ist Kenntnis von struktur- und niveauorieniertem Lernprozess

Die durchgeführte Diagnostik muss lernstrukturorientiert sein und Lehrkräfte befähigen, im Sinne des Kindes handlungsfähig zu werden. Lernstrukturgiitter ermöglichen eine leichtere Erkennung der Zone der nächsten Entwicklung. Lernstandsbeschreibungen sind so präziser möglich und es kann eine unterrichtsimmanente Diagnostik erfolgen. Die Ermittlung des genauen Lernstandes und des Lernprozesses ermöglicht eine passgenaue Förderung.

Grundlage für beides: Objektive Gegebenheiten des Lernprozesses -> bzw. Strukturelemente

Kompetenzen, Grundlage ist die Kenntnis des Verlaufs von Lernprozessen

Ein Kind ist sicher invariant, wenn die Anordnung der Elemente keinen Einfluss auf die Mächtigkeitsrelation hat und das Kind diese Einsicht gewonnen hat.

Reversibilität:  Umkehrbarkeit der Handlung, Fähigkeit der gedanklichen Rückordnung (kannst Steine wieder zurück legen, dann wirst du sehen, dass es gleich viele sind)

Reversibilität in Verbindung mit Identität: Kind hat verstanden, dass es immer noch die gleichen Steine sind

 Logische Multiplikation: Dichte und Ausdehung werden in Bezug zueinander gesetzt : Komposition (Steine liegen nur weiter auseinander, aber dehalb nicht mehr geworden)

• Vorteil Mengensymbol:
  • Der Klassifikation wegen: Zahleigenschaft (Menge) kann überprüft werden mit Hilfe des Mengensymbols (Stück für Stück Zuordnung)
  • Der Seriation wegen: Auf- und absteigende Reihenfolge lässt sich überprüfen
  • Bei Ziffernsymbol ist keine Überprüfung möglich (3,5)
• Nachteil Mengensymbol:
  • Je größer die Mengen werden (ab 6), umso größer werden die Symbole und umso unübersichtlicher werden sie deshalb
• Vorteil Ziffernsymbol:
  • Nicht so leicht verwechselbar durch Eindeutigkeit
  • Direkte Zuordnung bei Zahlenkenntnis möglich
• Nachteil Ziffernsymbol:
  • Informationsverlust muss durch Wissen ausgeglichen werden (Zahleigenschaft und die Rangfolge müssen bekannt sein, da nicht überprüfbar)

allgemeine: Spiele zur Wiederholung und Festigung

                        Fertigkeits- und Fähigkeitstraining, keine neue Erkenntnisgewinnung

                        stehen am Ende eines Lernprozesses

lernstrukturorientierte: Spiele, die zur Erlangung bestimmter Teilschritte innerhalb des Lernprozesses eigesetzt werden und diesen begleiten

                                            --> neue Erkenntnisgewinnung

z.B. Mogelspiel

Umgang mit Mals-Sprechweise

Erkennen der unterschiedlichen Bedeutung der Faktoren

Kompetenter Umgang mit Mal-Schreibweise

Berechnen der Produkte

Kind kann zu einer vorgegebenen Menge entsprechende Malaufgabe schreiben

Kind kann Malaufgabe entfalten, auf Mengenebene darstellen ->z.B. Bild malen zu Aufgabe, Muggelsteine legen

Sicherheit in der Bedeutung der Faktoren bei den Aufgaben 3*0(3 Teller mit nihts drauf) und 0*3 (hier kann ich nichts beschreiben)

Ziel erreicht, wenn das Kind zu vorgegebenen Mengen

1. bei variierender Anzahl der Mengen (Variation des Faktors a im Produkt a x b)
2. bei variierender Anzahl der Elemente in den gleichmächtigen Mengen (auf der Zahlebene Variation des Faktors b im Produkt a x b)
3. bei variierender Anzahl der Mengen und der Elemente (auf der Zahlebene Variation der Faktoren a und b im Produkt a x b) jeweils die entsprechende Multiplikationsterme formulieren und vorgegebene Produkte auf der Mengenebene darstellen kann.

Vorteile des Mengensymbols: 1:1 Zuordnung

Seriation: mehr / weniger

Nachteil von Ziffernsymbol: Informationsverlust, abstrakte Vorstellung

Entwickelter Zahlbegriff -> unterscheidung von kardinaler und ordinaer Aspekt und Beziehungsaspekt

Besonders schwierig: beschreiben von 11,12; Zehner 10,20,30

Erkenntnisse, die in einem Bereich erworben wurden können auf einen anderen Lernbereich übertragen werden.

• Grundlage für das Erfassen der allgemein gültigen Struktur der Zahl
• Generalisiertes Lernen lässt eine differenzierte Beschreibung des Prozesses, der Verinnerlichung äußerer Handlungen und der Erkenntnisgewinnung zu
• die Lerndimension Niveau gewährleistet
• die stufenweise subjektive Verinnerlichung objektiv gegebener „Sachverhalte“ (Strukturelemente, Strukturgefüge)
• die Konstruktion von Zusammenhängen zwischen diesen „Sachverhalten“
• und die Ableitungen des Allgemeinen
• dies wird über die Niveaustufen der strukturierten konkreten und vorstellenden Handlung und über die Generalisierungen 1. – 3. Art möglich
• dies wiederum macht deutlich, dass die konkrete, strukturierte Handlung ein wesentliches Element des Lernprozesses ist
• die bewusste und gezielte Ablösung dieser konkreten Handlung durch das nachvollziehende oder vorweggreifende gedankliches Handeln ist ein noch bedeutsameres Element.
• das Nichterkennen dieses Tatbestandes ist ein wesentlicher Schwachpunkt vieler sog. „handlungsorientierter“ Lernkonzepte
  • Nur durch generalisierendes Lernen erkennen Kinder Zusammenhänge!!   

Teil-Ganzes-Konzept: Mengen in Teilmengen zerlegen.

 Operationszeichen (+ - =)

 Mengen-Zahl-Analyse

- Grundlage im Erkenntnis der Mehrdimensioanlität von Lernprozessen

- gekennzeichnet durch Niveau und Komplexität

- höchstmögliches Lernzeil ist erreicht, wenn höchstmögliche Stufe in Niveau ud komplexität erreicht ist

- Dimensionen untergliedert in niveau- bz. Komplexitätsschritte

- diese Schritte werden durch Struktufeldanalyse ermittelt

• Aufbau + Struktur des Zahlenbereiches bis 100 muss verstanden worden sein
• Operationen in dem Bereich müssen bekannt sein (10er Übergang bei +)
• Operationszeichen + und – müssen bekannt sein

• Vorgehensweise lässt nicht zu, dass Kinder ihre Vorkenntnisse einbringen
• Erschwert das Erkennen der Struktur zweistelliger Zahlen
• Orientiert sich an falschen äußeren Kriterien bei der Beurteilung der Anforderungen unterschiedlicher. Gruppen zweistelliger Zahlen
• Birgt die Gefahr der Provokation mechanischen Umgangs zweistelliger Zahlen

a) Kinder bringen viel an Wissen mit: Zahlenaufbau, Struktur, + und –

-> benötigen keine neuen Erkenntniselemente

b) Müssen verschiedene Gedankenschritte ausführen: Problem neuer 10er Übergang, Problem beim Zahlenschreiben

Lösung: Lernschritte durch Gedankenschritte stützen

c) N + K zum gedanklichen Vorstellen der Schritte

1. Zahlenbegriffsbildung
2. Zahlenbegriff als Beziehungsbegriff
3. Verstehender Umgang mit zwei- u. mehrstelligen Zahlen
4. Operation Multiplikation/Division                                                                                                                                                                                 --> Wissen muss erworben sein, sonst keine Chance auf Folgeinhalte