Flugmechanik

Annahme: konst. Radius

Fall 1: Punkt oben im Looping

• \(F_N= F_{Zentrifugal}- F_G = \frac{mv^2}{r} - mg\)

Fall 2: Punkt unten im Looping (siehe Bild)

• \(F_N= F_{Zentrifugal} + F_G = \frac{mv^2}{r} + mg\)

\(\Rightarrow \) in Fall 2, also im unteren Punkt ist die Belastung am größten!

• \(A cos(\phi) =mg\)
• \(Asin(\phi) = \frac{mv^2}{r}\)

statische Stabilität:

• Fähigkeit des Flugzeugs selbstständig nach einer Störung in den stationären Ausganszustand zurückkehren zu können

Kriterium  (stat. Längsstabilität für Flugzeug in Drachenkonfig.)

• \(\frac{\partial C_m}{\partial \alpha} < 0\)

Fähigkeit des Flugzeugs verschiedene stationäre Gleichgewichtszustände einnehmen sowie beschleunigte Bewegungen (Manöver) einleiten zu können

\(\rightarrow\) es kann ein Momentenausgleich mittels Steuerelemente erreicht werden

\(V_H= \frac{r_H}{l_{\mu}} \frac{S_H}{S_F}\) -> Verhältnis \(\frac{Leitwerkshebelarm}{Bezugsflügeltiefe\ Flügel}\) x \(\frac{HL \ Fläche}{Flügelfläche}\)

Neutralpunkt = aerodynamic center (AC)

    \(\rightarrow\) Angriffspunkt des Auftriebs

Schwerpunkt  (CG) sollte vor Neutralpunkt (AC) liegen 

    \(\rightarrow\) Flugzeug dadurch "kopflastig"   

           \(\rightarrow\) Kriterium für stat. Längsstabilität erfüllt : \(\frac{\partial C_m}{\partial \alpha} < 0\)

Fall 2 ist kritischer! 

• da Flugzeug nicht mehr steuerbar! 
• bei 1. nicht mehr stabil aber immer noch steuerbar

• Höhe der Landebahn \(\uparrow\) dann \(LT\uparrow\)  (da \(\rho \downarrow\))
• aero. Güte  \(E\downarrow\) dann \(LT\downarrow\)  (da \(W \uparrow\))

Druckpunkt:

• veränderlich (von Druckverteilung und dadurch vom Anstellwinkel abhängig)
• resultierendes Moment ist 0

Neutralpunkt:

• Moment vorhanden (C_m0), aber nicht vom Anstellwinkel (\(\alpha\)) abhängig
• \(\frac{\partial C_m}{\partial \alpha}=0\)    \(\rightarrow \)     \(\frac{\partial C_m}{\partial C_A}=0\)
• Auftriebs und Momentenbetrachtung lassen sich entkoppeln 

• Bahnwinkel \(\gamma\) : zwischen geodätischem und bahnfestem KS
• Anstellwinkel \(\alpha\): zwischen bahnfestem und flugzeugfestem KS
• Längslagewinkel \(\Theta\): zwischen geodätischem und flugzeugfestem KS ( \(\Theta\)=\(\gamma\)+\(\alpha\))

Rest Siehe Bild!

Tiefe eines äquivalenten Rechteckflügels konstanter Tiefe (\(l_{\mu}\)) und Dicke,                                                               dessen Auftrieb und Nullmoment M₀ (Nickmoment bei A=0) dem eines Flügels beliebiger Geometrie entsprechen

• \(l_{\mu} = \frac 1S \int \limits_{-b/2}^{b/2} l_{\mu}^2 dy\)

Wozu verwendet :

• wichtiger Referenzparameter
• für Reynoldszahl \( \rightarrow\) Widerstand (-sbeiwert)
• Stabilitäts- und Steuerbarkeitsgrößen
• Normierung des Neutral- und Schwerpunktes (AC und CG)

• \(W= \frac{\rho}{2} V^2C_wS_F\)  \(\rightarrow\)   \(W= \frac{\rho}{2} V^2C_{w0}S_F+\frac{\rho}{2} V^2C_{wi}S_F\)

                                                                   \(= \frac{\rho}{2}S_F V^2C_{w0}+\frac{\rho}{2} S_F V^2\frac{1}{\Lambda e \pi}C_A^2\)

• mit \(C_A=\frac{2mg}{\rho S_F V^2}\)

                                                                   \(= K_1 V^2+K_2 \frac{1}{V^2}\)

• \(W_0= K_1V^2\)     und    \(W_i=K_2 \frac{1}{V^2}\)

\(V \uparrow\)     \(\rightarrow\)     \(W_0\uparrow\)   und   \(W_i\downarrow\)

[Anmerkung:

•  \(W_0\) ... parasite Drag
• \(W_i\)  ... induced Drag
• \(W\)  ... Total Drag                        ]

\(\gamma \approx \frac{F}{mg}- \frac{1}{E}\)

• \(\eta_k \uparrow\)    \(\rightarrow\)    \(E \downarrow\)    \(\rightarrow\)    \(\frac{1}{E} \uparrow\)    \(\rightarrow\)    \(\gamma \downarrow\)

 kein Einfluss von \(H\) auf  \(\gamma_{max}\)

•      \(\dot{H} = V sin(\gamma)\)

\(H \uparrow\)     \(\rightarrow \)     \(\dot{H} \uparrow\)

...

Herleitung :

\(E = E_{pot} + E_{kin} = mgH + \frac12 mV^2\)

• spez. Energie:    \(\frac{E}{mg}= H + \frac{V^2}{2g}\)
• spez. Leistung:   \(\frac {\dot{E}}{mg} = \dot{H} + \frac{V \dot{V}}{g}\)  

                     \(\rightarrow\)  SEP (specific excess power)   [Einheit \(\frac{m}{s}\))

mit BWGL (bahnfestes KS):

• \(m\dot{V}=F-W-mg*sin(\gamma)\)     (mit: \(*V \ und \ *\frac{1}{mg}\))

               zu ->   \(\frac{V \dot{V}}{g} = \frac{F-W}{mg} V- Vsin(\gamma)\)

\(\Rightarrow\)  \(SEP = \frac{V \dot{V}}{g} + \dot{H} = \frac{F-W}{mg} V\)

[bei SEP = 0  kann Flugzeug nicht mehr steigen

   \(\rightarrow\)  Geschwindigkeit kann nicht mehr in Höhe umgesetzt werden]

Annahmen:

1. Auftriebsbeiwert \(C_A\) ist   \(const.\)
2. Geschwindigkeit \(V \)   ist   \(const.\)
3. \(\Rightarrow\) aus 1. und 2. folgt:    Änderung in Dichte (\(\rho\)) und somit in der Höhe (\(H\))

 beruht auf   \(mg = \frac{\rho}{2} S_F C_A V^2\)

•     mit \(C_A,V^2 =const \)   folgt mit   \(m \downarrow\)  \(\rightarrow\)   \(\rho \downarrow\) und somit   \(H \uparrow \)

Abweichung von realen Bedingungen: 

• Höhe darf nicht beliebing geändert werden
• es wird immer ein bestimmter Luftraum (Korridor) zugewiesen,                                                                        dieser kann dann stückweise gewechselt werden

[Kurzfassung:

H, C_A, V, m  \(\rightarrow\)  zwei dieser Parameter müssen konstant gehalten werden.

m=konst. weicht von der Realität ab.]

...

• Leistung wird über Geschwindigkeit dargestellt

\(\Rightarrow\)  notwendige und vorhandene Leistung der Triebwerke und somit der Geschwindigkeitsbereich des Flugzeugs können abgelesen/ bestimmt werden

( Leistung eher wichtig für Turboprop-Flugzeuge, da Schub durch Propeller variiert werden kann)

• \(P_{erf} = W V= \frac \rho2 S_F C_{w0} V^3 + \frac 2 \rho (\frac{mg}{S_F})^2 S_F k \frac 1 V\)

\(\gamma_{min} \sim \frac{1}{E_{max}}\)

•  \(E_{max}\) hängt aber nur von den aerodynamischen Eigenschaften des Flugzeugs ab