Finanzen 2

\(D(r) = \sum_{t=1}^T {t \times w_t} \text { mit } w_t=\frac {Z_r(1+r)^{-t}}{P(r)} = \frac {Z_t(1+r)^{-t}}{\sum_{t+1}^{T}Z_t(1+r)^{-t}}\)

Interpretation: Die Absolute Duration ist ein approximatives Maß für die absolute Änderung des Bondpreises bei absoluter Zinsänderung: 

\(\Delta P(r) \approx -D_A(r)\times \Delta r\) 

Portfolioduration gleich der gewichteten Summe der Einzel-Durationen:

 \(D_P = \sum_{i=P}^n x_i D_i\)

Gewicht xi = (Pi / P) gleich Barwert von Titel i bezogen auf Gesamtwert des Portfolios. 

• Die Duration sinkt, wenn der Kupon steigt

• Wenn der Marktzins steigt, sinkt die Duration

• Je länger die Laufzeit, desto größer ist die Duration 

Zentrale Annahme: Flache Zinsstruktur, die nur einer einzigen anfänglichen deterministischen Änderung einer bestimmten Form unterliegen darf (Parallelverschiebung)

Lineare Approximation eines konvexen Zusammenhangs. Resultierender Approximationsfehler kann durch Konvexitätsberücksichtigung und Taylor- Expansionen höherer Ordnung reduziert werden

Erweiterung um mehrfache Zinsänderung möglich (Dynamisierung)

Erweiterungen zur Berücksichtigung nicht-flacher Zinsstrukturen möglich 

• Futures werden an der Börse gehandelt

• Das Timing der Cash Flows: Marking to Market bei Futures

• Die Börse übernimmt das Risiko bei Futures-Kontrakten (in der Regel ist die Einrichtung eines Margin Accounts notwendig) 

A erhält direkt von B 1 Mio. $, zahlt 1 Mio. $ * 0,77€= 770.000€ an B

A kauft zum Marktpreis von 0,91€/$, zahlt 1 Mio. $ * 0,91€= 910.000€, erhält Differenzbetrag von B 1 Mio.*(0,91€/$-0,77 €/$)= 140.000€
A erwirbt 1 Mio. $ zum effektiven Preis von 910.000€-140.000€=770.000€ 

• Abwicklung/Verrechnung von Future-Kontrakten erfolgt über die Clearingstellen der Börsen (z.B. Eurex Clearing)

• Clearingstellen sind zwischen Käufer und Verkäufer geschaltet und fungieren als Gegenpartei für jeden Kontrakt

• Mitglieder der Clearingstelle (z.B. Broker) hinterlegen Sicherheitsleistungen bei der Börse, um das Erfüllungsrisiko auszuschließen und Stabilität und Integrität der Clearingstelle zu sichern

• Die Clearingmitglieder müssen ihrerseits Sicherheitsleistungen von ihren Kunden erheben

• Sicherheiten können Geld und/oder Wertpapiere sein 

\(F_{t,T} = K_t \cdot e^{(r-q)(T-t)}\)

\(\beta_{KF}(t)={x(t) \over n}= {Cov(k_t, F_t) \over Var(F_t)} = \rho (K_t, F_t) {\sigma (K_t \over \sigma (F_t)} \)

Bei ρDE = -1 (perfekt negative Korrelation) kann Risiko vollständig eliminiert werden. Im Portfolio mit σP=0 gilt dann für die Anteile:

\(w_E = \frac {σ_D}{σ_D +σ_E} =1−w_D \)

\(S_P = \frac {E(r_p)-r_f}{σ_p}\)

Aus

P und CAL werden
M und CML 

\(b_i = \frac {\text{Überrendite Aktie}}{\text{Überrendite Markt}}\)

\(Var(r_{DT} )= Var(r_f +β_{DT} r_m −β_{DT} r_f +ε_{DT})\)

Weil Renditen durch Risikofaktoren bestimmt sind, kann eine Aktie durch ein Portfolio an Wertpapieren mit exakt dem selben Gehalt an Risikofaktoren imitiert werden 

Eine Arbitragemöglichkeit besteht, wenn Aktie und Portfolio trotz identischen Risikogehalts unterschiedliche Renditeerwartungen bieten 

Im arbitragefreien Gleichgewicht wird die erwartete Rendite und damit der Preis einer Aktie von den enthaltenen Risikofaktoren und deren Prämien bestimmt 

Die drei (nicht sehr restriktiven) Annahmen der APT

1.  Intensiver Wettbewerb auf den Kapitalmärkten

2.  Anleger streben Vermögensmehrung an

3. Der stochastische Prozess hinter Wertpapierrenditen ist eine lineare Funktion von K Risikofaktoren (Multifaktorenmodell) 

Das Fama/French Modell basiert auf drei Risiko-Faktoren:

1. Marktrisiko (analog CAPM)

2. SMB (Small minus Big): empirischer Renditevorteil von kleinen Unternehmen gegenüber großen Unternehmen

3. HML (High minus Low): empirischer Renditevorteil von Unternehmen mit hohem Buch- zu Marktwert (Value Stocks) gegenüber Unternehmen mit geringem Buch- zu Marktwert (Growth Stocks) 

\((R_{it} – R_{ft}) = a_i + b_{i1}(R_{Mt} – R{ft}) + b_{i2}SMB_t + b_{i3}HML_t + e_{it}\)