FHNW Vorbereitung: Mathematik

\( \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}\,\)

\(\vec c = \vec a \times \vec b\)

\(\vec c \;\bot \; \vec a\: \text{ und }\: \vec c\; \bot \; \vec b\)

\(A_\text{Para}= |\,\vec a \times \vec b\,|\)

\(A_\text{Para} = |\,\vec a \times \vec b\,| = |\,\vec a \,| \cdot |\, \vec b\,| \cdot \sin\varphi\)

\(A_\text{Dreieck} = {1\over2}|\,\vec a \times \vec b\,| = {1\over2} |\,\vec a \,| \cdot |\, \vec b\,| \cdot \sin\varphi\)

\(\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + {2 \over 3} \left(\overrightarrow{AB} + { 1 \over 2 } \overrightarrow{BC}\right)\)

\(\vec r_s = { 1\over 3 }\left(\vec r_a + \vec r_b + \vec r_c\right)\)

\(\overrightarrow{W} = { \vec a \over |\, \vec a\,| } + { \vec b \over |\, \vec b\,| }\)

\(d = 5\)

\(\vec a_\text{neu} = d \cdot { \vec a \over |\, \vec a \,| }\)

\(|\, \vec a_\text{neu} \,| = 5\)

1. \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
2. \({a^m \over a^n} = a^{m-n} = {1 \over a^{n-m}}\)
3. \((a^m)^n = a^{m\,\cdot\,n } = (a^n)^m\)
4. \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)
5. \({a^n \over b^n } = \left({a \over b}\right)^n\)

1. \(\root n \of{a^m} = \left(a^m\right)^{{1 \over n}} = a^{m \over n} = \left(a^{1\over n}\right)^m \)
2. \(\root m\of{\root n \of{a}} = \root m\of{a^{1 \over n}} = \left(a^{1\over n}\right)^{1 \over m} =a^{1 \over m \cdot n} = \root {m \cdot n} \of{a} \)
3. \(\root n \of{a} \cdot \root n \of{b} = \left(a^{1 \over n}\right) \cdot \left(b^{1 \over n}\right) = \left(a \cdot b\right)^{1 \over n}= \root {n} \of{a \cdot b} \)
4. \({\root n \of{a} \over \root n \of{b}} = {a^{1 \over n} \over b^{1 \over n}} = \left(a\over b\right)^{1 \over n} = \root n \of{a \over b}\)

WICHTIG: \(\root n \of{a \pm b} \neq \root n \of{a} \pm \root n \of{b}\)

1. \(\log_a(u \cdot v) = \log_au + \log_av\)
2. \(\log_a({u \over v}) = \log_au - \log_av\)
3. \(\log_a(u^k) = k \cdot \log_au\)
4. \(\log_a \root n \of{u} = \left({1 \over n}\right) \cdot \log_au\)

Wichtig: \(a>0,\:u>0,\:v>0\)

\(\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}\)

Beispiel:

\(\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}\)

Falls der Wurzelexponent n ungerade ist, könnte die n-te Wurzel auch für negative Radikanden definiert werden:

\(\root 3 \of{-8} = -2\)

Es versteckt sich ein drittes Binom im Zähler. Zudem werden die Wurzeln aus dem Nenner entfernt!

\({ a\,-\,b \over \root\of a + \root\of b } =\)

\( { (a\,-\,b)(\root\of a - \root\of b ) \over (\root\of a + \root\of b )(\root\of a - \root\of b ) } =\)

\( {(a\,-\,b)(\root\of a - \root\of b ) \over (a\,-\,b) } = \root\of a - \root\of b\)

Der Logarithmus \(\log_ac\) ist die reelle Zahl, mit der man a potenzieren muss, um c zu erhalten:

\(a^{\log_ac} =c\)

\(e^{-\ln({a \over b})} = e^{\ln\left(({a \over b})^{-1}\right)} = e^{\ln({b \over a})} = {b \over a}\)

\(\left({b \over a}\right)^{m} \)

Der Ausdruck innerhalb der Betragszeichen kann unterschiedliche Vorzeichen haben; diese zwei Fälle müssen unterschieden werden. Zwei Betragsterme führen daher zu vier Fällen.

Beispiel:

\(|\,3x+1\,| = |\,7x-4\,|\)

\(\text{Fall 1}: 3x + 1 \geq 0 \implies x \geq -{1 \over 3}\)

\(\text{Fall 2}: - (3x + 1) < 0 \implies x < -{1 \over 3}\)

\(\text{Fall 3}: 7x - 4 \geq 0 \implies x \geq {4 \over 7}\)

\(\text{Fall 4}: -(7x - 4) < 0 \implies x < {4 \over 7}\)

\(L_x = \{{3 \over 10},{5 \over 4}\}\)

\(D = \det\left(\begin{matrix} a_1x & b_1y & c_1z \\ a_2x & b_2y & c_2z \\ a_3x & b_3y & c_3z \end{matrix}\right)\)

\(\text{Fall 0: } D \neq0\) Gleichungssystem (GS) wird keine leere Lösungsmenge beinhalten

\(\text{Fall 1: } D = 0 \;\text{und}\; D_k \neq 0\)GS wird keine Lösung aufweisen, wenn die Hauptdeterminante 0 ist und eine der Nebendeterminanten ungleich 0 ist.

\(\text{Fall 2: } D = 0 \;\text{und}\; D_k = 0\)Unendliche Lösungen, wenn die Hauptdeterminante sowie alle Nebendeterminanten gleich 0 sind.

\(D_x = \det\left(\begin{matrix} d_1x & b_1y & c_1z \\ d_2x & b_2y & c_2z \\ d_3x & b_3y & c_3z \end{matrix}\right)\)

\(D_y = \det\left(\begin{matrix} a_1x & d_1y & c_1z \\ a_2x & d_2y & c_2z \\ a_3x & d_3y & c_3z \end{matrix}\right)\)

\(D_z = \det\left(\begin{matrix} a_1x & b_1y & d_1z \\ a_2x & b_2y & d_2z \\ a_3x & b_3y & d_3z \end{matrix}\right)\)

\(\text{Gilt nur bei: }D \neq 0\)

\(x = {D_x\over D}\)

\(y = {D_y\over D}\)

\(z = {D_z\over D}\)

\(L = \{(x\,;y\,;z )\}\)

Zu Beginn immer alles ausklammern

\(y = 2x^2-x+4\)

\(y = 2[ x^2-{1 \over 2}x+2]\)

\(y = 2[ (x-{1 \over 4})^2- {1 \over 16}+{32 \over 16}] \)

\(y = 2(x-{1 \over 4})^2- {62 \over 16} \)

\(y = 2(x-{1 \over 4})^2- {31 \over 8} \)

\(m = { y_2 - y_1 \over x_2 - x_1 } = \tan\alpha\)

\(y = m\;(x-x_1) +y_1\)

\({y-y_1 \over x-x_1} = m\)

\(y = {y_2-y_1 \over x_2-x_1}(x-x_1)+y_1\)

\({y-y_1 \over x-x_1} = {y_2-y_1 \over x_2-x_1}\)

\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Wichtig: Es muss 1 auf der rechten Seite stehen. Falls keine 1 steht, kann durch die Zahl dividiert werden. Dazu ein Beispiel:

\(2x + 4y = 12\)

\(\frac{2x}{12} + \frac{4y}{12} = {12 \over 12}\)

\(\frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1\)

Wenn man jetzt y = 0 setzt, dann kann man nach x auflösen und erhält dafür 6. Dasselbe gilt für y (y=3).

Das ergibt dann folgende Punkte: (6,0) & (0,3)

In der Regel gibt es nur eine, es kann aber auch keine oder unendliche viele Lösungen geben.

Setzt man zwei Gleichungen in ein Gleichungssystem, findet man den Schnittpunkt der beiden Geraden. Den Schnittpunkt findet man nur, wenn die Steigungen sich unterscheiden:

\(m_1 \neq m_2 \)Eine Lösung und somit einen Schnittpunkt.

\(m_1 = m_2\; \text{and}\;b_1 \neq b_2 \)Keine Lösung, weil die Geraden parallel verlaufen. 

\(m_1 = m_2\; \text{and}\;b_1= b_2 \)Unendlich viele Lösungen, weil die Geraden aufeinander liegen. In einem GS wären beide Gleichungen gleich (eine kann das Vielfache des Anderen sein).

\(y = a\,x^2+bx+c\)

\(a: \text{Öffnung der Parabel}\)

\(c: \text{y-Achsenabschnitt}\)

\(y = a\,x^2+bx+c\)

\(a \neq 0: \text{Parabel ist geöffnet (bei 0 wäre sie linear)}\)

\(a >0: \text{Parabel nach oben geöffnet}\)

\(a < 0: \text{Parabel nach unten geöffnet}\)

\(S = \left( - {b \over 2a };{4\,a\,c\,- \,b^2 \over 4\,a} \right)\)

\(y = x^2\)

\(a = 1\;\text{und}\;b=c=0\)

\(y=ax^2+bx+c\)

Sie verläuft symmetrisch zur Y-Achse

\(y = a\,(x-x_s )^2 +y_s\)

\(x_s ;y_s : \text{Koordinaten des Scheitelpunkts S}\)

\(ax^2+bx+c =0\)

\(y = 0: \text{Die Nullstellen befinden sich auf der x-Achse}\)

\(c: \text{y-Achsenabschnitt}\)

\(D = b^2-4\,a\,c\)

\(D > 0:\text{Zwei Lösungen}\)

\(D = 0:\text{Eine Lösung}\)

\(D < 0:\text{Keine Lösung}\)

\(D = b^2 -4\,a\,c\)

\(D > 0:\text{Zwei Lösungen}\)

\(D = 0:\text{Eine Lösung}\)

\(D < 0:\text{Keine Lösung}\)

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \)

\(D = b^2 -4\,a\,c\)

Verwende diese Formel um die Nullstellen oder Schnittpunkte zu finden.

\(y = a\,(x-x_1)(x-x_2)\)

Existiert nur wenn es reelle Nullstellen gibt.

\(x_1; x_2: Nullstellen\)

Umformungsarten

\(m_1 \cdot m_2 = -1\)

\(m_1 = {-1 \over m_2 }\)oder \(m_2 = {-1 \over m_1 }\)

Wichtig: Die zwei Geraden stehen orthogonal / senkrecht / normal zueinander.

1. Für jeden Punkt folgende Gleichung aufstellen: \(y=ax^2+bx+c\)
2. Lineares GS aufstellen mit drei Unbekannten
3. Nach den Unbekannten auflösen
4. Die drei Unbekannten in \(y=ax^2+bx+c\)einsetzen.

Für den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ}\)  zweier Punkte \(P\)  und \(Q\)  mit den Ortsvektoren \(\vec p = \overrightarrow{OP}\)  und \(\vec q = \overrightarrow{OQ}\)  gilt:

\(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \vec q - \vec p\)

\(|\vec a|=a=\root\of{a_x^2+a_y^2+a_z^2} = \root\of{\vec a\cdot \vec a}\)