FHNW Vorbereitung: Mathematik
Mathematische Formeln im Unterricht
Mathematische Formeln im Unterricht
Vektorprodukt berechnen (Vektoren)
\( \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}\,\)
Vektorprodukt Definition (Vektoren)
\(\vec c = \vec a \times \vec b\)
\(\vec c \;\bot \; \vec a\: \text{ und }\: \vec c\; \bot \; \vec b\)
\(A_\text{Para}= |\,\vec a \times \vec b\,|\)
Flächenberechnung (Vektoren)
\(A_\text{Para} = |\,\vec a \times \vec b\,| = |\,\vec a \,| \cdot |\, \vec b\,| \cdot \sin\varphi\)
\(A_\text{Dreieck} = {1\over2}|\,\vec a \times \vec b\,| = {1\over2} |\,\vec a \,| \cdot |\, \vec b\,| \cdot \sin\varphi\)
Schwerpunkt eines Dreiecks (Vektor)
\(\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + {2 \over 3} \left(\overrightarrow{AB} + { 1 \over 2 } \overrightarrow{BC}\right)\)
\(\vec r_s = { 1\over 3 }\left(\vec r_a + \vec r_b + \vec r_c\right)\)
Winkelhalbierende zweier Vektoren (Vektor)
\(\overrightarrow{W} = { \vec a \over |\, \vec a\,| } + { \vec b \over |\, \vec b\,| }\)
Länge eines Vektors anpassen (Vektoren)
\(d = 5\)
\(\vec a_\text{neu} = d \cdot { \vec a \over |\, \vec a \,| }\)
\(|\, \vec a_\text{neu} \,| = 5\)
Potenzgesetze
- \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
- \({a^m \over a^n} = a^{m-n} = {1 \over a^{n-m}}\)
- \((a^m)^n = a^{m\,\cdot\,n } = (a^n)^m\)
- \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)
- \({a^n \over b^n } = \left({a \over b}\right)^n\)
Rechenregeln für Wurzeln
- \(\root n \of{a^m} = \left(a^m\right)^{{1 \over n}} = a^{m \over n} = \left(a^{1\over n}\right)^m \)
- \(\root m\of{\root n \of{a}} = \root m\of{a^{1 \over n}} = \left(a^{1\over n}\right)^{1 \over m} =a^{1 \over m \cdot n} = \root {m \cdot n} \of{a} \)
- \(\root n \of{a} \cdot \root n \of{b} = \left(a^{1 \over n}\right) \cdot \left(b^{1 \over n}\right) = \left(a \cdot b\right)^{1 \over n}= \root {n} \of{a \cdot b} \)
- \({\root n \of{a} \over \root n \of{b}} = {a^{1 \over n} \over b^{1 \over n}} = \left(a\over b\right)^{1 \over n} = \root n \of{a \over b}\)
WICHTIG: \(\root n \of{a \pm b} \neq \root n \of{a} \pm \root n \of{b}\)
Rechenregeln für Logarithmen
- \(\log_a(u \cdot v) = \log_au + \log_av\)
- \(\log_a({u \over v}) = \log_au - \log_av\)
- \(\log_a(u^k) = k \cdot \log_au\)
- \(\log_a \root n \of{u} = \left({1 \over n}\right) \cdot \log_au\)
Wichtig: \(a>0,\:u>0,\:v>0\)
Basisumrechnung (Logarithmus)
\(\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}\)
Beispiel:
\(\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}\)
Wurzelziehen bei negativen Radikanden
Falls der Wurzelexponent n ungerade ist, könnte die n-te Wurzel auch für negative Radikanden definiert werden:
\(\root 3 \of{-8} = -2\)
Wurzelbinome
\({ a\,-\,b \over \root\of a + \root\of b }\)
Es versteckt sich ein drittes Binom im Zähler. Zudem werden die Wurzeln aus dem Nenner entfernt!
\({ a\,-\,b \over \root\of a + \root\of b } =\)
\( { (a\,-\,b)(\root\of a - \root\of b ) \over (\root\of a + \root\of b )(\root\of a - \root\of b ) } =\)
\( {(a\,-\,b)(\root\of a - \root\of b ) \over (a\,-\,b) } = \root\of a - \root\of b\)
\(a^{\log_ac} =\;?\)
Der Logarithmus \(\log_ac\) ist die reelle Zahl, mit der man a potenzieren muss, um c zu erhalten:
\(a^{\log_ac} =c\)
\(e^{-\ln({a \over b})}\)
\(e^{-\ln({a \over b})} = e^{\ln\left(({a \over b})^{-1}\right)} = e^{\ln({b \over a})} = {b \over a}\)
\(\left({a \over b}\right)^{-m} \)
\(\left({b \over a}\right)^{m} \)
Betragsgleichung
Warum müssen beim Lösen von Betragsgleichungen Fallunterscheidungen eingeführt werden? Wie viele Fälle sind bei einer Gleichung mit zwei Betragstermen zu unterscheiden?
Der Ausdruck innerhalb der Betragszeichen kann unterschiedliche Vorzeichen haben; diese zwei Fälle müssen unterschieden werden. Zwei Betragsterme führen daher zu vier Fällen.
Beispiel:
\(|\,3x+1\,| = |\,7x-4\,|\)
\(\text{Fall 1}: 3x + 1 \geq 0 \implies x \geq -{1 \over 3}\)
\(\text{Fall 2}: - (3x + 1) < 0 \implies x < -{1 \over 3}\)
\(\text{Fall 3}: 7x - 4 \geq 0 \implies x \geq {4 \over 7}\)
\(\text{Fall 4}: -(7x - 4) < 0 \implies x < {4 \over 7}\)
\(L_x = \{{3 \over 10},{5 \over 4}\}\)
Hauptdeterminante
\(D = \det\left(\begin{matrix} a_1x & b_1y & c_1z \\ a_2x & b_2y & c_2z \\ a_3x & b_3y & c_3z \end{matrix}\right)\)
\(\text{Fall 0: } D \neq0\) Gleichungssystem (GS) wird keine leere Lösungsmenge beinhalten
\(\text{Fall 1: } D = 0 \;\text{und}\; D_k \neq 0\)GS wird keine Lösung aufweisen, wenn die Hauptdeterminante 0 ist und eine der Nebendeterminanten ungleich 0 ist.
\(\text{Fall 2: } D = 0 \;\text{und}\; D_k = 0\)Unendliche Lösungen, wenn die Hauptdeterminante sowie alle Nebendeterminanten gleich 0 sind.
Nebendeterminanten
\(D_x = \det\left(\begin{matrix} d_1x & b_1y & c_1z \\ d_2x & b_2y & c_2z \\ d_3x & b_3y & c_3z \end{matrix}\right)\)
\(D_y = \det\left(\begin{matrix} a_1x & d_1y & c_1z \\ a_2x & d_2y & c_2z \\ a_3x & d_3y & c_3z \end{matrix}\right)\)
\(D_z = \det\left(\begin{matrix} a_1x & b_1y & d_1z \\ a_2x & b_2y & d_2z \\ a_3x & b_3y & d_3z \end{matrix}\right)\)
Unbekannte Variablen aus Determinanten berechnen
\(\text{Gilt nur bei: }D \neq 0\)
\(x = {D_x\over D}\)
\(y = {D_y\over D}\)
\(z = {D_z\over D}\)
\(L = \{(x\,;y\,;z )\}\)
Von Normalform zu Scheitelform (Quadratische Funktion)
Zu Beginn immer alles ausklammern
\(y = 2x^2-x+4\)
\(y = 2[ x^2-{1 \over 2}x+2]\)
\(y = 2[ (x-{1 \over 4})^2- {1 \over 16}+{32 \over 16}] \)
\(y = 2(x-{1 \over 4})^2- {62 \over 16} \)
\(y = 2(x-{1 \over 4})^2- {31 \over 8} \)
Hauptform (Lineare Funktion/Gerade)
\(y = m\;x+b\)
Steigung (Lineare Funktion)
\(m = { y_2 - y_1 \over x_2 - x_1 } = \tan\alpha\)
Punkt-Steigungsform einer Geraden (Lineare Funktion)
\(y = m\;(x-x_1) +y_1\)
\({y-y_1 \over x-x_1} = m\)
Zwei-Punkte-Form einer Geraden (Lineare Funktion)
\(y = {y_2-y_1 \over x_2-x_1}(x-x_1)+y_1\)
\({y-y_1 \over x-x_1} = {y_2-y_1 \over x_2-x_1}\)
Achsenabschnittsform einer Geraden (Lineare Funktion)
\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)
Wichtig: Es muss 1 auf der rechten Seite stehen. Falls keine 1 steht, kann durch die Zahl dividiert werden. Dazu ein Beispiel:
\(2x + 4y = 12\)
\(\frac{2x}{12} + \frac{4y}{12} = {12 \over 12}\)
\(\frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1\)
Wenn man jetzt y = 0 setzt, dann kann man nach x auflösen und erhält dafür 6. Dasselbe gilt für y (y=3).
Das ergibt dann folgende Punkte: (6,0) & (0,3)
Wieviele Lösungen kann es in einem linearen Gleichungssystem geben?
In der Regel gibt es nur eine, es kann aber auch keine oder unendliche viele Lösungen geben.
Setzt man zwei Gleichungen in ein Gleichungssystem, findet man den Schnittpunkt der beiden Geraden. Den Schnittpunkt findet man nur, wenn die Steigungen sich unterscheiden:
\(m_1 \neq m_2 \)Eine Lösung und somit einen Schnittpunkt.
\(m_1 = m_2\; \text{and}\;b_1 \neq b_2 \)Keine Lösung, weil die Geraden parallel verlaufen.
\(m_1 = m_2\; \text{and}\;b_1= b_2 \)Unendlich viele Lösungen, weil die Geraden aufeinander liegen. In einem GS wären beide Gleichungen gleich (eine kann das Vielfache des Anderen sein).
Hauptform (Quadratische Funktion)
\(y = a\,x^2+bx+c\)
\(a: \text{Öffnung der Parabel}\)
\(c: \text{y-Achsenabschnitt}\)
Öffnungen einer Parabel (Quadratische Funktion)
\(y = a\,x^2+bx+c\)
\(a \neq 0: \text{Parabel ist geöffnet (bei 0 wäre sie linear)}\)
\(a >0: \text{Parabel nach oben geöffnet}\)
\(a < 0: \text{Parabel nach unten geöffnet}\)
Scheitelpunkt (Quadratische Funktion)
\(S = \left( - {b \over 2a };{4\,a\,c\,- \,b^2 \over 4\,a} \right)\)
Normalparabel (Quadratische Funktion)
\(y = x^2\)
\(a = 1\;\text{und}\;b=c=0\)
\(y=ax^2+bx+c\)
Sie verläuft symmetrisch zur Y-Achse
Scheitelpunktform einer Parabel (Quadratische Funktion)
\(y = a\,(x-x_s )^2 +y_s\)
\(x_s ;y_s : \text{Koordinaten des Scheitelpunkts S}\)
Quadratische Gleichung (Quadratische Funktion)
Nullstellen suchen
\(ax^2+bx+c =0\)
\(y = 0: \text{Die Nullstellen befinden sich auf der x-Achse}\)
\(c: \text{y-Achsenabschnitt}\)
\(D = b^2-4\,a\,c\)
\(D > 0:\text{Zwei Lösungen}\)
\(D = 0:\text{Eine Lösung}\)
\(D < 0:\text{Keine Lösung}\)
Diskriminante (Quadratische Funktion)
\(D = b^2 -4\,a\,c\)
\(D > 0:\text{Zwei Lösungen}\)
\(D = 0:\text{Eine Lösung}\)
\(D < 0:\text{Keine Lösung}\)
Mitternachtsformel (Quadratische Funktion)
\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \)
\(D = b^2 -4\,a\,c\)
Verwende diese Formel um die Nullstellen oder Schnittpunkte zu finden.
Nullstellenform / Produktform (Quadratische Gleichung)
\(y = a\,(x-x_1)(x-x_2)\)
Existiert nur wenn es reelle Nullstellen gibt.
\(x_1; x_2: Nullstellen\)
Welche Verfahren muss man anwenden, um von einer Form auf eine Andere zu gelangen?
Normalform
Nullstellenform
Scheitelpunktform
Umformungsarten
Orthogonale Geraden (Lineare Funktion)
\(m_1 \cdot m_2 = -1\)
\(m_1 = {-1 \over m_2 }\)oder \(m_2 = {-1 \over m_1 }\)
Wichtig: Die zwei Geraden stehen orthogonal / senkrecht / normal zueinander.
Quadratische Gleichung aufstellen anhand drei Punkte:
P(1/-1), Q(2/4) und R(4/8)
- Für jeden Punkt folgende Gleichung aufstellen: \(y=ax^2+bx+c\)
- Lineares GS aufstellen mit drei Unbekannten
- Nach den Unbekannten auflösen
- Die drei Unbekannten in \(y=ax^2+bx+c\)einsetzen.
Verbindungsvektor (Vektoren)
Für den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ}\) zweier Punkte \(P\) und \(Q\) mit den Ortsvektoren \(\vec p = \overrightarrow{OP}\) und \(\vec q = \overrightarrow{OQ}\) gilt:
\(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \vec q - \vec p\)
Betrag / Länge eines Vektors (Vektoren)
\(|\vec a|=a=\root\of{a_x^2+a_y^2+a_z^2} = \root\of{\vec a\cdot \vec a}\)
-
- 1 / 46
-
Cartes-fiches
Hauptform (Lineare Funktion/Gerade)
\(y = m\;x+b\)
Steigung (Lineare Funktion)
\(m = { y_2 - y_1 \over x_2 - x_1 } = \tan\alpha\)
Punkt-Steigungsform einer Geraden (Lineare Funktion)
\(y = m\;(x-x_1) +y_1\)
\({y-y_1 \over x-x_1} = m\)
Zwei-Punkte-Form einer Geraden (Lineare Funktion)
\(y = {y_2-y_1 \over x_2-x_1}(x-x_1)+y_1\)
\({y-y_1 \over x-x_1} = {y_2-y_1 \over x_2-x_1}\)
Achsenabschnittsform einer Geraden (Lineare Funktion)
\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)
Wichtig: Es muss 1 auf der rechten Seite stehen. Falls keine 1 steht, kann durch die Zahl dividiert werden. Dazu ein Beispiel:
\(2x + 4y = 12\)
\(\frac{2x}{12} + \frac{4y}{12} = {12 \over 12}\)
\(\frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1\)
Wenn man jetzt y = 0 setzt, dann kann man nach x auflösen und erhält dafür 6. Dasselbe gilt für y (y=3).
Das ergibt dann folgende Punkte: (6,0) & (0,3)
Wieviele Lösungen kann es in einem linearen Gleichungssystem geben?
In der Regel gibt es nur eine, es kann aber auch keine oder unendliche viele Lösungen geben.
Setzt man zwei Gleichungen in ein Gleichungssystem, findet man den Schnittpunkt der beiden Geraden. Den Schnittpunkt findet man nur, wenn die Steigungen sich unterscheiden:
\(m_1 \neq m_2 \)Eine Lösung und somit einen Schnittpunkt.
\(m_1 = m_2\; \text{and}\;b_1 \neq b_2 \)Keine Lösung, weil die Geraden parallel verlaufen.
\(m_1 = m_2\; \text{and}\;b_1= b_2 \)Unendlich viele Lösungen, weil die Geraden aufeinander liegen. In einem GS wären beide Gleichungen gleich (eine kann das Vielfache des Anderen sein).
Hauptform (Quadratische Funktion)
\(y = a\,x^2+bx+c\)
\(a: \text{Öffnung der Parabel}\)
\(c: \text{y-Achsenabschnitt}\)
Öffnungen einer Parabel (Quadratische Funktion)
\(y = a\,x^2+bx+c\)
\(a \neq 0: \text{Parabel ist geöffnet (bei 0 wäre sie linear)}\)
\(a >0: \text{Parabel nach oben geöffnet}\)
\(a < 0: \text{Parabel nach unten geöffnet}\)
Scheitelpunkt (Quadratische Funktion)
\(S = \left( - {b \over 2a };{4\,a\,c\,- \,b^2 \over 4\,a} \right)\)
Normalparabel (Quadratische Funktion)
\(y = x^2\)
\(a = 1\;\text{und}\;b=c=0\)
\(y=ax^2+bx+c\)
Sie verläuft symmetrisch zur Y-Achse
Scheitelpunktform einer Parabel (Quadratische Funktion)
\(y = a\,(x-x_s )^2 +y_s\)
\(x_s ;y_s : \text{Koordinaten des Scheitelpunkts S}\)
Quadratische Gleichung (Quadratische Funktion)
Nullstellen suchen
\(ax^2+bx+c =0\)
\(y = 0: \text{Die Nullstellen befinden sich auf der x-Achse}\)
\(c: \text{y-Achsenabschnitt}\)
\(D = b^2-4\,a\,c\)
\(D > 0:\text{Zwei Lösungen}\)
\(D = 0:\text{Eine Lösung}\)
\(D < 0:\text{Keine Lösung}\)
Diskriminante (Quadratische Funktion)
\(D = b^2 -4\,a\,c\)
\(D > 0:\text{Zwei Lösungen}\)
\(D = 0:\text{Eine Lösung}\)
\(D < 0:\text{Keine Lösung}\)
Mitternachtsformel (Quadratische Funktion)
\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \)
\(D = b^2 -4\,a\,c\)
Verwende diese Formel um die Nullstellen oder Schnittpunkte zu finden.
Nullstellenform / Produktform (Quadratische Gleichung)
\(y = a\,(x-x_1)(x-x_2)\)
Existiert nur wenn es reelle Nullstellen gibt.
\(x_1; x_2: Nullstellen\)
Welche Verfahren muss man anwenden, um von einer Form auf eine Andere zu gelangen?
Normalform
Nullstellenform
Scheitelpunktform
Umformungsarten
Orthogonale Geraden (Lineare Funktion)
\(m_1 \cdot m_2 = -1\)
\(m_1 = {-1 \over m_2 }\)oder \(m_2 = {-1 \over m_1 }\)
Wichtig: Die zwei Geraden stehen orthogonal / senkrecht / normal zueinander.
Quadratische Gleichung aufstellen anhand drei Punkte:
P(1/-1), Q(2/4) und R(4/8)
- Für jeden Punkt folgende Gleichung aufstellen: \(y=ax^2+bx+c\)
- Lineares GS aufstellen mit drei Unbekannten
- Nach den Unbekannten auflösen
- Die drei Unbekannten in \(y=ax^2+bx+c\)einsetzen.
Verbindungsvektor (Vektoren)
Für den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ}\) zweier Punkte \(P\) und \(Q\) mit den Ortsvektoren \(\vec p = \overrightarrow{OP}\) und \(\vec q = \overrightarrow{OQ}\) gilt:
\(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \vec q - \vec p\)
Betrag / Länge eines Vektors (Vektoren)
\(|\vec a|=a=\root\of{a_x^2+a_y^2+a_z^2} = \root\of{\vec a\cdot \vec a}\)
Einheitsvektor (Vektoren)
\(\vec e_a = {\vec a \over |\vec a| } = {1 \over |\vec a|}\,\vec a\)
\(|\vec e_a| = 1\)
Skalarprodukt (Vektoren)
\(\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)
\(\vec a \cdot \vec b = |\vec a|\, |\vec b|\,\cos\varphi\)
Schnittwinkel zweier Vektoren (Vektoren)
\(\cos\varphi= { \vec a \cdot \vec b \over |\vec a| \cdot |\vec b| }\)
Orthogonalität zweier Vektoren (Vektoren)
\(\vec a \cdot \vec b = 0 \Leftrightarrow \vec a\; \bot\; \vec b\)
Lotfusspunkt: Abstand von Punkt zu Gerade (Vektoren)
\([ \text{Gerade - Punkt}] \cdot \text{Richtungsvekt.} = 0\)
Subtrahiert man den Punkt von der Geraden, erhält man einen Verbindungsvektor. Dieser Vektor muss senkrecht zur Gerade sein, deswegen multipliziert man ihn mit dem Richtungsvektor der Geraden. Das Skalarprodukt dieser Operation muss 0 ergeben.
Projektion (Vektoren)
\(\vec b_a = \left({ \vec a \,\cdot \, \vec b \over |\vec a|^2 }\right) \vec a = \left( \vec b \cdot \vec e_a \right) \vec e_a\)
Vektorprodukt berechnen (Vektoren)
\( \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}\,\)
Vektorprodukt Definition (Vektoren)
\(\vec c = \vec a \times \vec b\)
\(\vec c \;\bot \; \vec a\: \text{ und }\: \vec c\; \bot \; \vec b\)
\(A_\text{Para}= |\,\vec a \times \vec b\,|\)
Flächenberechnung (Vektoren)
\(A_\text{Para} = |\,\vec a \times \vec b\,| = |\,\vec a \,| \cdot |\, \vec b\,| \cdot \sin\varphi\)
\(A_\text{Dreieck} = {1\over2}|\,\vec a \times \vec b\,| = {1\over2} |\,\vec a \,| \cdot |\, \vec b\,| \cdot \sin\varphi\)
Schwerpunkt eines Dreiecks (Vektor)
\(\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + {2 \over 3} \left(\overrightarrow{AB} + { 1 \over 2 } \overrightarrow{BC}\right)\)
\(\vec r_s = { 1\over 3 }\left(\vec r_a + \vec r_b + \vec r_c\right)\)
Winkelhalbierende zweier Vektoren (Vektor)
\(\overrightarrow{W} = { \vec a \over |\, \vec a\,| } + { \vec b \over |\, \vec b\,| }\)
Länge eines Vektors anpassen (Vektoren)
\(d = 5\)
\(\vec a_\text{neu} = d \cdot { \vec a \over |\, \vec a \,| }\)
\(|\, \vec a_\text{neu} \,| = 5\)
Potenzgesetze
- \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
- \({a^m \over a^n} = a^{m-n} = {1 \over a^{n-m}}\)
- \((a^m)^n = a^{m\,\cdot\,n } = (a^n)^m\)
- \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)
- \({a^n \over b^n } = \left({a \over b}\right)^n\)
Rechenregeln für Wurzeln
- \(\root n \of{a^m} = \left(a^m\right)^{{1 \over n}} = a^{m \over n} = \left(a^{1\over n}\right)^m \)
- \(\root m\of{\root n \of{a}} = \root m\of{a^{1 \over n}} = \left(a^{1\over n}\right)^{1 \over m} =a^{1 \over m \cdot n} = \root {m \cdot n} \of{a} \)
- \(\root n \of{a} \cdot \root n \of{b} = \left(a^{1 \over n}\right) \cdot \left(b^{1 \over n}\right) = \left(a \cdot b\right)^{1 \over n}= \root {n} \of{a \cdot b} \)
- \({\root n \of{a} \over \root n \of{b}} = {a^{1 \over n} \over b^{1 \over n}} = \left(a\over b\right)^{1 \over n} = \root n \of{a \over b}\)
WICHTIG: \(\root n \of{a \pm b} \neq \root n \of{a} \pm \root n \of{b}\)
Rechenregeln für Logarithmen
- \(\log_a(u \cdot v) = \log_au + \log_av\)
- \(\log_a({u \over v}) = \log_au - \log_av\)
- \(\log_a(u^k) = k \cdot \log_au\)
- \(\log_a \root n \of{u} = \left({1 \over n}\right) \cdot \log_au\)
Wichtig: \(a>0,\:u>0,\:v>0\)
Basisumrechnung (Logarithmus)
\(\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}\)
Beispiel:
\(\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}\)
Wurzelziehen bei negativen Radikanden
Falls der Wurzelexponent n ungerade ist, könnte die n-te Wurzel auch für negative Radikanden definiert werden:
\(\root 3 \of{-8} = -2\)
Wurzelbinome
\({ a\,-\,b \over \root\of a + \root\of b }\)
Es versteckt sich ein drittes Binom im Zähler. Zudem werden die Wurzeln aus dem Nenner entfernt!
\({ a\,-\,b \over \root\of a + \root\of b } =\)
\( { (a\,-\,b)(\root\of a - \root\of b ) \over (\root\of a + \root\of b )(\root\of a - \root\of b ) } =\)
\( {(a\,-\,b)(\root\of a - \root\of b ) \over (a\,-\,b) } = \root\of a - \root\of b\)
\(a^{\log_ac} =\;?\)
Der Logarithmus \(\log_ac\) ist die reelle Zahl, mit der man a potenzieren muss, um c zu erhalten:
\(a^{\log_ac} =c\)
\(e^{-\ln({a \over b})}\)
\(e^{-\ln({a \over b})} = e^{\ln\left(({a \over b})^{-1}\right)} = e^{\ln({b \over a})} = {b \over a}\)
