Festigkeit im Leichtbau

• Theorie 1. Ordnung:
  • Gleichgewicht am unverformten System
  • Verformungen sind klein
  • Stabilitätsprobleme nicht lösbar
• Theorie 2. Ordnung: => DIESE THEORIE BEHANDELN WIR IN FIL UND TM2!
  • Gleichgewicht am verformten System
  • Verformungen sind klein (Linearisierung ist möglich)
  • Praktische Stabilitätsprobleme sind lösbar, liefern genaue Werte für die kritische Last.
  • Verformung oberhalb der kritischen Last ist nicht berechenbar.
• Theorie 3. Ordnung:
  • Gleichgewicht am verformten System
  • Verformungen sind nich mehr klein (keine Linearisierung möglich)
  • Liefert kritische Last und die Verformung oberhalb der kritischen Last

• Wenn die potentielle Energie des Systems gegenüber allen möglichen differentiell benachbarten Lagen ein Minimum besitzt!
• Die Gesetzmäßigkeit des Minimums der potentiellen Energie kann zur Berechnung der kritischen Last genutzt werden.
• Voraussetzung zur Berechnung der kritischen Last ist immer, daß von einem ausgelenkten Systemzustand ausgegangen wird.

• Durchschlagprobleme
  • Im Kraft-Verschiebungs-Diagramm ist eine Sinus/Cosinus-Welle zu sehen.
• Verzweigungsprobleme
  • Im Kraft-Verschiebungs-Diagramm ist eine Parabel, beginnend bei der kritischen Last, zu sehen.

1. Betrachtung einer stabförmigen Struktur mit konstanten elastischen Eigenschaften (EI=konst.).
2. GGB am verformten System bei einer Kraft Fk
3. Einführung der DGL für Biegelinie (homogene DGL)
4. Konstanten der DGL über Randbedingungen bestimmen
5. Eulersche Knicklast ergibt sich aus den Randbedingungen für die niedrigste Last.
6. Auslenkungsform der stabförmigen Struktur unter dieser Last ist eine Sinus-Halbwelle mit unbestimmer Amplitude.
7. Für F=Fk liegt ein Verzweigungsproblem vor.
8. Entscheidend für die Knickform und Knickkraft sind die Randbedingungen
9. Mit Einführung des Eulerschen Knickbeiwertes ke können vier Grundfälle angegeben werden

Da die Theorie von Euler linear-elastisches Materialverhalten voraussetzt, gilt sie nur solange die Spannung unterhalb der Proportionalitätsgrenze bleibt.

• Das Knick-Spannungs-Diagramm stellt die Knickspannung in Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad dar.
• Die Grenze zwischen elastischen und plastischem Bereich ist dort, wo die Knickspannung die Proportionalitätsgrenze erreicht .
• Der Bereich kleinerer Schlankheitsgrade (gedrungene Strukturen) ist der plastische Bereich, der durch plastisches Fließen gekennzeichnet ist.
• Für den Übergangsbereich vom Fließen in das elastische Knicken existiert eine Vielzahl an Modellen, die oftmals materialabhängig sind
• Im Leichtbau wird häufig auf ein Modell nach Engesser/Karman zurückgegriffen. Dabei wird der Einfluß der Plastizität durch einen reduzierten E-Modul berücksichtigt. Dieser heißt Knickmodul Ek oder Karmanscher E-Modul und wird in die Knichberechnungen eingeführt.

• Oberseite von Containern beim Verladen
• Oberseite eines Tragflügel im Flug
• Dächer von Fahrzeugen
• Aufbauten

• Der Beulwert k ist definiert als k = b²/l².
• Er ist von der Geometrie eines Hautfeldes abhängig, aber auch von den Randbedingungen dieses Hautfeldes.

Kurve ähnelt einer Girlande (Girlanden-Kurve)!

Grundsätzlich kann man dazu sagen:
Je steifer die Lagerung, desto höher der Beulwert k

• Gurte
• Stringer
• Sicken

Je nach Randbedingungen, Steifigkeitsverhältnissen und Anordnung der Steifen können zwei Fälle auftreten:

• Globales Beulen als orthotropes Hautfeld
  • Steifen eher eng angeordnet und in ihrer Steifigkeit schwach ausgeführt
  • Steifen beulen gleichzeitig mit dem Hautfeld (symmetrisch Beulform)
  • Beulwellenlängen wesentlich größer als Steifenabstand
  • Steifen können verschmiert und Hautfeld als orthotrop betrachtet werden
• Lokales Beulen der Hautfelder zwischen den Steifen
  • Längssteifen ausreichend steif, sodass Hautfelder als entlang der Steifen gelagerte Felder beulen bevor die Steifen knicken
  • Hautfeld beult antimetrisch, wobei die Steifen gerade bleiben
  • für das lokale Hautfeldbeulen gelten die Beziehungen für das Beulen von Hautfeldern unter Druck
  • Globales Versagen (Beulen) ist durch das Versagen der Längssteifen bestimmt.

max 9

• Globales Knicken (einschließlich Euler-Knicken und Biegedrillknicken)
  • Langwellige Beulform
  • Querschnittsform bleibt erhalten.
  • Nur die Profilachse weicht aus.
• Elastisch-plastisches Versagen oberhalb der Fließgrenze (Traglastproblem)
• Lokale Instabilität durch Beulen der Profilwände (analog zu Hautfeldstreifen)
  • Kurzwellige Beulform
  • Anschlußkanten der Profilwände bleiben gerade, da alle Abwinkelungen
    wie eine Lagerung stabilisieren und als Knotenlinie der Beulwellen
    wirken.
  • Die Profile werden in Hautfeldstreifen unterschiedlicher Lagerung, für die bekannte Beulwerte existieren, aufgeteilt.
    • Geschlossenes Profil: jede Teilwand als beidseitig gelenkig ge-lagert
    • Offenes Profil: freie Schenkel als einseitig gelenkig gelagert und einseitig frei

Man nimmt an, dass ein Hautfeld mit Steifen nach dem Beulen in der Mitte keine Kraft überträgt, der Rand jedoch voll mitträgt (die Stelle des Hautfeldes, die mit den Steifen verbunden ist inkl. Steife).

jeweils 2 Randbedingungen pro Rad geometrische Randbedingungen, dynamische Randbedingungen

Verhältnis des Beulwertes zum Seitenverhältnis wird benötigt um kritische Lastfälle zu bestimmen

Die gesamte von außen eingeleitete Arbeit entspricht der Verformungsenery (innere Energie des Systems) -> man befindet sich im Bereich der Hookschen Grade (elastische Verformung)

bei statisch bestimmten systemen

Wenn der Kraftangriffspunkt im Schubmittelpunkt liegt dann ist drillfreie Biegung erreicht, d.h. die Momente der Querkraft sind im Gleichgewischt mit den Momenten des Schubflusses.

• Differentialbauweise: Bauteile aus mehreren Komponenten werden über Verbindungsverfahren miteinander gefügt
• Integralbauweise: möglichst aus einem Stück geformtes Bauteil mit einheitlichem Werkstoff

bei doppelsymmetrischen Profilen

E-Modul erhöhen, t erhöhen, b verkleinern (gehen quadratische ein)

Ein ESZ liegt vor, wenn im Bauteil nur Spannungen auftreten, die in einer Ebene liegen.

Autodach (Torrsion) Außenwand Flugzeug

Gegenteil zur trivialen Lösung Gleichungen zur Beschreibung eines Problems liefern genau eine Lösung (≠0)

Krafteinleitung in den Steifen, welche nur Normalkräfte übertragen (kein Moment) -> Steifen sind Stäbe …

dünnwandig offenen: Querkraftschub

dünnwandig geschlossenen: Querkraftschub x Schub durch Torsion

- im Brückenbau gibt es manchmal Fasaden, die ein "Schubfeld" mit komplett benachbarten "Steifen2 besitzen
- alte Häuser mit Holzaufbau (Steifen) und Backsteine (Schubfeld)

Stabile und Instabile (indifferent und labil)