Elemente der Geometrie
Modul Geometrie, nur Zirkel und Lieal, Lehramt grund- sekundarstufe,
Modul Geometrie, nur Zirkel und Lieal, Lehramt grund- sekundarstufe,
Was gibt es für Kongruenzabbildungen?
- Geradenspiegelung
- Verschiebung (doppelspiegelung an parall. Geraden)
- Drehung (Doppelspiegelung an sich schneidenen Geraden)
- Schubspiegelung (Verknüpfung von Geradenspiegelung und Verschienung in Richtung Spiegelachse)
Wann ist eine Figur achsensymmetrisch / ein Körper ebnensymmetrisch?
wenn sie/er durch eine Geraden- /Ebenenspiegelung auf sich selbst abgebildet werden kann.
Wann ist eine Figur/Körper punkt- oder zentralsymmetrisch / drehsymmetrisch?
wenn sie/er durch Punktspiegelung/ Drehung auf sich selbst abgebildet werden kann.
wie Lautet die Goldene Zahl?
0,618
Wie lautet die Formel zum berechnen der Anzahl der Diagonlaen eines Polygons?
d=n(n-3)/2 mit n=Ecken
was ist Inversion am Kreis?
Die Inversion, Spiegelung am Kreis oder Kreisspiegelung ist eine Abbildung der ebenen Geometrie, die das Innere und das Äußere eines gegebenen Kreises miteinander vertauscht.
Die Abbildung ist winkeltreu
|MP|*|MP´|=r²
Was ist eine Deckabbildung?
Eine KOngruenzabb. B, die eine Figur F der Ebene auf sich abb., d.h. für die B(F)=F gilt.
heißt auch Symmetrie von F
Was ist eine Deckabbildungsgruppe?
Wen die Menge der Deckabb. von F eine Gruppe bildet.
Was ist ein Köper?
Eine beschränkte, abgeschlossene und zusammenhängede Punktmenge K im dreidimensionalen Raum.
Was ist ein Polyeder?
ein Körper dessen Oberfläche von endlich vielen ebenen Flächenstücken (Polygone und ihr Inneres) begrenzt wird.
heißt auch Vielflach, vielflächer, Ebenenflächer.
Eulerische Polyedersatz:
e+f-k=2
e=Ecke, f=Fläche, k=Kante
was sind regelmäßige Polyeder?
Platinische Körper. alle Seitenflächen sind kongruente, reglemäßige n-Ecke der selben Seitenzahl n und seine Ecken sämtliche dieselbe Kntenzahl m haben.
nenne die Platonischen Körper.
Tetraeder, Hexaeder (Würfel), Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder
Was ist eine Zweizählige Drehachse?
0° und 180°
Teraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder
was ist dreizählige drehachse?
0° 120° 240°
Teraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder
was ist vierzählige drehachse?
0° 90° 180° 270°
Oktaeder, Hexaeder
was sit fünfzählige drehachse?
0° 72° 144° 216° 288°
Dodekaeder, Ikosaeder
was ist ein dualer Polyeder?
Würfel und Oktaeder, da ihre mittelpunkte der Seitenflächen die Eckpunkte des anderen bilden (also die mittelpunkte vom würfel bilden eckpunkte des Oktaeders)
dies gilt aich für Dodekaeder und ikosaeder
was heißt selbsdual?
ist der Teraeder, seine Mittelpunkte der Seitenflächen bilden die Ecken eines Tetraeders.
Zentri-Peripherie-Winkelsatz
Jeder Zentriwinkel (Auch Mittelpunktswinkel genannt) über einen Kreisbogen ist doppelt so groß wie der dazugehörige Peripheriewinkel (auch Umfangswinkel genannt)
alpha ist doppelt so groß wie betha
jede beliebige Teilmenge F von E
jede Figur F, die in einer Geraden g enthalten ist.
Alle Punkte die in einer linearen Figur liegen.
Alle Punkte die in einer ebenen Figur liegen.
Zu zwei verschiedenen Punkten P und Q gibt es genau eine Gerade g, die P und Q enthält.
Jede Gerade enthält mindestens zwei verschiedene Punkte.
Es gibt mindestens drei verschiedene Punkte P, Q, R, die nicht ein und derselben Geraden g angehören. (Oder: außerhalb jeder Geraden gibt es mindestens einen Punkt)
Zwei verschiedene Geraden der Ebene haben entweder genau einen oder keinen Punkt gemeinsam.
(1) aus A,B € g,h und A#B folgt g=h (2) aus A,B € g,h und g#h folgt A=B
genau dann, wenn g=h gilt oder ihr Durchschnitt leer ist.
zu jedem Punkt P und jeder Geraden g existiert genau eine Gerade h mit P€h und g||h
seinen g, h, i drei Geraden. Schneidet g die Gerade h in einem Punkt P und ist der Durchschnitt von h und i leer, so schneidet auch g die Gerade i.
(1) g||h (Reflexivität) (2) g||h -> h||g (Symmetrie) (3) g||h & h||i -> g||i (Transivität)
die Aquivalenzklassen R(g)={h:h||g} der Menge aller zu g parallelen geraden h.
die menge (AB+). Ist die Menge aller Punkte X von g(AB), die auf der selben Seite von A liegen, auf der auch B liegt, d.h. Für A
die Menge AB+=(AB+) vereinigt {A}, mit dem Anfangspunkt A.
A€AB und B€AB (über AB ist ein Strich)
Sonderfall : A=B also Strecke AA (mit strich)
Was ist eine orientierte Strecke? Oder Pfeil
wenn für die Punkte A, B mit A<B ein Durchlaufsinn gegeben ist.
sind A,B, C drei nicht kollinerare Punkte und trifft die Gerade g die offene Strecke (AB), aber keinen der drei Punkte A, B, C, so trifft g noch mindestens eine der offenen Strecken (AC) oder (BC). (jewileils mit Strich drüber)
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Flashcards
Was ist eine affine Abbildung?
parallele abb. (einer Fläche) zwischen zwei Ebenen die nicht parallel sind. (sonst ist es eine Kongruenzabb.) Drehungen, Spiegelungen
Eine punktweise Abbildung der Ebene auf sich oder einer andere, die
1. Geraden in Geraden überführt,
2. parallele Geraden in parallele Geraden überführt und
3. teilverhältnistreu ist,
Was ist eine Ähnlichkeitsabblidung?
parallel-, geraden- und winkeltreue Abbildung.
vergrößer oder verkleinerung, spielgel, drehen
Erster Strahlensatz:
werden 2 sich in einem Punkt Z schneidende Geraden von parallelen Geraden in A, B bzw. in A´, B´geschnitten so gilt: |ZA|:|ZA´| = |ZB|:|ZB´| (überstrichen)
Zweiter Strahlensatz:
werden 2 sich in einem Punkt Z schneidenen Geraden von parallelen Geraden in A, B bzw A´, B´geschnitten, so gilt: |ZA|:|ZA´| = |AB|:|A´B´| (überstrichen)
Was ist eine Kongruenzabbildung?
eine längentreue bijektion der Ebene auf sich.
Spiegelung, Drehung, verschiebung
Geradenspiegelung: Was ist ein Fixpunkt?
Ein Punkt P genau dann ein Fixpunkt einer Abbildung einer Ebene auf sich selbst, wenn P mit seinem Bildpunkt P´übereinstimmt. P=P`
Geradenspiegelung: Was ist eine Fixgerade?
eine Gerade h die in sich selbst übergeht. h=h´
Geradenspiegelung: Was ist eine Fixpunktgerade?
Eine Gerade g, die nur aus Fixpunten besteht. (spiegelachse)
was ist eine Involutorische Abbildung?
Eine Rückspiegelung, also das die Abbildung gleich ihrer Umkehrabbildung ist.
Was ist eine Doppelspiegelung?
Eine Verknüpfung zweier Geradenspiegelungen.
Was ist eine Verschiebung oder Translation?
Eine bijektive Abb. der Ebene auf sich, wenn für alle Punkte P und ihre Bildpunkte P' die gerichteten Strecken (Pfeile) PP' kongruent, parallel und gleichgerichtet sind.
Zeichen: TPP´ (mit einen pfeil über PP´)
Was ist eine Drehung / Rotation?
eine Abb. einer Ebene auf sich, wenn sie einen Fixpunkt D besitzt und wenn zu ihr ein Winkelφ derart gehört, das für jeden Punkt P≠D und sein Bild P´gilt:
|DP|=|DP| und ∠PDP´=φ.
D heißt Drehpunkt und φ Drehwinkel der Abb.
Zeichen: RD,φ
Immer gegen den Uhrzeigersinn
Was ist eine Punktspiegelung?
Eine Abb. HM der Ebene auf sich am Punkt M. Genau dann wenn sie genua einen Fixpunkt M besitzt und jedem Punkt P den Bildpunkt P´derart zuordenet, dass die Strecke PP`von M halbiert wird.
M heißt Zentrum der Punktspiegelung.
Was ist die Besonderheit bei der Verknüpfung zweier Drehungen?
ist dann eine Verscheibung oder eine Drehung.
(1) Drehzentren beider Drehungen sind gleich (2) -"- sind verschieden
Was ist die Besonderheit bei der Verknüpfung einer Verschiebung und einer Drehung?
Ist dann eine Drehung.
Was beseutet kopunktal?
Drei Spiegelachsen schneiden sich an einem Punkt.
Dreispiegelsatz:
(1) Ist P ein Punkt mit PЄa,b,c für beliebige Geraden a,b,c, so ist die Verknüpfung Sc○Sb○Sa eine Geradenspiegelung Sd mit PЄd.
(2) FÜr Geraden a,b,c,g mit g⊥a,b,c ist die Verknüpfung Sc○Sb○Sa eine Geradenspiegelung Sd mit d⊥g
Was ist eine Schub- oder Gleitspiegelung?
eine Abb. wenn sie aus einer Spiegelung an einer Geraden g und einer Verschiebung mit dem Verschiebungspfeil v (mit einem Pfeil darüber) in Richtung von g zusammengesetzt ist.
g heißt dann Schubspiegelachse.
Was gibt es für Kongruenzabbildungen?
- Geradenspiegelung
- Verschiebung (doppelspiegelung an parall. Geraden)
- Drehung (Doppelspiegelung an sich schneidenen Geraden)
- Schubspiegelung (Verknüpfung von Geradenspiegelung und Verschienung in Richtung Spiegelachse)
Wann ist eine Figur achsensymmetrisch / ein Körper ebnensymmetrisch?
wenn sie/er durch eine Geraden- /Ebenenspiegelung auf sich selbst abgebildet werden kann.
Wann ist eine Figur/Körper punkt- oder zentralsymmetrisch / drehsymmetrisch?
wenn sie/er durch Punktspiegelung/ Drehung auf sich selbst abgebildet werden kann.
wie Lautet die Goldene Zahl?
0,618
Wie lautet die Formel zum berechnen der Anzahl der Diagonlaen eines Polygons?
d=n(n-3)/2 mit n=Ecken
was ist Inversion am Kreis?
Die Inversion, Spiegelung am Kreis oder Kreisspiegelung ist eine Abbildung der ebenen Geometrie, die das Innere und das Äußere eines gegebenen Kreises miteinander vertauscht.
Die Abbildung ist winkeltreu
|MP|*|MP´|=r²
Was ist eine Deckabbildung?
Eine KOngruenzabb. B, die eine Figur F der Ebene auf sich abb., d.h. für die B(F)=F gilt.
heißt auch Symmetrie von F
Was ist eine Deckabbildungsgruppe?
Wen die Menge der Deckabb. von F eine Gruppe bildet.
Was ist ein Köper?
Eine beschränkte, abgeschlossene und zusammenhängede Punktmenge K im dreidimensionalen Raum.
Was ist ein Polyeder?
ein Körper dessen Oberfläche von endlich vielen ebenen Flächenstücken (Polygone und ihr Inneres) begrenzt wird.
heißt auch Vielflach, vielflächer, Ebenenflächer.
Eulerische Polyedersatz:
e+f-k=2
e=Ecke, f=Fläche, k=Kante
was sind regelmäßige Polyeder?
Platinische Körper. alle Seitenflächen sind kongruente, reglemäßige n-Ecke der selben Seitenzahl n und seine Ecken sämtliche dieselbe Kntenzahl m haben.
nenne die Platonischen Körper.
Tetraeder, Hexaeder (Würfel), Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder
Was ist eine Zweizählige Drehachse?
0° und 180°
Teraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder
was ist dreizählige drehachse?
0° 120° 240°
Teraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder
was ist vierzählige drehachse?
0° 90° 180° 270°
Oktaeder, Hexaeder
was sit fünfzählige drehachse?
0° 72° 144° 216° 288°
Dodekaeder, Ikosaeder
was ist ein dualer Polyeder?
Würfel und Oktaeder, da ihre mittelpunkte der Seitenflächen die Eckpunkte des anderen bilden (also die mittelpunkte vom würfel bilden eckpunkte des Oktaeders)
dies gilt aich für Dodekaeder und ikosaeder
was heißt selbsdual?
ist der Teraeder, seine Mittelpunkte der Seitenflächen bilden die Ecken eines Tetraeders.
Zentri-Peripherie-Winkelsatz
Jeder Zentriwinkel (Auch Mittelpunktswinkel genannt) über einen Kreisbogen ist doppelt so groß wie der dazugehörige Peripheriewinkel (auch Umfangswinkel genannt)
alpha ist doppelt so groß wie betha
