Digitale Messdatenverarbeitung mit Mikrorechnern

Das Nyquist-Shannonsche Abtasttheorem besagt dass ein kontinuierliches Signal mit einer Maximalfrequenz f _max mit einer Frequenz größer als 2 · f _max abgetastet werden muss damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust (eindeutige Bestimmung des Ursprungssignals) wieder rekonstruieren kann:

\(f_{abtast} > 2 \cdot f_{max}\)

Aliasing beschreibt den Vorgang der Abtastung, bei dem durch Informationsverlust das Ausgangssignal nicht mehr eindeutig bestimmbar ist.

Da viele wichtige Signale (z.B. Rechteck) nicht bandbegrenzt sind tritt automatisch Aliasing auf, da die Abtastung endlich ist. Abhilfe schafft ein Anti-Aliasing-Filter, welcher Frequenzen oberhalb der halben Abtastfrequenz herausfiltert (Tiefpass)

Um für die digitale Signalverarbeitung die Verhältnisse zu vereinfachen, ist es möglich, zusätzliche Datenpunkte zu interpolieren. Dieser Prozess wird als Upsampling bezeichnet. Zwischen den aufgenommen digitalen Werten, werden zusätzliche Datenpunkte eingefügt, im Beispiel jeweils drei Werte. Durch einen interpolierenden FIR-Filter werden Zwischenwerte erzeugt, wie das digitale Signal so erscheinen lassen, als sei es mit der vierfachen Samplingfrequenz aufgenommen worden. Dadurch werden die Frequenzbänder sehr viel weiter auseinander geschoben und der Störabstand wird erhöht. Zur weiteren Bearbeitung können nun digitale Filter niedrigerer Ordnung eingesetzt werden.

Durch das Entfernen von Punkten beim sog. Downsampling kann nach dem Oversampling die Datenmenge auf den Bedarf reduziert werden, der bei einfacher Einhaltung des Nyquist-Theorems notwendig gewesen wäre. Beim Downsampling rückten die Frequenzbänder wieder zusammen. Dies ist problemlos möglich, da im nun digital gefilterten Bereich die höheren Frequenzen nicht mehr enthalten sind. Dadurch wird die Abtastfrequenz wieder erniedrigt und der Speicherbedarf gesenkt. Vor dem Downsampling muss ein digitaler Tiefpassfilter (Decimation- Filter) hoher Ordnung eingesetzt werden, um ein Aliasing beim Downsampling zu vermeiden.

Das Bild zeigt ein oversampeltes Signal welches nach Bearbeitung downgesampelt wird.

Das Problem der hohen Filterordnung der analogen Anti-Aliasing-Filter vor der Digitalisierung kann durch das so genannte Oversampling vereinfacht werden. Beim Oversampling werden wesentlich mehr Datenpunkte aufgenommen, als zur Einhaltung des Nyquistkriteriums (Shannon-Kriterium) erforderlich sind. Dadurch rücken im Frequenzbereich die Spektren weiter auseinander. Nun können Filter niedriger Ordnung als analoge Anti-Aliasing-Filter eingesetzt werden. Die Filter hoher Ordnung zur steilen Bandbegrenzung können nun digital ausgeführt werden.

Das im Bild ebenfalls gezeigt Downsampling verringert nach der digitalen Filterung den Speicherbedarf.

• Quantisierungsfehler: immer 0,5 LSB
• Fehler abs. Genauigkeit: ideal 0,5 LSB

FIR (Finite Impulse Response)

• sind immer stabil, da sie nicht rekursiv sind
• automatischer Entwurf möglich
• begrenzte Impulsantwort

IIR (Infinite Impulse Response)

• nicht unbedingt stabil, da Ausgangssignal rekursiv zurückgeführt wird
• unbegrenzte Impulsantwort
• Rechenaufwand geringer
• durch bilineare Transformation aus analogem Filter berechenbar

Fourier-Integral: \(F = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega t} f(t)dt\)

Dieses Integral lässt sich im Mikrocontroller nicht nutzen, da

• Technische Signale zu bestimmten Zeitpunkt beginnen
• für viele Signale kein Integral existiert, daher nicht transformierbar sind

->: Laplace-Transformation (\(e^{-j\omega t} \rightarrow e^{-st}\)). Durch Dämpfung in s konvergieren alle Funktionen

Fourier-Integral für zeitkont. Funktionen: \(F = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega t} f(t)dt\)

Durch Ersetzen von \(t=nT_a\) und \(e^{-j\omega t} = e^{-j\omega nT_a}\) folgt:

\(F_d(j\omega k) = F_d(j \frac{2\pi}{NT_a} k) = \sum\limits_{n=0}^{N-1} f(nT_a) e^{-j\omega_k nT_a} = \sum\limits_{n=0}^{N-1} f(nT_a) e^{-j2\pi k \frac{n}{N}}\)mit \(\omega = \frac{2\pi}{NT_a}k\)und \(k = 0...N-1\)

Dadurch, dass zwischen zwei Abtastungen die Funktion konstant ist wird aus dem Integral eine Summe von Funktionen mit der Breite der Abtastzeit \(T_a\). Es sind dadurch jedoch nur endlich viele Frequenzen berechenbar.

\(\Delta\omega = \frac{2\pi}{NT_a} \rightarrow \Delta f= \frac{1}{N T_a}\)

Die Trennschärfe, also die spektrale Auflösung der Messung ist umgekehrt proportional zur Abtastzeit.

Für die direkte Berechnung der FT sind \(N^2\) komplexe Multiplikationen und \(N(N-1)\) komplexe Additionen notwendig. Dies ist ein erheblicher Rechenaufwand!

Die Struktur der Fourier-Transformation und die Periodizität von \(e^{-j2\pi k \frac{n}{N}}\)erlaubt es redundante Berechnungen zu sparen.

Besonders effektiv ist dabei der Algorithmus von Cooley und Tukey. Dafür muss die Anzahl der Messpunkte eine Potenz von 2 sein.

Der Grundgedanken von Cooley und Tukey ist die FT in Teilfolgen zu zerlegen, welche dann getrennt transformiert und überlagert werden. Dabei wird die FT in Teilfolgen mit dem Abstand von 2T zerlegt, welche wiederrum in Teilfolgen mit 4T usw. zerlegt werden, bis jede Teilfolge nur noch zwei Elemente enthält. Daher muss die Messreihe auch eine Anzahl von Messpunkten enthalten die der Potenz von 2 entspricht.

Bsp:

N=8: f(0)...f(7)

1.Zerlegung: f(0),f(2),f(4),f(6) ; f(1),f(3),f(5),f(7)

2.Zerlegung: f(0),f(4) ; f(2),f(6) ; f(1),f(5) ; f(3),f(7)

\(512=2^i \),\(i = 9\)

In jeder Butterfly-Stufe sind N/2 Butterflies zu berechnen und in der n-ten Berechnung werden \(2^{n-1}\) Twiddle-Faktoren berechnet werden. Die Twiddle-Faktoren der vorherigen Stufen sind in der n-ten bereits enthalten.

Anz. Butterflies: \(n = i \cdot N/2 = 9 \cdot 512/2 = 2304\)

Anz.Twiddles: \(n = 2^{i-1} = 2^{9-1} = 256\)

Die Messpunkt müssen bitreversed angeordnet sein, d.h. das MSB muss sich von Messpunkt zu Messpunkt ändern und nicht das LSB.

\(\Delta f = \frac{1}{T_m} \rightarrow T_m = 2s\)

nach Shannon: Für Bandbreite von 4kHz ist eine Abtastfrequenz von 8kHz notwendig.

Messzeit für 0,5Hz spektr. Auflösung: \(\Delta f = \frac{1}{T_m} \rightarrow T_m = 2s\)

Anzahl der aufzunehmenden Messwerte:

 \(T_m = N T_a = N \frac{1}{f_a} \rightarrow N = T_m \cdot f_a= 2s \cdot 8 \cdot 10^3 \frac{1}{s}= 16.000\)

Bei 14-Bit: 2Byte Speicherbedarf pro Messwert. -> 32kByte Speicherbedarf

• RISC (Reduced instruction set computing)
  • Weniger Befehle, aber jeder Befehl kann in einem Takt bearbeitet werden 
• CISC (Complex instruction set computing)
  • Größerer Befehlssatz mit komplexeren Befehlen, die nicht in einem Takt abgearbeitet werden können.
  • Durch Pipelining (parallelverarbeitung) kann die Ausführung eines komplexen Befehls in einem Takt erreicht werden

• µP:
  • Operationswerk
  • Steuerwerk
  • Registerwerk
• I/O-Interface mit A/D, D/A
• Timer/Zähler
• Speicher

• externe I/O
• Display
• ext. Speicher

• USART (Universal Synchronous Asynchronous Receiver Transmitter)
• TWI (I^2C)
• SPI
• JTAG

weitere Busse je nach µC:

• CAN
• LIN
• USB
• ...

• Programmierbare Baudrate
• versch. Datenformate möglich
• voll Duplexfähig (gleichzeitiges Senden und Empfangen)
• Übertragung synchron oder asynchron
• digitale Filter zur Signalaufbereitung
• Multiprozessorkommunikation (Komm. zweier ATmegas untereinander, ATmega<->PC)
• Anschluss an den Datenbus des µC

• bidirektional, seriell
• nur 2 Leitungen + Massse (PIN0 = Takt, PIN1 = Datenein- und ausgang)
• max. 400kBaud
• Für Steuer- und Statussignale (Joysticks, Tastaturen etc.)
• Zur Kommunikation zwischen Mikrocontroller-Bausteinen

• Master/Slave-Organisation
• 3 Anschlüsse:
  • SDO (Serial Data Out)
  • SDI (Serial Data In)
  • Serial Clock (sclk)
• Auswahl des Slaves über SS-Leitung (Slave-Select)
• Protokoll nicht definiert
• sehr schnell, bis mehrere MHz
• große Auswahl an Erweiterungs-Chips (Infrarot-Umsetzer, LCD-Controller, Ein-Ausgabe (Schiftregister, A/D-Wandler)

JTAG =  Joint Test Action Group

• Dient dem Debugging von Mikrocontrollern
• genormt durch BSDL (Boundary Scan Description Language)
• serielle Schnittstelle:
  • TDI (Test Data In)
  • TDO (Test Data Out) 

wesentlich:

• CPU
• Clock/Watchdog + Interrupt + Quarz
• Timer/Counter
• A/D
• SPI
• Komparator
• USART
• PORTS

• 32 Byte General Purpose Register (R0-R31)
  • je 1 Byte
  • R0-R15 zur freien Verfügung
  • R16-R23 zur freien Verfügung, aber für bestimmte Befehle wichtig
  • R24, R25 freies 16-Bit Register, z.B. für 16-Bit Counter
  • letzten 6 Register werden als x,y,z-Register bezeichnet (kombinierte 16-Bit Register) und dienen der indirekten Adressierung des SRAM
• I/O-Register (64 Byte)
  • Status-Register der ALU
  • Register zum Konfigurieren der I/O´s (Data Direction etc)
  • Register zum Konfigurieren von Interrupts
  • Stack-Pointer
• frei verfügbarer SRAM (Datenspeicher)
  • muss über x,y,z-Register adressiert werden, da 16-Bit-Adressen

• einzelne Komponenten sind über den Datenbus angebunden
  • von Neumann: (Daten aus RAM und Programm aus EE-PROM über denselben Bus)
  • Harvard: (getrennte Busse für Daten und Programm)
• Steuer-Bus ist für die Buszuteilung verantwortlich
• Adressierung von Speicherplätzen geschieht über Adressbus

• USART (für die Kommunikation µC/PC oder ähnlichem)
• SPI (schneller Bus zur Anbindung von Erweiterungschips, kein genormtes Protokoll)
• TWI (wie SPI jedoch langsamer)

• Eine Befehlszeile ist 16-Bit breit.
  • Op-Code umfasst 11-Bit
  • Restlichen 5 Bit adressieren Register mit dem gearbeitet werden soll
• Die Speicheradresse des Flash muss vorher ins Z-Register (R30,31)->16-Bit geschrieben werden und wird dann mit "lpm" geladen.

+ minimale Programmlänge kann erreicht werden?

+ max. Geschwindigkeit wird erreicht

- es gibt keine Datentypüberprüfung

- Programm wird schnell übersichtlich, es existieren nur essentielle Befehle

• Befehle: Mnenomische Kürzel für Operationen
• Operanden: Registernamen, Variablen, Konstanten
• Label: Symbolische Adressmarken, z.B. main:
• Deklarationen: Variablen, Konstanten
• Operatoren: ADD, SUB, AND, NOT, OFFSET
• Direktiven: Kommandos, die der Programmierer dem Assembler zur Speicherorganisation gibt. Sie werden nicht zu Programmcode sondern sind Anweisungen zum Assemblieren. Bsp: .INCLUDE "m32def.inc"