Differentialrechnung 1
Differenzenquotient und Differentialquotient
Differenzenquotient und Differentialquotient
Berechnung des Differenzenquotienten
\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\)
Die Differenz der Werte dividiert durch die Differenz der Stellen
Definition des Differentialquotienten
\(f'\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)
Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(\Delta x \rightarrow 0\)
Was kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden?
die mittlere
- Änderungsrate
- Steigung
- Geschwindigkeit
Was kann mit Hilfe des Differentialquotienten berechnet werden?
... die momentane (lokale)
- Änderungsrate
- Steigung
- Geschwindigkeit
umrechnen von km/h in m/s (und umgekehrt)
\(\rm 1\;\frac{km}{h}=\frac{1km}{1h}=\frac{1000\,m}{3600\,s}=\frac{1}{3{,}6}\;m/s\)
bzw.
\(\rm 1\;m/s=3{,}6\;km/h\)
Graphische Bestimmung der mittleren Änderungsrate/Steigung/Geschwindigkeit
Graphische Bestimmung der momentanen (lokalen) Änderungsrate/Steigung/Geschwindigkeit
Berechnung der momentanen (lokalen) Änderungsrate/Steigung/Geschwindigkeit
lokale Änderungsrate an der Stelle \(x_0: \;f'\left(x_0\right)\)
- Berechne die 1. Ableitung \(f'\left(x\right)\) der Funktion \(f\).
- Setze die Stelle ein.
Berechnung des Steigungswinkels
\(\alpha=\arctan\left(k\right)\) bzw. \(\alpha=\arctan\left(f'\left(x_0\right)\right)\)
und umgekehrt:
\(k=\tan\left(\alpha\right)\)
Die Steigung ist der Tangens des Steigungswinkels
mittlere Geschwindigkeit
\(\overline{\rm v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s\left(t_1\right)-s\left(t_2\right)}{t_1-t_2}\)
\(\mathrm{mittlere\;Geschwindigkeit = \frac{zurückgelegter\;Weg}{Zeitunterschied}}\)
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Berechnung des Differenzenquotienten
\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\)
Die Differenz der Werte dividiert durch die Differenz der Stellen
Definition des Differentialquotienten
\(f'\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)
Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(\Delta x \rightarrow 0\)
Was kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden?
die mittlere
- Änderungsrate
- Steigung
- Geschwindigkeit
Was kann mit Hilfe des Differentialquotienten berechnet werden?
... die momentane (lokale)
- Änderungsrate
- Steigung
- Geschwindigkeit
umrechnen von km/h in m/s (und umgekehrt)
\(\rm 1\;\frac{km}{h}=\frac{1km}{1h}=\frac{1000\,m}{3600\,s}=\frac{1}{3{,}6}\;m/s\)
bzw.
\(\rm 1\;m/s=3{,}6\;km/h\)
Graphische Bestimmung der mittleren Änderungsrate/Steigung/Geschwindigkeit
Graphische Bestimmung der momentanen (lokalen) Änderungsrate/Steigung/Geschwindigkeit
Berechnung der momentanen (lokalen) Änderungsrate/Steigung/Geschwindigkeit
lokale Änderungsrate an der Stelle \(x_0: \;f'\left(x_0\right)\)
- Berechne die 1. Ableitung \(f'\left(x\right)\) der Funktion \(f\).
- Setze die Stelle ein.
Berechnung des Steigungswinkels
\(\alpha=\arctan\left(k\right)\) bzw. \(\alpha=\arctan\left(f'\left(x_0\right)\right)\)
und umgekehrt:
\(k=\tan\left(\alpha\right)\)
Die Steigung ist der Tangens des Steigungswinkels
mittlere Geschwindigkeit
\(\overline{\rm v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s\left(t_1\right)-s\left(t_2\right)}{t_1-t_2}\)
\(\mathrm{mittlere\;Geschwindigkeit = \frac{zurückgelegter\;Weg}{Zeitunterschied}}\)
