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Definitionen von Lineare Algebra 2
Definitionen von Lineare Algebra 2
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Wann heißt die Matrix B symmetrisch und wann Hermitesch
\(Symmetrisch:\ B=B^T\\ Hermitesch:\ B^T=\overline{B}\)
\(s:V\times V\to K\\ \text{Wie ist die zu s gehörige quadratische Form definiert}\\ \text{welche Eigenschaften muss s dazu erfüllen}\)
\(\text{s muss eine symmetrische & Bilinear sein}\\ \text{oder hermitesch & sesquilinear}\\ q_s:=s(x,x)\)
\(K=\mathbb{R}\ oder\ K=\mathbb{C}\\ s:V\times V\to K\\ \text{Wann heißt s positiv definit und was muss s erfüllen}\)
\(\text{s muss eine symmetrische Bilinearform oder}\\ \text{eine hermitesche Sesquilinearform sein}\\ \text{s heißt dann positiv definit wenn:}\\ \forall x\in V\backslash \{0\}:q_s(x)\text{>}0\)
B eine symmetrische bzw. hermitesche Matrix.
Wie ist die zu B gehörige quadratische Form definiert?
\(B=(b_{ij})\text{ dann ist die quadratische Form:}\\ q_B:K^n\to K, x= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \mapsto \displaystyle\sum_{i,j}^nx_i\overset{(-)}{x_j} b_{ij}=x^TB\overset{(-)}{x_j}\)
Wann heißt die Matrix B positiv Definit? Und welche Vorrsusetungen müssen gegeben sein
\(\text{B ein symmetrische bzw.}\\ \text{hermitesche Matrix}\\ \text{B heißt positiv definit wenn:}\\ \forall x\in \mathbb{R}^n\ bzw.\ \mathbb{C}^n:q_B(x)\text{>}0\)
\(K=\mathbb{R}\ bzw.\ K=\mathbb{C}\\ s:V\times V\to K\\ \text{Wann heißt s Skalarprodukt}\)
\((SP1)\text{ s ist symmetrisch bzw. hermitesch}\\ (SP2)\text{ s ist bilinear bzw. sesquilinear}\\ (SP3)\text{ s ist positiv definit}\)
\(K=\mathbb{R}\ bzw.\ K=\mathbb{C}\\ \text{Wann wird folgende Abbildung als Norm bezeichnet}\\ \|\cdot\|:V\to \mathbb{R},\ x\mapsto\|x\|\)
\((N1)\ Halblinarität:\ \forall x\in V,\forall \lambda \in K:\|\lambda x\|=|\lambda\ |\|x\|\\ (N2)\ Dreiecksungleichung:\ \forall x,y\in V:\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\\ (N3)\ Positiv\ Definit:\ \forall x\in V:\|x\|\geq0,\ \|x\|=0\Leftrightarrow x=0\)
\(K=\mathbb{R}\ bzw.\ K=\mathbb{C}\\ \text{Wann wird folgende Abbildung als Abstand bezeichnet}\\ d:V\times V\to \mathbb{R},\ (x,y)\mapsto d(x,y)\)
\((A1)\ Symmetrie:\ \forall x,y\in V:d(x,y)=d(y,x)\\ (A2)\ Dreiecksungleichung:\ \forall x,y,z:d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\\ (A3)\ Positiv \ Definit:\ \forall x,y\in V:d(x,y)\geq0\ und\ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\)
\(Es\ sei\ (V,\langle\cdot,\cdot\rangle),\\ x,y\in V;U,W\subset V\\ 1)\text{ Wann sind x,y orthogonal zueinander}\\ 2)\text{ Wann sind U,W orthogonal zueinander}\\ 3)\text{ Wann heißt }(v_i)_{i\in I} \text{ orthogonal zueinander}\\ 4)\text{ Wann heißt }(v_i)_{i\in I} \text{ orthonormal}\\ 5)\text{Was ist eine orthonormalbasis von V}\\ 6)\text{Was ist das orthogonale Komplement von }W\subset V \)
\(1)\ \langle x,y\rangle =0\\ 2)\ \forall x\in U,\forall y\in W:\langle x,y\rangle =0\\ 3)\ \forall i,j\in I\ mit \ i\neq j:\langle v_i,v_j\rangle =0\\ 4)\ \forall i,j\in I:\langle v_i,v_j\rangle =\delta_{ij}\\ 5)\text{ Eine ONB von V ist eine Basis von V die eine orthonormale Familie bildet}\\ 6)\ W^{\perp}:=\{x\in V|\forall y\in W:\langle x,y\rangle =0\}\)
\((U,\langle\cdot,\cdot\rangle )\ und\ (V,\langle\cdot,\cdot\rangle )\\ F\in Hom_K(U,V)\\ 1)\text{ Wie ist die adjungierte von F definiert und von wo nach wo geht sie}\\ 2)\text{ Wann heißt F selbstadjungiert}\)
\(1)\text{Die adjungierte ist über das Skalarprodukt definiert:}\\ \forall x\in U,\forall y\in V: \langle F(x),y\rangle =\langle x,F^{ad}(y)\rangle\\ F^{ad}\in Hom_K(V,U)\\ 2)\ (U,\langle\cdot,\cdot\rangle )=(V,\langle\cdot,\cdot\rangle )\ und\ F=F^{ad}\)
\(\text{Wann heißt }\pi\text{ orthogonale Projektion}\\ \text{und von wo nach wo geht sie}\)
\(\pi\in End_K(V)\\ \pi\text{ muss folgendes erfüllen:}\\ 1)\ \pi^2=\pi\circ\pi=\pi\\ 2)\ \pi=\pi^{ad}\)
\(\text{Wann heißt }F\in Abb(V,V)\text{ orthogonal bzw. unitär}\\ \text{und was muss Vorausgesetzt sein}\)
\(\text{V muss ein Euklidischer oder Unitärer Vektorraum sein}\\ \forall x,y\in V:\langle F(x),F(y)\rangle =\langle x,y\rangle\)
Wann ist eine Abbildung F positiv definit und welche Eigenschaften muss sie erfüllen
\(F\in End_K(V) \text{ und Selbstadjungiert}\\ \text{F ist positiv definit wenn:}\\ \langle x,F(x)\rangle\text{>}0\)
\(K=\mathbb{R}\ oder\ K=\mathbb{C}\\ s:V\times V\to K\\ \text{Wenn die darstellende Matrix von s bezüglich einer Basis}\\ \text{Sylvester Normalform hat und somit folgendermaßen ausschaut:}\\ \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c|c} E_{k_+}&0&0\\ \hline 0&-E_{k_-}&0\\ \hline 0&0&0 \end{array} \end{pmatrix}\ E_i\text{ ist die Einheitsmatrix}\\ Wie\ heißen \ (k_+,k_-,k_0)\\ \text{Und wie wird }k_+-k_-\text{ bezeichnet}\)
\((k_+,k_-,k_0)\text{ ist die Signatur von s}\\ k_+-k_-\text{ heißt Trägheitsindex von s}\)
Wann ist ein Endomorphismus normal?
\(F\in End_K(V)\text{ heißt Normal falls:}\\ F\circ F^{ad}=F^{ad}\circ F\)
\(\text{Was ist ein Jordanblock der Größe n zum Eigenwert }\lambda\)
\(J(\lambda,n)= \begin{pmatrix} \lambda&1&0&&0\\ &\lambda&1\\ &&\ddots&\ddots\\ 0&&&\lambda&1 \end{pmatrix} \in Mat_K(n\times n)\)
\(\text{Wie ist der Hauptraum bzw. der verallgmeinerte}\\ \text{Eigenraum von F zu }\lambda\text{ definiert}\)
\(Hau_{\lambda}(F):=\displaystyle\bigcup_{s\in \mathbb{N}}[ker((F-\lambda id)^s)]\)
Wann heißt ein endomorphe Abbildung nilpotent bzw. eine Matrix A?
Und was ist der Nilpotenzindex?
\(G\in End_K(V)\text{heißt Nilpotent wenn:}\\ \exists r\in \mathbb{N}\backslash \{0\}:G^r=\underbrace{G\circ \cdots\circ G}_{r-mal}=0\\ Analog:\\ A\in Mat_K(n\times n)\ wenn\ A^r=0\\ \text{Das kleinste r mit dieser Eigenschaft heißt Nilpotenzindex}\)
Was ist eine Partition von r
\(\text{Eine Partition von r ist ein Tupel }(n_1,\ldots,n_k)\in\mathbb{N}^k\backslash\{0\}\\ \text{mit folgenden Eigenschaften:}\\ n_1\geq n_2\geq\cdots\geq n_k\ und\\ \displaystyle\sum_{j=1}^kn_k=r\)
\(\text{Wie ist die duale Partition zu }(n_1,\ldots,n_k)\text{ definiert}\)
\(\text{Die duale Partition ist dann: }(m_1,\ldots,m_q)\text{ mit}\\ m_j=\#\{l\in\{1,\ldots,k\}|j\leq n_l\}\)
\(\text{Es seinen X,Y Mengen, m}\in \mathbb{N} \backslash\{0\},X^m =\underbrace{X\times \dots\times X}_{m-mal}\\ f:X^m\to Y \text{ eine Abbildung}\\ \text{Wann heißt f symmetrisch und wann Antisymmetrisch?}\)
\(\text{f heißt Symmetrisch, falls } \forall\sigma\in S_m,\forall x_1, \dots ,x_m \in X:\\ f\Big(x_{\sigma (1)},\dots,x_{\sigma (m)}\Big)=f\Big(x_1,\dots,x_m\big)\\ \text{f heißt Antisymmetrisch wenn:}\\ 1. Y=\mathbb{K}\text{ ein Körper und }\\ 2. f\Big(x_{\sigma (1)},\dots,x_{\sigma (m)}\Big)=sign(\sigma )\cdot f\Big(x_1,\dots,x_m\big)\)
\(\text{Sei }\mathbb{K} \text{ ein Körper } V_1,\dots,V_q,W\text{ mit }q\in \mathbb{N}\backslash\{0\}\\ \text{seien K-Vektorräume}\\ \alpha:V_1 \times \dots\times V_q\to W \text{ eine Abbildung}\\ \text{1) Wann heißt die Abbildung q-Multilinear}\\ \text{2) Wie nennt man die Abbildungen fall folgendes gilt:}\\ V_1=V_2=\dots =V_q =V ,W=\mathbb{K}\)
\(\text{1) Die Abbildung heißt Multilinear falls:}\\ \forall x_j \in V_j, \forall l\in\{1,\dots,q\}:\\V_l\to W, y\mapsto \alpha\Big(x_1,\dots,x_{l-1},y,x_{l+1},\dots,x_q\Big)\\ \text{ist K-Linear}\\ \text{2) Die Abbildungen heißen dann q-Linearformen}\\ \text{oder q-Kontravariante Tensoren}\)
\(\text{Wie ist die Abbildung definiert, welche aus einem n-Tupel }\\ \text{von Vektoren aus }\mathbb{K}^n \text{eine Matrix macht }\)
\(col:\underbrace{\mathbb{K}^n\times\dots\times\mathbb{K}^n}_{n-mal}\to Mat_\mathbb{K}(n\times n),\\ \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11}\\ \vdots\\ a_{n1} \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} a_{1n}\\ \vdots\\ a_{nn} \end{pmatrix} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}\)
\(\text{ Wann heißt eine Abbildung}\\ det:Mat_\mathbb{K}(n\times n)\to\mathbb{K} \\\text{Determinante?}\)
\(\text{Wenn folgendes gilt:}\\ \text{D1) det ist linear in jeder Spalte der Matrix, das heißt:}\\ f:=det\circ col:\underbrace{\mathbb{K}^n\times\dots\times \mathbb{K}^n}_{n-mal}\to\mathbb{K}\\ \text{ist Multilinear}\\ \text{D2) det ist Alternierend (äquivalent: f aus (D1) ist alternierend)}\\ \text{d.h. det(A)=0, falls zwei Spaltenvektoren aus A übereinstimmen}\\ \text{D3) det ist normiert, d.h det(E)=1 }\)
\(\text{Wie ist die general linear Group } GL_n(\mathbb{K})\text{ definiert?}\\ \text{Und wie ist die special linear Group }SL_n(\mathbb{K})\text{ definert?}\)
\(GL_n(\mathbb{K}):=\{A\in Mat_{\mathbb{K}}(n\times n)|det(A)\neq 0\}\\ SL_n(\mathbb{K}):=\{A\in Mat_{\mathbb{K}}(n\times n)|det(A)= 1\}\)
\(\text{Was ist die zu A komplementäre oder adjunkte Matrix }\tilde{A}\)
\(n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}, A\in Mat_{\mathbb{K}}(n\times n)\\ \tilde{A}=(\tilde{a}_{ij})\text{ mit } \tilde{a}=det(A_{ij})=(-1)^{i+j}\cdot det(A'_{ij})\)
\(\mathbb{K}\subseteq\mathbb{R}\text{ und V ein n-dim. K-Vektorraum}\\ F\in End_{\mathbb{K}}(V)\text{ und }\mathscr{A},\mathscr{B}\text{ seien Basen von V}\\ \text{1) Wann heißt F Orientierungserhaltend oder Orientierungstreu?}\\ \text{2) Wann heißen }\mathscr{A}\text{ und }\mathscr{B}\text{ gleichorientier?}\)
\(\text{1) Wenn folgendes gilt:}\\ det(F)\text{>} 0\\ \text{2) Wenn: }det(\mathscr{M}(\mathscr{B},\mathscr{A}))\text{>} 0\\ \text{Also wenn die Det. der Basiswechselmatrix größer Null}\)
\(\text{V ein K-Vektorraum }F\in End_{\mathbb{K}}(V)\\ \text{1) Wann heißt x Eigenvektor von F } x\in V\\ \text{2) Und was ist der Eigenwert von F}\)
\(x\in V \text{ heißt Eigenwert wenn: }\\ x\neq 0 \wedge \exists \lambda\in \mathbb{K}:F(x)=\lambda x\\ \lambda\text{ ist dann ein Eigenwert von F}\)
\(\text{Was ist der Eigenraum?}\)
\(Eig_\lambda(F)=\{x\in V|F(x)=\lambda x\}\\ \text{ist der zum Eigenwert }\lambda\text{ gehörige Eigenraum}\)
\(\text{Wie ist das charakteristische Polynom definiert?}\)
\(\chi_F(\lambda)=det(A-\lambda E_n)\\ \text{wobei A die darstellende Matrix eines Endomorphismus}\\ \text{bezüglich einer Basis ist}\)
\(\text{Wann heißt ein Endomorphismus diagonalisierbar?}\)
\(F\in End_{\mathbb{K}}(V),\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\\ \text{Falls eine Basis } \mathscr{A} \text{existiert sodass die } v_j \text{ Eigenvektoren von F sind}\)
\(V\ ein\ \mathbb{K}-VR,\ F\in End_{\mathbb{K}}(V), \ \chi_F\in \mathbb{K}[\lambda]\ das\ charakteristische\ Polynom\\ \lambda_1,\ldots,\lambda_r\in\mathbb{K}\ die \ paarweise\ verschiedenen\ Nullstellen\ von\ \chi_F\\ \text{1) Was ist die algebraische Multiplizität?}\\ \text{2) Was ist die geometrische Multiplizität?}\)
\(Die\ Ordnung\ \mu_j\ der\ Nullstelle\ \lambda_j\ von\ \chi_F\ ist\ algebr.\ Multipli.\\ Die\ Dimension\ \nu_j=dim_{\mathbb{K}}(Eig_{\lambda_j}(F))\ ist\ geometr.\ Multipli.\)
\(\text{Wann heißt ein }F\in End_K(V) \ Trigonaliesierbar\)
\(\text{Wenn es eine Basis gibt, sodass: }\\ M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})\text{ obere Dreiecksgestallt hat}\)
\(\text{Es sei }x,y\in \mathbb{R}^n\text{ mit:}\\ x=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \ und\ y= x=\begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}\\ \text{Wie ist das euklidische Skalarprodukt, die euklidische Norm}\\ \text{und der euklidische Abstand definiert}\)
\(\text{Skalarprodukt: }\langle x,y\rangle :=\displaystyle\sum_{j=1}^nx_jy_j=x^Ty\\ \text{Norm: }\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{\displaystyle\sum_{j=1}^n x_j^2}\\ \text{Abstand: }d(x,y):=\|x-y\| \)
\(Es\ seien\ x,y\in\mathbb{R}^n.\\ Wann\ heißen x,y\ orthogonal\ zueinander\\ und\ wie \ ist\ die \ Notation\)
\(Orthogonal: \langle x,y\rangle =0\\ Notation:\ x\perp y\)
\(\text{Wann heißt die Basis }(v_1\ldots v_n)\text{von }\mathbb{R}^n\text{ orthonormalbasis}\)
\(Wenn:\ \langle v_i,v_j\rangle =\delta_{ij}\\ \text{Also wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen und Betrag eins haben}\)
\(Wann\ ist\ F\in Abb(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)\ eine\ orthogonale\ Abbildung\)
\(1)\ F(0)=0\\ 2)\ F\ ist\ Abstanderhaltend,\ also:\\ \forall x,y\in \mathbb{R}:d(F(x),F(y))=d(x,y)\)
Was ist eine Translation um c?
\(\text{Eine Translation um c ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:}\\ t_c:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n, x\mapsto x+c\ wobei \ c\in\mathbb{R}^n\)
\(\text{V und W seinen }\mathbb{C}\text{-Vektorräume}\\ \text{Wann heißt eine Abbildung }F:V\to W\text{ Semilinear}\)
\((SL1)\ \forall x,y\in V:F(x +y)=F(x)+F(y)\\ (SL2)\ \forall x\in V,\forall \lambda\in\mathbb{C}:F(\lambda x)=\overline{\lambda}F(x)\)
\(\text{V und W seien }\mathbb{C}-Vektorräume.\\ \text{Wann heißt }s:V\times W\to \mathbb{C}\text{ sesquilinear}\)
\(1)\ \forall w\in W:\text{ die Abbildung }V\to\mathbb{C},\ x\mapsto s(x,w)\ ist\ linear\\ 2)\ \forall v\in V:\text{ die Abbildung }W\to\mathbb{C},\ y\mapsto s(v,y)\ ist\ semilinear\)
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Cartes-fiches
Was ist eine Partition von r
\(\text{Eine Partition von r ist ein Tupel }(n_1,\ldots,n_k)\in\mathbb{N}^k\backslash\{0\}\\ \text{mit folgenden Eigenschaften:}\\ n_1\geq n_2\geq\cdots\geq n_k\ und\\ \displaystyle\sum_{j=1}^kn_k=r\)
\(\text{Wie ist die duale Partition zu }(n_1,\ldots,n_k)\text{ definiert}\)
\(\text{Die duale Partition ist dann: }(m_1,\ldots,m_q)\text{ mit}\\ m_j=\#\{l\in\{1,\ldots,k\}|j\leq n_l\}\)
