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Definitionen von Lineare Algebra 2
Definitionen von Lineare Algebra 2
Kartei Details
| Karten | 42 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 02.05.2016 / 03.11.2020 |
| Lizenzierung | Keine Angabe |
| Weblink |
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\(\text{Es seinen X,Y Mengen, m}\in \mathbb{N} \backslash\{0\},X^m =\underbrace{X\times \dots\times X}_{m-mal}\\ f:X^m\to Y \text{ eine Abbildung}\\ \text{Wann heißt f symmetrisch und wann Antisymmetrisch?}\)
\(\text{f heißt Symmetrisch, falls } \forall\sigma\in S_m,\forall x_1, \dots ,x_m \in X:\\ f\Big(x_{\sigma (1)},\dots,x_{\sigma (m)}\Big)=f\Big(x_1,\dots,x_m\big)\\ \text{f heißt Antisymmetrisch wenn:}\\ 1. Y=\mathbb{K}\text{ ein Körper und }\\ 2. f\Big(x_{\sigma (1)},\dots,x_{\sigma (m)}\Big)=sign(\sigma )\cdot f\Big(x_1,\dots,x_m\big)\)
\(\text{Sei }\mathbb{K} \text{ ein Körper } V_1,\dots,V_q,W\text{ mit }q\in \mathbb{N}\backslash\{0\}\\ \text{seien K-Vektorräume}\\ \alpha:V_1 \times \dots\times V_q\to W \text{ eine Abbildung}\\ \text{1) Wann heißt die Abbildung q-Multilinear}\\ \text{2) Wie nennt man die Abbildungen fall folgendes gilt:}\\ V_1=V_2=\dots =V_q =V ,W=\mathbb{K}\)
\(\text{1) Die Abbildung heißt Multilinear falls:}\\ \forall x_j \in V_j, \forall l\in\{1,\dots,q\}:\\V_l\to W, y\mapsto \alpha\Big(x_1,\dots,x_{l-1},y,x_{l+1},\dots,x_q\Big)\\ \text{ist K-Linear}\\ \text{2) Die Abbildungen heißen dann q-Linearformen}\\ \text{oder q-Kontravariante Tensoren}\)
\(\text{Wie ist die Abbildung definiert, welche aus einem n-Tupel }\\ \text{von Vektoren aus }\mathbb{K}^n \text{eine Matrix macht }\)
\(col:\underbrace{\mathbb{K}^n\times\dots\times\mathbb{K}^n}_{n-mal}\to Mat_\mathbb{K}(n\times n),\\ \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11}\\ \vdots\\ a_{n1} \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} a_{1n}\\ \vdots\\ a_{nn} \end{pmatrix} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}\)
\(\text{ Wann heißt eine Abbildung}\\ det:Mat_\mathbb{K}(n\times n)\to\mathbb{K} \\\text{Determinante?}\)
\(\text{Wenn folgendes gilt:}\\ \text{D1) det ist linear in jeder Spalte der Matrix, das heißt:}\\ f:=det\circ col:\underbrace{\mathbb{K}^n\times\dots\times \mathbb{K}^n}_{n-mal}\to\mathbb{K}\\ \text{ist Multilinear}\\ \text{D2) det ist Alternierend (äquivalent: f aus (D1) ist alternierend)}\\ \text{d.h. det(A)=0, falls zwei Spaltenvektoren aus A übereinstimmen}\\ \text{D3) det ist normiert, d.h det(E)=1 }\)
\(\text{Wie ist die general linear Group } GL_n(\mathbb{K})\text{ definiert?}\\ \text{Und wie ist die special linear Group }SL_n(\mathbb{K})\text{ definert?}\)
\(GL_n(\mathbb{K}):=\{A\in Mat_{\mathbb{K}}(n\times n)|det(A)\neq 0\}\\ SL_n(\mathbb{K}):=\{A\in Mat_{\mathbb{K}}(n\times n)|det(A)= 1\}\)
\(\text{Was ist die zu A komplementäre oder adjunkte Matrix }\tilde{A}\)
\(n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}, A\in Mat_{\mathbb{K}}(n\times n)\\ \tilde{A}=(\tilde{a}_{ij})\text{ mit } \tilde{a}=det(A_{ij})=(-1)^{i+j}\cdot det(A'_{ij})\)
\(\mathbb{K}\subseteq\mathbb{R}\text{ und V ein n-dim. K-Vektorraum}\\ F\in End_{\mathbb{K}}(V)\text{ und }\mathscr{A},\mathscr{B}\text{ seien Basen von V}\\ \text{1) Wann heißt F Orientierungserhaltend oder Orientierungstreu?}\\ \text{2) Wann heißen }\mathscr{A}\text{ und }\mathscr{B}\text{ gleichorientier?}\)
\(\text{1) Wenn folgendes gilt:}\\ det(F)\text{>} 0\\ \text{2) Wenn: }det(\mathscr{M}(\mathscr{B},\mathscr{A}))\text{>} 0\\ \text{Also wenn die Det. der Basiswechselmatrix größer Null}\)
\(\text{V ein K-Vektorraum }F\in End_{\mathbb{K}}(V)\\ \text{1) Wann heißt x Eigenvektor von F } x\in V\\ \text{2) Und was ist der Eigenwert von F}\)
\(x\in V \text{ heißt Eigenwert wenn: }\\ x\neq 0 \wedge \exists \lambda\in \mathbb{K}:F(x)=\lambda x\\ \lambda\text{ ist dann ein Eigenwert von F}\)
