Chapitre 11 : extrema de Rn --> R
Analyse, M. Fortemps, 2016/2017
Analyse, M. Fortemps, 2016/2017
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Définir maximum local
On dit que f : E ⊂Rn →R présente un maximum local en a ∈E, si et seulement si on a f (x)≤ f (a) sur un voisinage de a :
∃δ > 0 : ∀x ∈ E , f (x) ≤ f(a) ⇐ ||x−a|| ≤ δ
Définir maximum global
On dit que f : E⊂Rn → R présente un maximum global en a ∈ E, ssi
∀x ∈ E , f(x) ≤ f(a)
Définir point critique (stationnaire)
On dit que f : E ⊂ Rn → R présente un point critique en a ∈ Int(E) ssi
daf = 0 c’est-à-dire ∇f =0
Quelle est la condition nécessaire d'un extremum local?
Soit f : E ⊂ Rn → R. Soit a ∈ Int(E) et f dérivable en a dans la direction u.
Alors a est un extremum local ⇒ ∂f / ∂u (a) = 0
Quelle est la condition nécessaire d'un extremum local et point stationnaire?
Soit f : E ⊂ Rn → R. Soit a ∈ Int(E) et f différentiable en a.
Alors a est un extremum local ⇒ ∇ f(a) = 0
Donner le théorème de Shwarz
Soit f : E ⊂ Rn → R et a ∈ Int(E). Si ∂2f / ∂xi∂xj et ∂2f / ∂xj∂xi , avec i 6= j, existent dans un voisinage de a et sont continues en a,
alors, ∂2f / ∂xi∂xj (a)= ∂2f / ∂xj∂xi (a).
Comment caractèrise-t-on un extremum?
Soit f : E ⊂ Rn → R, a ∈ IntE et f ∈ Ck(E). Si daf = d(2)af = ... = d(k−1)af = 0 et d(k)af ≠ 0,tel que
- k est impair, alors a n’est pas un extremum
- k est paire et d(k)af > 0, ∀h ≠ 0, alors a est un minimum de f
- k est paire et d(k)af <0, ∀h ≠ 0, alors a est un maximum de f
- k est paire et ∃h1 et h2 : d(k)af de hk1 > 0 et d(k)af de hk2 < 0, alors a n’est pas un extremum
Donner le corrolaire de la caractérisation d'un extremum local pour k = 2
Soit f : E ⊂ Rn → R, a ∈ IntE et f ∈ Ck(E). Soit a un point critique (daf =0) tel que d2af ≠ 0.
- Si d2af est une forme quadratique définie positive, alors a est un minimum de f
- Si d2af est une forme quadratique définie négative, alors a est un maximum de f
- Si d2af est une forme indéfinie, alors a n’est pas un extremum de f
