Brückenkurs Mathematik Fachbegriffe
16HS AOEC0020Mathematik I
16HS AOEC0020Mathematik I
Zweite binomische Formel
\((a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2\)
Dritte binomische Formel
\((a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2\)
Logarithmus
Man de niert den Logarithmus y von x zur Basis a, wobei a und x als positive reelle Zahlen
und a 1 vorausgesetzt werden, durch
\(y = \log_a (x)\) ⇔ \(a^y=x\)
\(y = \log_a (x)\) ⇔ ?
⇔ \(a^y=x\)
Logarithmusgrundgesetz
Recheregeln für Logarithmen (vier)
Wichtige Spezialfälle Logarithmus (zwei)
Polynomdivision
Polynome konnen wie Zahlen dividiert werden. Dabei geht man analog zur schriftlichen
Division bei Zahlen vor.
Absolutbeträge
Abrundungsfunktion (oder auch Floor-Funktion)
\(\lfloor x\rfloor\)= max {n ∈ ℤ : n ≤ x},
d.h. \(\lfloor x\rfloor\) ist die grosste ganze Zahl n, die kleiner oder gleich x ist.
Aufrundungsfunktion (oder auch Ceiling-Funktion)
\(\lceil x \rceil \)= min {n ∈ ℤ : n ≥ x},
d.h. \(\lceil x \rceil \) ist die kleinste ganze Zahl n, die grosser oder gleich x ist.
Umrechnungsformel fur Winkel von Bogenmass x in α (gemessen in Grad) lautet...
... \(α \over 360°\)= \(x \over 2 π\)
Wichtig: In der Analysis misst man winkel im Gegensatz zur Geometrie meist im Bogenmass (nicht in Bogenläge)
Eigenschaften von sin(x) und cos(x) (8 Eigenschaften)
Differentiation und Integration (sin/cos(tan)
Polarkoordinaten
Im Polarkoordinatensystem wird also die Lage eines Punktes beschrieben durch:
- die Maßzahl einer Strecke, den Abstand r der Punkte O und P;
- die Maßzahl eines Winkels, den Drehwinkel ᵠ (=phi) des Koordinatenstrahls
Summenzeichen + Anwendung
\( \sum_{i=1}^5\)N1 = N1 + N2 + N3 + N4 + N5
i = Summationsindex (muss nicht unbedingt ab 1 starten)
Produktzeichen
\( \prod_{k=1}^n a_k= a_r \cdot a_{r+1} \cdot ... \cdot a_n\)
Rechenregeln fur Summenzeichen
Rechenregeln fur Produktregel
Gauss'sche Summenformel
Summenformel einer geometrischen Reihen (q ∈ ℝ \ {0,1})
Abgeschlossenheit einer Menge (z.B. ℕ) bezüglich einer Operation...
... bedeutet, dass das Ergebnis wieder in der Menge liegt.
Beispiel: 1+5=6, 1/5/6 sind natürliche Zahlen - aber 5-1=-4, -4 ist keine natürliche Zahl, also sagt man "ℕ ist nich abgesclhossen bezüglich Subtraktion"
ℕ
Menge der natürlichen Zahlen = {1, 2, 3, . . .}
ℤ
Menge der ganzen Zahlen = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}
ℚ
Menge der rationalen Zahlen = {m/n : m ∈ ℤ, n ∈ ℕ}
nicht jedem Element der Zahlengerade entspricht eine rationale Zahl, z.B. gilt (Bild)
ℝ
Menge der reellen Zahlen = Menge der ratioonalen Zahlen vereinigt mit den irrationalen Zahlen
z.B. erhalten vom Schritt ℚ auf ℝ Geleichungen wie x2 = 2 eine Lösung (Wurzel)
-> ℝ = Zahlen, die als endliche Dezimalzahl, oder als periodisch unendliche Dezimalzahl darstellbar sind. (z.B. 5/4=1.25)
ℝ\ℚ
Menge der irrationalen Zahlen = reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist (sie lassen sich nicht als Bruch darstellen)
Bekannte irrationale Zahlen: Wurzel aus der Zahl 2, π, Eulersche Zahl e
-> ℝ\ℚ = Zahlen mit unentlichen Stellen ohne wiederholung nach dem Komma
Assoziativgesetz
Addition: a + (b+c) = (a+b) + c ; Definition: Bei drei Suammanden hat die Reihenfolge der Additionen keinen Einflus auf die Summe.
Multiplikation: a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c ; Definition: In einem Produkt aus drei Faktoren hat die Reihenfolge der Multiplikationen keinen Einfluss auf das Produkt.
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
Addition: a + b = b + a ; Definition: Reihenfolge der Summanden hat keinen Einfluss auf die Summe
Multiplikation: a ⋅ b = b ⋅ a ; Definition: Reihenfolge der Faktoren hat keinen Einfluss auf das Produkt
Reihenfolge der Operationen
1. Kalmmern
2. Punkt-Operationenen
3. Strich-Operationenen
Naturales Element...
... der Addition ist 0.
... der Multiplikation ist 1.
Inverses Element...
... der Addition von a ist -a, d.h. (-a) + a = 0
... der Multiplikaion von a ist 1/a=a-1, d.h. a-1 ⋅ a = 1/a ⋅ a = 1
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
der Addition und Multiplikation: a ⋅ (b+c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) = a ⋅ b + a ⋅ c
Stichwort: Ausklammern
Quantoren
Eine Aussageform (auch Prädikat genannt) \({\displaystyle A(x)}\) ist dabei ein sprachlich sinnvoller Ausdruck, in der die Variable \(\displaystyle x\) vorkommt und die durch Belegung dieser Variablen mit einem konkreten Wert in eine Aussage übergeht.
-> ein Zeichen/Variable hat ene bestimmte Bedeutung
∀
„für alle“ oder „für jede(s)“
∃
"es existiert (mindestens) ein"
∄
"es existiert kein"
∃!
"es existiert genau ein"
Konjunktion
Die Konjunktion "P und Q" von zwei Aussagen schreibt man als P⋀Q. Die Konjunktion
ist genau dann wahr, wenn P und Q beide wahr sind.
z.B.: 50 = 1 ⋀ 5+1 = 6. Beide Aussagen sind wahr, damit ist die Konjunktion auch wahr.
Alternative (Disjunktion)
Die Alternative (oder Disjunktion) "P oder Q" von zwei Aussagen schreibt man als P ⋁ Q.
Die Alternative ist genau dann falsch, wenn P und Q beide falsch sind.
z.B.: 50 = 0 ⋁ 5 + 1 = 7. Beide Aussagen sind falsch, da 50 = 1 und 5 + 1 = 6. Damit ist die Alternative auch falsch.
Implikation
Die Implikation "aus P folgt Q" (die auch als "P impliziert Q" oder "wenn P, dann Q"
gelesen wird) schreibt man als P ⇒ Q.
Die Implikation ist genau dann falsch, wenn P
wahr und Q falsch sind.
Bezeichungen:
- P Voraussetzung (oder Pramisse)
- Q Behauptung (oder Schlussfolgerung)
Die Umkehrung der Implikation kann aber einen anderen Wahrheitswert haben.
Beispiel: "n ist durch 24 teilbar" ⇒ "n ist durch 4 und 6 teilbar"
-
- 1 / 64
-
Cartes-fiches
Abgeschlossenheit einer Menge (z.B. ℕ) bezüglich einer Operation...
... bedeutet, dass das Ergebnis wieder in der Menge liegt.
Beispiel: 1+5=6, 1/5/6 sind natürliche Zahlen - aber 5-1=-4, -4 ist keine natürliche Zahl, also sagt man "ℕ ist nich abgesclhossen bezüglich Subtraktion"
ℕ
Menge der natürlichen Zahlen = {1, 2, 3, . . .}
ℤ
Menge der ganzen Zahlen = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}
ℚ
Menge der rationalen Zahlen = {m/n : m ∈ ℤ, n ∈ ℕ}
nicht jedem Element der Zahlengerade entspricht eine rationale Zahl, z.B. gilt (Bild)
ℝ
Menge der reellen Zahlen = Menge der ratioonalen Zahlen vereinigt mit den irrationalen Zahlen
z.B. erhalten vom Schritt ℚ auf ℝ Geleichungen wie x2 = 2 eine Lösung (Wurzel)
-> ℝ = Zahlen, die als endliche Dezimalzahl, oder als periodisch unendliche Dezimalzahl darstellbar sind. (z.B. 5/4=1.25)
ℝ\ℚ
Menge der irrationalen Zahlen = reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist (sie lassen sich nicht als Bruch darstellen)
Bekannte irrationale Zahlen: Wurzel aus der Zahl 2, π, Eulersche Zahl e
-> ℝ\ℚ = Zahlen mit unentlichen Stellen ohne wiederholung nach dem Komma
Assoziativgesetz
Addition: a + (b+c) = (a+b) + c ; Definition: Bei drei Suammanden hat die Reihenfolge der Additionen keinen Einflus auf die Summe.
Multiplikation: a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c ; Definition: In einem Produkt aus drei Faktoren hat die Reihenfolge der Multiplikationen keinen Einfluss auf das Produkt.
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
Addition: a + b = b + a ; Definition: Reihenfolge der Summanden hat keinen Einfluss auf die Summe
Multiplikation: a ⋅ b = b ⋅ a ; Definition: Reihenfolge der Faktoren hat keinen Einfluss auf das Produkt
Reihenfolge der Operationen
1. Kalmmern
2. Punkt-Operationenen
3. Strich-Operationenen
Naturales Element...
... der Addition ist 0.
... der Multiplikation ist 1.
Inverses Element...
... der Addition von a ist -a, d.h. (-a) + a = 0
... der Multiplikaion von a ist 1/a=a-1, d.h. a-1 ⋅ a = 1/a ⋅ a = 1
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
der Addition und Multiplikation: a ⋅ (b+c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) = a ⋅ b + a ⋅ c
Stichwort: Ausklammern
Quantoren
Eine Aussageform (auch Prädikat genannt) \({\displaystyle A(x)}\) ist dabei ein sprachlich sinnvoller Ausdruck, in der die Variable \(\displaystyle x\) vorkommt und die durch Belegung dieser Variablen mit einem konkreten Wert in eine Aussage übergeht.
-> ein Zeichen/Variable hat ene bestimmte Bedeutung
∀
„für alle“ oder „für jede(s)“
∃
"es existiert (mindestens) ein"
∄
"es existiert kein"
∃!
"es existiert genau ein"
Konjunktion
Die Konjunktion "P und Q" von zwei Aussagen schreibt man als P⋀Q. Die Konjunktion
ist genau dann wahr, wenn P und Q beide wahr sind.
z.B.: 50 = 1 ⋀ 5+1 = 6. Beide Aussagen sind wahr, damit ist die Konjunktion auch wahr.
Alternative (Disjunktion)
Die Alternative (oder Disjunktion) "P oder Q" von zwei Aussagen schreibt man als P ⋁ Q.
Die Alternative ist genau dann falsch, wenn P und Q beide falsch sind.
z.B.: 50 = 0 ⋁ 5 + 1 = 7. Beide Aussagen sind falsch, da 50 = 1 und 5 + 1 = 6. Damit ist die Alternative auch falsch.
Implikation
Die Implikation "aus P folgt Q" (die auch als "P impliziert Q" oder "wenn P, dann Q"
gelesen wird) schreibt man als P ⇒ Q.
Die Implikation ist genau dann falsch, wenn P
wahr und Q falsch sind.
Bezeichungen:
- P Voraussetzung (oder Pramisse)
- Q Behauptung (oder Schlussfolgerung)
Die Umkehrung der Implikation kann aber einen anderen Wahrheitswert haben.
Beispiel: "n ist durch 24 teilbar" ⇒ "n ist durch 4 und 6 teilbar"
Negation (oder Verneinung)
Die Negation "nicht P" einer Aussage kann man entweder als ¬P oder \(\bar P\) schreiben. Die
Negation von P ist genau dann wahr (bzw. falsch), wenn P falsch (bzw. wahr) ist.
Äquivalenz
Die Äquivalenz "P ist äquivalent mit Q" (oder "P genau dann, wenn Q"), die als P ⇔ Q
geschrieben wird, entspricht den Implikationen P ⇒ Q und Q ⇒ P. Die Äquivalenz ist
genau dann wahr, wenn P und Q die gleichen Wahrheitswerte haben.
Äquivalent Gesetze
Doppelte Verneinung: ¬¬P ⇔ P
Kontraposition: (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P)
Verneinung der Implikation: ¬(P ⇒ Q) ⇔ (P ⋀ ¬Q)
Verneinung der Konjunktion: ¬(P ⋀ Q) ⇔ (¬P ⋁ ¬Q)
Mitternachtsformel
P ∨ Q
Aussage P oder Aussage Q (oder beide)
P ∧ Q
Aussage P und Aussage Q
𝕃
Lösungsmenge
ℂ
Komplexe Zahlen
Reelle Zahlen beinhalten alle Zahl auf der Zahlengerade. Man könnte meinen, mit den reellen Zahlen wären alle Zahlen abgedeckt. Dem ist aber nicht so. Die reellen Zahlen können zu komplexen Zahlen erweitert werden, wenn man sie mit imaginären Zahlen zusammensetzt.
sign (a)
Vorzeichen einer Zahl a ≠ 0
- Für positive Zahlen x ist sgn x = +1.
- Für negative Zahlen x ist sgn x = -1.
4 Gesetze zu rechnen mit Ungleichungen
Für das Rechnen mit Ungleichungen modifizieren sich diese gesetzt wie folgt, wobei □ irgendeines der Zeichen <, ≤, >, ≥ bedeutet.
9 Rechenregeln für Brüche
Potenz: an
Bezeichung von a und n?
Basis: a (∈ ℝ)
Exponent: n (∈ ℕ)
Wichtig: a0 = 1 (a ≠ 0)
Definition n-ten Wurzel einer nichtnegativen reellen Zahl
Radikand
\(m \sqrt a\) ; a ist der Radikand
\(m\sqrt a\) (umschreiben)
\(a^{1/m}\)
\(m \sqrt {a^{n}}\) = \((m \sqrt a)^n\)(umschreiben)
\(a^{n/m}\)
Diese Regel gilt nur für nichtnetative \(a ∈ ℝ\); \(n, m ∈ ℕ\)
\(a^{-x}\) (umschreiben)
\(1 \over a^x\)
Beachte: \(0^0 \) ist nicht definiert
Exponentialfunktion
\(e^x\)
5 Rechenregeln für Potenzen
2 wichtige Grundsätze beim Rechnen mit Potenzen
