Physik - Kontinuumsmechanik (Teil2)

\(\boxed{\rho \frac{D \vec v}{D t} =\rho \vec F - \vec \nabla p + \eta\vec\nabla^2v + \left(\zeta + \frac \eta 3\right) \nabla(\nabla\cdot v)}\)   

(RB: \(\left.\hat n \cdot \vec v \right|_{\text{surface}} = 0\) )

Herleitung:
mit Impulsbilanzgleichung    \(\rho \frac {Dv_i}{Dt} -\rho F_i - \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} = 0\)
und Spannungstensor \(\sigma_{ij} = -p\delta_{ij} + R_{ij}\) ( \(R_{ij}\ne0\) für reales Fluidum)

mit Kontinuitätsgleichung \(\frac{D\rho}{Dt} + \rho (\vec \nabla \cdot \vec v) = 0\)  ⟶ Navier-Stokes-Gleichungen

\(R_{ij} = \eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac {\partial v_j}{\partial x_i}\right) + \eta^\prime \delta_{ij} \vec \nabla\cdot \vec v\)

aus Spur: Reibungsdruck \(p^\prime \propto \) Dilatation
\(-\tilde p = \frac 1 3 R_{kk} = \underbrace{(\frac 2 3\eta+\eta^\prime)}_{\zeta}\vec \nabla \cdot \vec v\) ⟶ Stokes'sche Beziehung: \(\zeta = 0 \rightarrow R_{kk}=0\)

\(R_{ij} = \zeta (\nabla\cdot v )\delta_{ij} + \eta\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \frac 23 \delta_{ij} \nabla\cdot v\right)\) (zweiter Term spurfrei)

\(\frac{\partial}{\partial t} \frac{\rho v^2}{2} +\frac{\partial}{\partial x_j} \left(\frac{\rho v^2}{2} v_j - \sigma_{ij} v_i \right) = - \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + v_i \rho F_i\)
Energiebilanzgleichung für inkompressibles Fluidum und ohne Vol.-Kräfte und über Rohrwand integriert:
\(\rho \frac {D}{Dt} \frac{v^2}{2} = \frac{\partial}{\partial x_j} v_i \sigma_{ij} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\) ⟶  \(\frac d {dt} \int_{V_t} \rho\epsilon \ dV =\oint_{\partial V_t} v_i\sigma_{ij}\ n_j \ df -\int_{V_t} \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} dV\)

(Reibungsverlust aus Energiebilanz, letzter Term)
\(-\int_{G} \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} dV\)\(=-\int_{G} \frac{R_{ij}^2}{2\eta} \) \(=-\int_{G} 2\eta\left[\vec \nabla \cdot (\vec v \cdot \vec \nabla ) \cdot \vec v + \frac12 (\vec \nabla \times \vec v)^2 \right]\ dV\)\(=-2\eta\oint_{\partial G} \hat n \cdot (\vec v \cdot \vec \nabla)\vec v \ df- \eta\int_{G} (\vec \nabla \times \vec v )^2 \ dV\)

( mit \(\left(\frac12 (\partial_j v_i + \partial_i v_j)\right)^2 = \vec \nabla \cdot(\vec v \cdot \vec \nabla)\vec v + \frac 12 (\vec \nabla \times \vec v )^2\) ;
  erster Term verschwindet für ruhende Gefässe⟶RB)

zur dimensionslosen Analyse schreiben wir die Navier-Stokes Gleichungen in charakteristischen Längen- bzw. Geschwindigkeitsskalen \(\lambda, \nu\)

NS für inkompressibel und ohne Volumenkräfte: Kontinuität: \(\partial_t \rho + \vec\nabla\cdot(\rho \vec v) = 0 \implies \vec \nabla \cdot \vec v = 0\)
Feld: \(\rho \frac{D \vec v}{Dt} = \rho \vec F - \vec \nabla p + \eta \vec \nabla^2 \vec v\)

\(\boxed{\frac{\partial\rho}{\partial t} = \vec\nabla\cdot(\rho \vec\nabla \Phi)\\\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac12 (\nabla \Phi)^2 + P + U}\)      RB: \(v_n = \left.-n\cdot \nabla \Phi\right|_{\partial V} = \left.-\frac{\partial \Phi}{\partial n}\right|_{\partial V}\)

Strömung wirbelfrei \(\nabla \times v = 0\)   ⟶  ∃Geschwindigkeitspotential \(\vec v = -\vec \nabla \Phi\)
konservatives Kraftfeld \(F = -\nabla U\)  ⟶ Euler-Gleichungen werden zu:

\(-\nabla (\partial_t \Phi) + \underbrace{(\vec v \cdot \vec \nabla)\vec v}_{(\vec\nabla\times \vec v)\times\vec v+\frac{\vec\nabla v^2}{2}}+\vec \nabla U + \frac{\vec \nabla p}{\rho} = 0\)  ⟶ int:   \(-\frac{\partial \Phi}{\partial t} + \frac12 v^2 + P + U = c(t) = 0 \)(durch umeichen in \(\Phi\))

Strömung nicht wirbelfrei, aber  \(F = -\nabla U\) und stationär \(\partial_t \vec v=0\)   ( \(\frac{D\vec v}{Dt}\ne0\)  i.A.)
⟶ Euler wird zu:

\(-\underbrace{\partial_t v}_{0} + \underbrace{(\vec v \cdot \vec \nabla)\vec v}_{(\vec\nabla\times \vec v)\times\vec v+\frac{\vec\nabla v^2}{2}}+\vec \nabla U + \frac{\vec \nabla p}{\rho} = 0\)  ⟶ integriert entlang Stromlinie \(\gamma\) ( \(ds \parallel \vec v \rightarrow (\nabla \times v)\times v \cdot ds =0\) ):   \(\int_\gamma ds \cdot \left[(\vec\nabla \times \vec v) \times \vec v + \vec\nabla\left(\frac{v^2}{2} + U+P \right)\right] = 0\)\(\quad\implies\quad \boxed{\frac12 v^2 + P + U = C_\gamma}\)

• falls keine Wirbel \(C_\gamma = C\) (Pfadunabhängig auf ganzem Fluidum)
• falls inkompressibel \(P = p/\rho\)  ⟶  \(\frac 12 \rho v^2 + p + \rho U = C\)

\(\vec\nabla P = \frac {\vec\nabla p}\rho\)

• falls inkompressibel:   direkt \(P = \frac p\rho\)
• für kompressibel wird Zustandgleichung \(p(\rho)\) benötigt bsp. \(\frac{p}{p_0} = \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^\gamma\)
  \(\nabla p(\rho) = \frac{d p}{d\rho} \nabla \rho\)  ⟶  \(P = \int_{\rho_0}^\rho \frac 1 {\rho'} \frac{dp(\rho')}{d\rho'} d\rho'\)