Physik - Quantenmechanik I

\(\langle A \rangle = \int_\mathbb{R} dx\, \Psi (x,t) ^* A \Psi (x,t)\)

In QM werden alle Observablen zu hermitischen Operatoren. ⟹ Erwartungswerte reell

\(m \frac{d^2}{d t^2} \langle x \rangle = -\langle \partial_x V(x,t)\rangle\)

Falls \(V(x,t) = V(x)\) zeitunabhängig, können wir die Wellenfunktion separieren \(\Psi (x,t) = \psi(x)\chi(t) = \psi(x) e^{-\frac{iE}{\hbar}t}\) und für den ortsabhängigen Teil folgt die zeitunabhängige Schrödingergleichung:

\(H\psi = E\psi\)

\(\left| \Psi(x,t) \right| = 1\) mit \(\left| \Psi \right| = \int_\mathbb R dx\, \Psi(x,t)^* \Psi(x,t)\)

für zeitunabhängige Schrödingergleichung:  \(\left| \Psi (x,t) \right| = \left|\psi(x)\right| \left|\exp\left( -\frac{iE}{\hbar} t \right)\right| = \left|\psi(x)\right| = 1\)

mit einem vollständigen Satz normalisierter Eigenfunktionen \(\psi_n, \ \ n \in \mathbb N\) lässt sich jede Wellenfunktion als Superposition davon schreiben:

\(\Psi(x,t) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n \psi_n(x) \exp\left( -\frac{iE_n}{\hbar} t \right)\)  mit  \(a_n \in \mathbb C\)  und  \(\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|^2 = 1\)

\(L^2 \)-Raum

\(L^2(\mathbb R^n) = \{ f: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb C\, \big|\, ||f||^2 = \langle f | f \rangle < \infty \}\)

\(\langle f | g \rangle = \int_\mathbb R dx\, f(x)^* g(x)\)mit Skalarprodukt 

(sesquilinear, \(\langle f | g \rangle = \overline{\langle g | f \rangle}\), \(\langle f | f \rangle \ge 0\) mit \(\langle f | f \rangle = 0 \implies f=0\) (Fct. identifizieren, die sich nur auf einer Menge mit Lebesque Nullmass unterscheiden))

Hilbertraum \(\mathcal{H}\) mit selbst-adjungiertem Hamilton-Operator H.

Phasenraum-Koordinaten auf demselben Strahl \((\chi_1 \tilde{} \chi_2 \Leftrightarrow \chi_1 e^{i a} = \chi_2)\) beschreiben selben Zustand.

\(\frac{\partial}{\partial t} \Psi = -\frac{i}{\hbar} H \Psi = \left(\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{i}{\hbar}V\right)\Psi\)

(Die Zeitentwicklung wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:

\(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi (x,t) = \left( \frac{-\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t) \right) \Psi (x,t)\)    )

\(\partial_t \rho(x,t) = \partial_x j(x,t)\)

( \(\partial_t \rho = \partial_t (\Psi^*\Psi) = \Psi^* \partial_t \Psi - \Psi \partial_t \Psi^* \)\(= \frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^* \partial_x^2 \Psi - \Psi \partial_x^2 \Psi^* + 0\right)\) \(= \partial_x \frac{i\hbar}{2m} \left(\Psi^* \partial_x \Psi - \Psi \partial_x \Psi^* \right) = \partial_x j(x,t)\) )

\(\hat x = i \hbar \frac{\partial}{\partial p}\)

auf fouriertransformierte Wellenfunktion:

\(\tilde \Psi = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} dx\ \Psi(x,t) \ e^\frac{-ipx}{\hbar}\)

Für die Wellenfunktion \(\Psi\) und Observable A,B

\(\Delta A \cdot \Delta B \ge \frac 1 2 \left| \langle i [A,B]\rangle \right|\)

mit \((\Delta A)^2 = \langle \ (A - \langle A \rangle)^2 \rangle = \langle A^2\rangle - \langle A \rangle ^2 \)

anti-self-adjoint

With adding an \(i\) it becomes self-adjoint:

\((i[A,B])^\dagger = \overline{i} \{(AB)^\dagger-BA^\dagger)\} = -i(B^\dagger A^\dagger - A^\dagger B^\dagger) = i[A,B]\)    (used self-adjoint in last step)

And therefore \([A,B]^\dagger = -[A,B]\)

Wir haben den Hamiltonian \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac f 2 q \)  bzw. mit \(\omega = \sqrt \frac f m \) gilt 

\(H = \frac 1 2 \left( \frac{-\hbar^2}{m}\partial_q^2 + m \omega^2 q^2 \right) = \frac{\hbar \omega} 2 \left( -\partial_x^2 + x \right)\)  mit den Substitutionen

\(\partial_x = \sqrt\frac{\hbar}{m\omega} \partial_q\)  und  \(x = \sqrt \frac{\omega m}{\hbar} q\)

Zustände des harmonischen Oszillators aus benachbarten Zuständen berechnen:

\(| n+1 \rangle = \frac{a^\dagger |n\rangle}{\sqrt{n+1}}\) und  \(|{n-1}\rangle = \frac{a |n\rangle}{\sqrt{n}}\)
Normierung (bsp): \(\langle a^\dagger n | a^\dagger n\rangle = \langle n| a a^\dagger|n\rangle = \langle n| a^\dagger a + [a,a^\dagger]|n\rangle = (n + 1){\langle n|n\rangle}\)

Aufsteige-Op:   \(a^\dagger = \frac {1}{\sqrt{2}} (x - \partial_x)\)

Absteige-Op:    \(a = \frac {1}{\sqrt{2}} (x + \partial_x)\)

bzw. \(x = \frac{1}{\sqrt{2}} ( a + a^\dagger)\) und \(\partial_x = \frac{1}{\sqrt{2}} ( a - a^\dagger)\)

mit \(p= -i\hbar \partial_q\) ⟶  \(\partial_q = \frac i \hbar p\)  ⟶  \(\partial_x^* = - \partial_x\)

\(N = a^\dagger a\)      ⟶     \(H = \hbar \omega (N + \frac 12)\)

Denn \(H = \frac{\hbar \omega}{2} (x^2 - \partial_x^2) = (\dots) = \frac{\hbar \omega}{2}(aa^\dagger + a^\dagger a) = \hbar \omega (a^\dagger a + \frac 12 [a,a^\dagger])\)
und  \([a,a^\dagger]\Psi = \frac 1 {\sqrt 2 \sqrt 2} [\, x+\partial_x,\ x-\partial_x]\Psi = \frac 22(\partial_x (x\Psi) - x \partial_x\Psi) = 1 \Psi\)

\(\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx\ \exp(-\frac{x^2}{c}) = \sqrt{\pi c}\)

\([x,p] = i\hbar\)

Wellenfunktion für \(|0\rangle\) (Vakuum), \(a|0\rangle =0\)  ⟶  in die Ortsdarstellung:

\(\langle x |a| 0\rangle = a\langle x|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(x+\partial_x)\,\psi_0 (x) =0\)   ⟶   \(\psi_0 \propto e^{-x^2/2}\)   ⟶norm.  \(\psi_0 \propto \frac{1}{\root{4}\of{\pi}}e^{-x^2/2}\)

Weitere iterativ:

\(\langle x|1\rangle = \frac{\langle x |{a^\dagger}|0\rangle}{\sqrt{0+1}} = \frac{a^\dagger}{\sqrt{0+1}} \psi_0\),   \(\langle x|n\rangle = \frac{\langle x |{a^\dagger}^n|0\rangle}{\sqrt{n!}} = \frac{(x - \partial_x)^n}{\sqrt{2^n n!}} \psi_0= \frac{1}{\sqrt{2^n n!} \root4\of\pi} H_n(x)\ e^{-x^2/2}\)

⟶ Hermite-Polynome \(H_n(x) = e^{x^2/2} (x - \partial_x)^n e^{-x^2/2}\) haben die Eigenschaft \(H_n(x) = (-1)^nH_n(-x)\)

Unitäre Darstellung ist ein Homomorphismus von Gruppe \(G \rightarrow \mathcal H\) zu Hilbertraum. Zu jedem Gruppenelement ein Operator.

Gruppenhomomorphismus-/Darstellungseigenschaft:   \(U(g_1)\cdot U(g_2) = U(g_1 \cdot g_2)\)

Skalarprodukt erhalten:   \(\langle U(g) \psi | U(g) \chi \rangle = \langle\psi| \chi\rangle\)

\(\implies U(g)^\dagger = U(g)^{-1} = U(g^{-1})\)

triviale: \(U(g) = 1\) ⟶ isomorph zu \(\mathcal D_0\)

fundamentale: \(U(R)=R\) (auf \(\mathcal H = \text{SO}(3)\)) bzw. \(U(\Omega)=\Omega\) (auf \(\mathfrak{so}(3)\))
⟶irreduzibel mit dim 3 ⟶ isomorph zu \(\mathcal D_1\)

reguläre: \((U(R)\psi)(\vec x) = \psi ( R^{-1} x)\)  (auf \(\mathcal H = L^2(\mathbb R^n)\))

Paritätsoperator \(\mathcal P\) erzeugt die {±1} Untergruppe von O(3). ( O(3) / {±1} = SO(3) )
\(\mathcal P^2 = 1 \implies\)Eigenwerte: ±1 und  Eigenvektoren erfüllen: \(\psi(-x) = (\mathcal P\psi)(x) = \pm\psi(x)\), sind also gerade bzw. ungerade Funktionen. ⟶ Wenn Hamiltonian gerade Fct von x, vertauschen \(\mathcal P \) und \(H\)⟶ gemeinsame Eigenfunktionen

Mit differenzierbarer Kurve \(R(t)\) mit \(R(0) = 1\)
\(\Omega = \left.\frac{d}{dt} R(t) \right|_{t=0}\)

indefinitesimale Rotationen sind \(\mathbb R\)-Vektorraum:
\(\alpha_1 \Omega_1 + \alpha_2 \Omega_2 = \left.\frac{d}{dt} R_1(\alpha_1t)R_2(\alpha_2 t)\right|_{t=0}\)

Lie-Klammer⟶Kommutator: \([\Omega_1,\Omega_2] = \left.\frac{d}{dt} R_1(t) \Omega_2 R_1(t)^{-1}\right|_{t=0}\)

\(\mathfrak {so}(3)\) hat wegen \(R(t) \in \text{SO}(3) \Rightarrow R^TR=1\) anti-symmetrische Elemente \(\Omega^T +\Omega = 0\)

\(\Omega(\vec\omega) = \left( {\begin{array}{ccc} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \\\end{array} } \right)\) ⟶ mögliche Bais: \(\Omega_i := \Omega(\vec e_i)\)
\(R\Omega(\vec\omega)R^{-1} = \Omega(R\vec\omega)\)\([\Omega(\vec\omega_1), \Omega(\vec\omega_2)] = \Omega(\vec\omega_1 \wedge \vec\omega_2)\)
(Für \(\vec\omega = \omega\hat{\text{e}}\) ist \(e^{\Omega(\vec\omega)t} = R(\hat{\text{e}}, \omega t)\) die Drehung um \(\hat{\text{e}}\) mit Winkel \(\omega t\))
⟶ \([\Omega_1, \Omega_2] = \Omega_3\quad \circlearrowleft\)

\(M(\vec\omega) := i\Omega(\vec\omega)\)     (selbst-adjungierte Darstellung)
\(= i\sum\limits_{k=1}^3 \omega_k\Omega_k = \sum\limits_{k=1}^3 \omega_k M_k\)

Schreibe statt \(U(M_3)\psi \rightarrow M_3\psi\)

(Aus jeder Darstellung von \(\text{SO}(3)\) auf dem Hilbertraum \(\mathcal H\) erhält man eine Darstellung der Lie Algebra \(\mathfrak {so}(3)\):
\(U(\Omega) = \frac{d}{dt}\left. U(R(t))\right|_{t=0}\)  ⟶  \(U([\Omega_1,\Omega_2]) = [U(\Omega_1), U(\Omega_2)]\) und \(U(\Omega)^\dagger = -U(\Omega)\) (anti-hermitesch) )

\([M_1,M_2] = iM_3 \quad \circlearrowleft\)

\(\mathfrak {so}(3) \cong \mathfrak {su}(2)_\mathbb C \cong \mathfrak {sl}(2,\mathbb C)\)

\(M_\pm = M_1 \pm iM_2\)

i) \([M_3, M_\pm] = \pm M_\pm\)

ii) \([M_+, M_-] = 2 M_3\)

\(M_3 \psi_m = m \psi_m\) dann aber auch \(M_\pm \psi\), solange \(M_\pm \psi = 0\)
(   \(M_3M_\pm \psi = M_\pm M_3 \psi + [M_3,M_\pm]\psi = (m\pm 1) M_\pm \psi\)  )
aber es existieren keine ∞-dim Darstellungen von SO(3),
darum \(\exists \text{EW } j\in\mathbb C\) mit \(\psi_j : M_3\psi_j = j\psi_j , \ M_+\psi_j = 0 \) und
\(\exists k\in \mathbb N : \psi_{j-k} \neq0, M_- \psi_{j-k} = 0\)

\(M_- \psi_m = \psi_{m-1}\)
\(M_+ \psi_m = \mu_m\psi_{m+1}\)\(\quad\mu_{m-1} = 2m +\mu_m\)
 \(\left( M_+ \psi_{m-1} = M_+M_-\psi_m = \underbrace{[M_+,M_-]}_{2M_3}\psi_m + M_-\underbrace{M_+ \psi_m}_{\mu_m \psi_{m+1}} = 2m \psi_m + \mu_m\psi_m\right)\)
⟶ \(\mu_m = j(j+1) - m(m+1) = (j-m)(j+m+1)\)
Abbruchbedingung \(\mu_{j-k-1} = 0\) ⟶ k = 2j
j = 0, 1/2, 1, 3/2, ...   ⟶ Spin j Darstellung: \(\text{dim} \mathcal D_j = 2j+1\), Basisvektoren \(\psi_j, \dots,\psi_{-j}\)

\(\vec M^2 = M_1^2+M_2^2 + M_3^2 = M_3^2 + \frac 12 (M_+M_- + M_-M_+)\)
\(=M_3^2 + M_+M_- + \underbrace{\frac12[M_-,M_+]}_{-M_3}=M_3^2 + M_-M_+ + \underbrace{\frac12[M_+,M_-]}_{M_3}\)

vertauscht mit \(M_i\) und somit auch mit \(M_\pm\) ⟶ \([\vec M^2, M_i] =0\)

charakterisiert Darstellung: \(\vec M^2 \psi_{j-n} = \vec M^2 M_-^n\psi_j = M_-^n\vec M^2 \psi_j = j(j+1) \psi_{j-n}\)

weiter finde k: \(\vec M^2 \psi_{j-k} = M_+\underbrace{M_-\psi_{j-k}}_{0} + M_3(M_3-1)\psi_{j-k} = (j-k)(j-k-1)\psi_{j-k}\)
Also \(j(j+1) = (j-k)(j-k-1) \implies k \in \{-1, 2j\}\), aber k positiv

.. weil dann \(\Omega_k^\dagger + \Omega_k = 0 \implies M_k^\dagger = M_k\)
und die ONB zu ist \(\{|j,m\rangle\}_{m=-j}^j\) mit \(|j,j\rangle = \frac{\psi_j}{\|\psi_j\|}\) und

\(\vec M^2 |j,m\rangle = j(j+1) |j,m\rangle\)
\(M_3 |j,m\rangle = m |j,m\rangle\)
\(M_\pm |j,m\rangle = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm1)}\ |j,m\pm1\rangle\)

weil \(\langle M_+ \text{jm}|M_+ \text{jm}\rangle = \mu_m\)

\(M_3 = -i \frac {\partial}{\partial \varphi}\), \(M_\pm = e^{i\pm\varphi} \left(\pm \frac{\partial}{\partial \vartheta} + i \cot\vartheta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right)\)

mit Kugelfunktionen \(Y_{l,m}(\vartheta, \varphi) = \sqrt{\dots} P_l^m(\cos \vartheta) e^{im\varphi}\), (m = -l,-l+1, .. , l-1, l)

\(M_3 Y_{l,m} = mY_{l,m}\)
\(M_+ Y_{l,l} = 0\)
\(M_\pm Y_{l,m} = C_{l,m,\pm} Y_{l,m\pm1}\)

Kugelfunktionen beschreiben also alle Darstellungen von \(\mathfrak{so}(3)\) mit \(j\in\mathbb Z\),
was alle Darstellungen von SO(3) abdeckt.
Halbzahlige j führen auf Darstellungen der universellen Überlagerungsgruppe SU(2).

\(SU(2) = \{M \in \text{Mat}(2x2,\mathbb C) : M^\dagger M = 1, \det M =1\}\)\(= \left\{ \left(\matrix{a&b\\-b^*&a*}\right), \det = aa^* + bb^* = 1 \right\}\)

⟶ \(\mathfrak{su}(2)\): \(\left.\frac d {dt} U(t)^\dagger U(t)\right|_{t=0} = A^\dagger + A = 0\)  ⟹ \(A\) anti-hermitesch und spurlos, da \(\det(\exp A) = \exp(\text{trA})\)

\(A(\vec a) =-\frac i 2 \sigma_j a_j= -\frac i 2 \pmatrix{a_3 & a_1 - ia_2\\ a_1+ia_2&-a_3}\)
mit \(\sigma_j\) den hermiteschen Pauli-Matrizen, die \(\sigma_i\sigma_j = \delta_{ij} + i \varepsilon_{ijk}\sigma_k\) erfüllen, können alle diese Matrizen mit \(\vec a \in \mathbb R^3 \) parametrisiert werden. Und es folgt:

\([A(\vec a), A(\vec b)] = A(\vec a \wedge \vec b) \implies \)\([A_1,A_2] = A_3 \quad \circlearrowleft\)

(denn \(-\frac i2 [(\vec\sigma\cdot\vec a),(\vec\sigma\cdot\vec b)] = -\frac i 2 a_i b_j ( \sigma_i \sigma_j - \sigma_j\sigma_i)\)\(= \frac i 2 a_i b_j(2i \varepsilon_{ijk} \sigma_k) = \varepsilon_{ijk} a_i b_j \sigma_k\) )

Also Lie-Algebren \(\mathfrak{su}(2) \cong \mathfrak{so}(3)\) isomorph (\(\Phi: A(\vec\omega) \mapsto \Omega(\vec\omega)\)), aber Gruppen verschieden:
\(\text{SU}(2) / \{\pm1\} \cong \text{SO}(3)\), \(\pm A(R) \mapsto R\)
jede Darstellung von SO(3) ist eine Darstellung von SU(2) (ABER: nicht umgekehrt; SU(2) ist Überlagerungsgruppe)

Abb. \(\Phi: \vec x \in\mathbb R^3 \mapsto \tilde x = x_j\sigma_j \)

\(\sigma_1 = \pmatrix{0&1\\1&0}\), \(\sigma_2 = \pmatrix{0&-i\\i&0}\), \(\sigma_3 = \pmatrix{1&0\\0&-1}\)

sind hermitesch: \(\sigma^\dagger = \sigma\)

erfüllen: \(\sigma_i\sigma_j = \delta_{ij} + i \varepsilon_{ijk}\sigma_k\)

und können als Basis für \(\mathfrak{su}(2)\) (anti-hermitesch, spurlos) verwendet werden: \(A_j = -i \frac{\sigma_j}{2}\) mit j=1,2,3