Physik - Kontinuumsmechanik (Teil1)

\(E = \frac{\sigma_{zz}}{\epsilon_{zz}} = \frac{\mu (2\mu + 3 \lambda)}{\mu + \lambda}\)

mit \(K = \lambda + \frac{2}{3} \mu\)

\(E(K,\mu) = \frac{9 K \mu}{3 K + \mu}\)

\(\nu = -\frac{\epsilon_{xx}}{\epsilon_{zz}} = \frac{\lambda}{2 (\mu + \lambda)}\)

mit \(K = \lambda + \frac{2}{3} \mu\)

\(\nu (K, \mu) = \frac{1}{2} \frac{3 K - 2 \mu}{3 K + \mu}\)

Young'sches Elastizitätsmodul \(E\)

Poisson'sches Querkontraktionsmodul \(\nu\)

\(K = \frac{E}{3(1-2\nu)}\)

Young'sches Elastizitätsmodul \(E\)

Poisson'sches Querkontraktionsmodul \(\nu\)

\(\mu = \frac{E}{2(1+\nu)}\)

\(\epsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)\)

(symmetrisch ⟶ EW reel, EV orth. ⟶ Hauptachsenform)

mit \(dx_i^\prime = dx_i + \epsilon^{(i)} dx_i\longrightarrow\)\(dV^\prime = dV (1 + \epsilon^{(1)} + \epsilon^{(2)} + \epsilon^{(3)} + \mathcal{O}(\epsilon_{ij}^2))\)

\(\Theta = \frac{\delta(d V)}{d V} = \nabla \cdot u = (\partial_k \,u_k) = \epsilon_{kk}\)  (Spur des Deformationstensors)

gleiche Normalkraft pro Oberflächenelement in alle Richtungen aka. hydrostatischer Druck / gleichmässiger äusserer Druck

\(\sigma_{ik} = -p\delta_{ik}\)

\(\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + F_i^V = 0\)

mit \(F_i^V\) einer Volumenkraft

(es folgt daraus die Feldgleichung: \(-F = \mu \nabla^2 u + (\mu + \lambda) \nabla ( \nabla \cdot u)\))

auf das Teilvolumen wirkende totale Kraft: \(F_{\Delta V,i} = \oint_{\partial \,\Delta V} \sigma_{ik} \, d f_k\) 
mit Gauss: \(\int_{\Delta V} dV \frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k} = \int_{\Delta V} dV \, F_i\) 

\(\rightarrow \partial_k \, \sigma_{ik} = F_i\)   (Kraftkomponente = Tensordivergenz)

\(\delta W = \int_V F_i \, \delta u_i \, dV = \int_V \partial_j \sigma_{ij} \, \delta u_i \, dV\) \(= \oint_{\partial V} \sigma_{ij} \, \delta u_i \, df_j - \int_V \sigma_{ij} \, \partial_j \, \delta u_i \, dV\)

mit \(\partial_j (\sigma_{ij} \, \delta u_i) = ( \partial_j \sigma_{ij}) \delta u_i + \sigma_{ij} \, \partial_j \delta u_i\)

falls Oberflächenterm = 0:

\(\delta W = -\frac{1}{2} \int_V \sigma_{ij} \left(\partial_j \, \delta u_i + \partial_i \, \delta u_j \right) dV\)\(= -\int_V \sigma_{ij} \, \delta \epsilon_{ij} \, dV\)

\(dU = T ds - \delta w = T ds + \sigma_{ij} \, d \epsilon_{ij}\)

\(\sigma_{ij} = \left. \frac{\partial U}{\partial \epsilon_{ij}} \right|_s\)

\(dF = -s \, dT + \sigma_{ij} \, d \epsilon_{ij}\)

\(\sigma_{ij} = \left. \frac{\partial F}{\partial \epsilon_{ij}} \right|_T\)

\(\sigma_{ij} = K \, \epsilon_{kk} \, \delta_{ij} + 2 \mu \epsilon_{ij}^{(0)}\)

oder mit einsetzen von \(\epsilon_{ij}^{(0)}\)

\(\sigma_{ij} = \lambda \, \epsilon_{kk} \, \delta_{ij} + 2 \mu \epsilon_{ij}\)

Freie Energiedichte:  \(F(T) = F_0 (T) + \frac{K}{2}(\epsilon_{kk})^2 + \mu \epsilon_{ij}^{(0)} \epsilon_{ij}^{(0)} - K \alpha (T - T_0) \epsilon_{kk}\)

\(\implies \quad\)\(\sigma_{ij} = \left. \frac{\partial F}{\partial \epsilon_{ij}} \right|_T= -K\alpha (T - T_0) \delta_{ij} + K \epsilon_{kk} \delta_{ij} + 2 \mu \epsilon_{ij}^{(0)}\)

\(\Theta = \frac{\Delta V}{V} = \epsilon_{kk} = \alpha \underbrace{(T-T_0)}_{\Delta T}\)

\(\implies \quad \frac{1}{V} \frac{\partial V}{\partial T} = \alpha\)

\(\kappa_T = -\frac{1}{V} \left. \frac{\partial V}{\partial p} \right|_T\)\(=\frac{1}{K} = -\frac{\epsilon_{kk}}{p}\)

Folgt aus (mit T const.):

\(-p \, \delta_{ij} = \sigma_{ij} =\left. \frac{\partial F}{\partial \epsilon_{ij}} \right|_T \)\(= -K \alpha (T-T_0) \delta_{ij} + K \epsilon_{kk} \delta_{ij} + 2 \mu \epsilon_{ij}^{(0)} \quad\)\(\implies \quad -p = K \underbrace{\epsilon_{kk}}_{\frac{dV}{V}}\)

\(\sigma_{ij} = K_S \, \epsilon_{kk} \, \delta_{ij} + 2\mu \, \epsilon_{ij}^{(0)}\)        \((\Delta T =0)\)

adiabatische Deformation ⟶ kein Wärmeaustausch ⟹ konst. Entropie \(s = -\partial_T F\)

\(\kappa_S = -\frac{1}{V} \left. \frac{\partial V}{\partial p} \right|_S\)    mit    \(\frac{1}{\kappa_S} = K_S = K \left( 1 - \frac{\alpha}{\alpha_S} \right) = (K + \frac{K^2 \alpha^2 T_0}{c_v})\)

mit \(c_v = T_0 \, \left. \partial_T s_0 \right|_{\epsilon_{ij}, T=T_0}\) spezifische Wärme,
\(\alpha_S = -\frac{c_v}{K \alpha T_0} = \frac{\Theta(T)}{T-T_0} = \frac{\epsilon_{kk}}{T-T_0}\) adiabatischer thermischer Ausdehnungskoefizient

\(T = T_0 \left( 1 - \frac{\alpha \Theta}{\kappa_T c_v} \right) = T_0 \left( 1 + \frac{\Theta}{\alpha_S T_0} \right)\)

(\(\kappa_T\)  isotherme Kompressibilität, \(\Theta = \epsilon_{kk}\) Volumendilatation, \(c_v\) spezifische Wärme, \(\alpha\) thermischer Ausdehnungskoeffizient, \(\alpha_S\) adiabatisch thermischer Ausdehungskoeffizient)

\(c_v = T_0 \left. \frac{\partial s_0}{\partial T} \right|_{\epsilon_{ij}, T= T_0}\)

\(c_p = T_0 \left. \frac{\partial s}{\partial T} \right|_{p}\)

\(\frac{c_p}{T_0} = \left. \frac{\partial s}{\partial T} \right|_p = \frac{\partial s_0}{\partial T} + K \alpha \frac{\partial \epsilon_{kk}}{\partial T} \)\(= \frac{c_v}{T_0} + K \alpha^2\)

⟹ \(c_p - c_v = K \alpha^2 T_0 > 0\)

Position eines Volumenelements \(r\) nach der Deformation ist \(r^\prime = r+u(r)\).

Der Abstand zweier nahe beisammen liegender Punkte \((r, r + dr)\) ändert:

\(dr \rightarrow dr^\prime = dr + du(r) = dr + (dr \cdot \nabla) u(r)\)

Einfache Translation \(u = \text{const}\) und starre Rotation (antisymmetrischer Teil \(D_{ij}\) von \(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\)) ergeben keine Deformation.

\(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = \underbrace{ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) }_{\epsilon_{ij}}+\underbrace{ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) }_{D_{ij}}\)

\(\epsilon_{ij} = \epsilon_{ij}^{(0)} + \frac{1}{3} \Theta \delta_{ij}\)

mit \(\epsilon_{ij}^{(0)}\) volumenerhaltend \(\left( \epsilon_{kk} = 0 \quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot u = 0\right)\),   \(\frac{\Theta}{3} \delta_{ij} = \frac{\epsilon_{kk}}{3} \delta_{ij}\) formerhaltend

\(-F = \mu \nabla^2 u + (\mu + \lambda) \nabla ( \nabla \cdot u)\)

\(\partial_t \rho + \vec \nabla \cdot ( \rho \vec v) = 0\)

( denn zu allen Zeiten ändert sich die Masse in einem Gebiet \(V\) gleich schnell wie Masse durch den Rand fliesst )

oder äquivalent:
\(\frac D {Dt} \rho + \rho(\vec\nabla \cdot \vec v ) = 0\)

\(\frac D {Dt} A(r,t) := \frac {\partial A}{\partial t} + v \cdot \vec \nabla A\)

Änderung der Funktion im mitbewegten Volumenelement

\(\boxed{\rho \frac {Dv_i}{Dt} - \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} = \rho F_i}\)

bzw. äquivalent:
\(\partial_t (\rho v_i) + \partial_j \Pi_{ij} = \rho F_i\) mit Impulsstromdichtetensor \(\Pi_{ij} = \rho v_i v_j - \sigma_{ij}\)
   
( \(\partial_t (\rho v_i) + \partial_j (\rho v_i v_j) = v_i\underbrace{ \left(\partial_t \rho + \partial_j (\rho v_j) \right)}_{\text{Kontinuität }\rightarrow 0} + \underbrace{ \rho \partial_t v_i + \rho v_j \partial_j v_i }_{\rho\ \frac{D}{D_t}\ v_i}\) )

Herleitung via
\(\int_V (\rho \vec v) dV + \oint_{\partial V} (\rho \vec v)\vec v \cdot d\vec f = \frac {d \vec p_{\text{ges}}} {dt} \)\(= \int_V \rho \vec F \, dV + \oint_{\partial V} \vec p(\vec n) \cdot d\vec f\) und \(p_i(\vec n) = \sigma_{ij} n_j \Rightarrow \oint_{\partial V} p_i(\vec n) d\vec f = \int_V \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j} dV\)

\(\frac{\partial}{\partial t} \frac{\rho v^2}{2} +\frac{\partial}{\partial x_j} \underbrace{ \left(\frac{\rho v^2}{2} v_j - \sigma_{ij} v_i \right)}_{\text{Energiestromdichte}} = - \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + v_i \rho F_i\)
(aus Impulsgl. Skalarprodukt mit v)

für inkompressibles Fluidum und ohne Vol.-Kräfte:
\(\rho \frac {D}{Dt} \frac{v^2}{2} = \frac{\partial}{\partial x_j} v_i \sigma_{ij} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\)