Analysis - KE 6 (Kurven)
Kurs 01144 - Fernuniversität Hagen
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Wie ist eine parametrisierte Kurve (/parametrisierter Weg/parametrisierter Bogen) definiert?
Eine parametrisierte Kurve in Rn ist eine stetige Funktion phi: I → Rn, wobei I ein nichtleeres Intervall von R ist. Das Bild phi(I) heißt die Spur von phi und wird mit Spur(phi) bezeichnet.
Wie ist der Begriff der Äquivalenz zweier paramtetrisierter Kurven definiert?
Eine parametrisierte Kurve phi: I → Rn in Rn heißt äquivalent zu einer parametrisierten Kurve psi: J → Rn in Rn, falls es eine monoton wachsende, stetige Funktion f: I → R mit f(I) = J gibt, so dass phi = psi º f.
Welche Aussagen lassen sich zu äquivalenten, parametrisierten Kurven treffen?
Sind phi: I → Rn und psi: J → Rn mit I,J zwei nichtleeren Intervallen aus R äquivalente parametrisierte Kurven in Rn, so gelten:
- [phi] = [psi],
- Spur(phi) = Spur (psi),
- zu t1, t2 aus I mit t1 < t2 gibt es ein tau1, tau2 aus J mit tau1 < tau2, so dass phi(t1) = psi(tau1) und phi(t2) = psi(tau2),
- enthält I seinen linken (bzw. rechten) Endpunkt t*, so enthält auch J seinen linken (bzw. rechten) Endpunkt tau* und es gilt: phi(t*) = psi(tau*).
Wie ist eine Kurve definiert?
Eine Kurve W in Rn ist eine Äquivalenzklasse [phi] parametrisierter Kurven in Rn.
Jede parametrisierte Kurve in W heißt eine Parameterdarstellung von W. Die Spur einer Parameterdarstellung von W (, die identisch zu den Spuren aller Parameterdarstellungen von W ist, ) heißt die Spur von W und wird mit |W| bezeichnet.
Enthält das Definitionsintervall einer Parameterdarstellung von W seinen linken (/rechten) Endpunkt, so heißt der entsprechende Punkt der Spur Anfangspunkt (/Endpunkt) von W.
Wie ist eine zu einer Kurve W in Rn entgegengesetzte Kurve definiert.
Sei phi: I → Rn eine Paramterdarstellung von W, dann ist -I := { t aus R| -t ist aus I} ein Intervall und phi-: -I → R definiert durch t → phi-(t) := phi(-t) eine parametrisierte Kurve.
Damit wird -W := [phi-], als die zu W entgegengesetzte Kurve definiert und es ist Spur(W) = Spur(-W) aber mit entgegengesetztem Durchlaufungssinn.
Welches sind die Voraussetzungen für das aneinanderfügen von Kurven?
Seien W1, W2 Kurven in Rn. W1 besitze einen Endpunkt b und W2 einen Anfangspunkt a = b.
Wie ist das aneinanderfügen von Kurven definiert.
Unter den gegebenen Voraussetzungen seien phi1: I1 → Rn und phi2: I2 → Rn Parameterdarstellungen von W1 bzw. W2, ist b1 der rechte Endpunkt von I1 und a2 der linke Endpunkt von I2, so dass gilt: phi1(b1) = b = a = phi2 (a2), so werde psi: I → Rn wie folgt definiert und W1 + W2 := [psi] gesetzt.
Wie ist eine einfach gerichtete Strecke definiert?
S(a, b) = [phi] mit phi: [0, 1] → R definiert durch t → phi(t) = a + t (b - a) mit a, b aus R.
Welches sind die Voraussetzungen für die Definition eines einbeschriebenen Polygonzugs?
Sei W eine Kurve in Rn und phi: I → Rn eine Parameterdarstellung von W mit I ist eine Teilmenge von R, a0, …, ar mit r aus N seien aufeinanderfolgende Kurvenpunkte, also a0 = phi(t0), a1 = phi(t1), …, ar = phi(tr), mit t0 < t1 < … < tr.
Wie sind ein einbeschriebener Polygonzug und seine Länge definiert?
Unter den genannten Voraussetzungen sind:
P := P(a0, a1, …, ar) := S(a0, a1) + S(a1, a2) + … + S(ar-1, ar)
und
L(P) := L(P(a0, a1, …, ar)) := L(S(a0, a1) + S(a1, a2) + … + S(ar-1, ar)) := || a1 - a0 ||2 + || a2 - a1 ||2 + … + || ar - ar-1 ||2.
Wie ist die Länge einer Kurve definiert?
Sei W eine Kurve in Rn, I ein nichtleeres Intervall in R und phi: I → Rn eine Parameterdarstellung von W.
Dann heißt L(W) die Länge von W und enthält I mehr als einen Punkt ist:
L(W) := sup {L(P) | P ist einbeschriebener Polygonzug von W }.
Ist I einpunktig, so gilt:
L(W) := 0.
W heißt rektifizierbar, falls L(W) < unendlich.
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve?
Sei W eine Kurve in Rn, die einen Anfangs- und Endpunkt enthält, I := [a, b] ein Teilintervall von R mit a < b und phi: I → Rn eine Parameterdarstellung von W, die auf ]a, b[ eine stetige Ableitung besitzt.
Wie lautet der Satz über die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve?
W ist genau dann rektifizierbar, falls das untenstehende Integral existiert, und dann gilt:
Welches sind die Voraussetzungen für die Definition und den Satz über die Bogenlänge?
Seien W eine rektifizierbare Kurve in Rn, die ihren Anfangs- und Endpunkt enthält, I := [a, b] ein nichtleeres Intervall in R mit a < b, phi: I → Rn auf ]a, b[ stetig differenzierbar eine Parameterdarstellung von W und Wphi(t) := [phi|[a, t]] für t aus I.
Wie lautet die Definition der Bogenlänge und der Satz über die Bogenlänge?
Es heißt:
sphi: I → [0, L(W)], t → sphi(t) := L(Wphi(t))
die Bogenlänge von W bezüglich phi.
- sphi ist stetig und auf ]a, b[ differenzierbar wie angegeben.
- Ist die Ableitung von phi(t) ungleich 0 auf ]a, b[, so existiert die Umkehrfunktion von sphi-1: [0, L(W)] → [a, b] und Phi := phi verknüpft mit sphi-1 ist eine Parameterdarstellung von W.
- Die Paramterdarstellung Phi (sofern vorhanden) hängt nicht von phi ab, also identisch für alle parametrisierten Kurven in der Äquivalenzklasse von phi.
- Phi (sofern vorhanden) heißt die ausgezeichnete Parameterdarstellung von W und ist auf ]0, L(W)[ stetig differenzierbar wie angegeben.
Welches sind die Voraussetzungen für die Definition einer (stückweise) glatten Kurve?
Seien W eine Kurve in Rn, die ihren Anfangs- und Endpunkt enthält, I := [a, b] ein nichtleeres Intervall in R mit a < b und phi: I → Rn, t → phi(t) eine Parameterdarstellung, die auf ]a, b[ stetig differenzierbar ist und deren Ableitung ungleich 0 ist, für alle t aus ]a, b[ und es existiere das angegebene Integral.
Wie lautet die Definition einer (stückweise) glatten Kurve?
Unter den gegebenen Voraussetzungen ist W eine glatte Kurve und phi eine glatte Parameterdarstellung. W heißt stückweise glatt, falls es für ein n aus N glatte Kurven W1, …, Wn gibt, so dass W = W1 + … + Wn.
Welches sind die Voraussetzungen für die Definition des Kurvenintegrals für skalare Funktionen?
Seien W eine glatte Kurve in Rn, phi: [a, b] → Rn eine glatte Parameterdarstellung von W, M eine Teilmenge von Rn, |W| eine Teilmenge von M und f: M → R eine stetige Funktion.
Wie lautet die Definition des Kurvenintegrals für skalare Funktionen?
Unter den geforderten Voraussetzungen heißt das angegebene Integral das Kurvenintegral von f längs W.
Auch für W = W1 + … + Wk mit glatten Kurven W1, …, Wk ist das Kurvenintegral wie angegeben definiert.
Wie lautet der Hilfssatz über stückweise glatte Parameterdarstellungen?
Sei W = W1 + … + Wk eine stückweise glatte Kurve in Rn. Dann gibt es eine Parameterdarstellung phi: [a, b] → Rn und eine Partition (t0, …, tk) von [a, b], so dass für 1 <= s <= k phi|[ts-1, ts] eine glatte Parameterdarstellung von Ws ist. Eine solche Parameterdarstellung phi heißt stückweise glatt.
Wie lautet die Definition des Kurvenintegrals für Vektorfunktionen?
Sei W eine glatte Kurve in Rn, phi: [a, b] → Rn eine glatte Parameterdarstellung von W, M eine Teilmenge von Rn und |W| eine Teilmenge von M, f: M → Rn eine stetige Funktion, so heißt das angegebene Integral das Kurvenintegral von f längs W. Es wird auch wie angegeben bezeichnet, wenn x1, …, xn die Koordinaten von x und f1, …, fn die Koordinatenfunktionen von f sind.
Auch für stückweise glatte Kurven in Rn ist das Kurvenintegral wie angegeben defniert. Die anderen Bezeichnung sind ebenfalls üblich.
Wie lauten die Rechenregeln für Kurvenintegrale von Vektorfunktionen?
Es gelten:
Wie lauten die Rechenregeln für Kurvenintegrale von Vektorfunktionen?
Es gelten:
Welches sind die Voraussetzungen für die Definition der Stammfunktion eines Kurvenintegrals?
Seien G ein Gebiet in Rn, also eine nichtleere, zusammenhängenede, offene Teilmenge von Rn und f: G → Rn, F: G → R Funktionen.
Wie lautet die Definition der Stammfunktion eines Kurvenintegrals?
Falls F differenzierbar ist mit
tF'(x) = f(x) für alle x aus G,
so heißt F eine Stammfunktion von f.
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über die Integrabilitätsbedingungen?
Seien G ein Gebiet in Rn und f: G → Rn eine stetig differenzierbare Funktion.
Wie lautet der Satz über die Integrabilitätsbedingungen?
Falls f unter den genannten Voraussetzungen eine Stammfunktion besitzt, so gilt:
Difj = Djfi für alle i, j aus {1, …, n}.
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über die Wegeunabhängigkeit von Kurvenintegralen?
Seien G ein Gebiet in Rn, f: G → Rn eine stetige Funktion, W eine stückweise glatte Kurve in Rn mit Anfangspunkt a und Endpunkt b, so dass a, b aus G, also |W| eine Teilmenge von G.
Wie lautet der Satz über die Wegeunabhängigkeit von Kurvenintegralen?
Falls F: G → R unter den genannten Voraussetzungen eine Stammfunktion von f ist gilt:
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über Stammfunktionen von Kurvenintegralen?
Seien G ein Gebiet in Rn und f: G → Rn eine stetig differenzierbare Funktion, die die Integrabilitätsbedingungen erfüllt.
Wie lautet der Satz über Stammfunktionen von Kurvenintegralen?
Falls G unter den genannten Voraussetzungen sternförmig ist, also für mindestens ein a aus G die Spur der gerichteten Strecke S(a, u) für jedes u aus G ganz in G enthalten ist, so besitzt f eine Stammfunktion F, zum Beispiel wie angegeben, wobei Wau irgendeine stückweise glatte Kurve mit Anfangspunkt a und Endpunkt u ist, die ganz in G verläuft.
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Flashcards
Wie ist eine parametrisierte Kurve (/parametrisierter Weg/parametrisierter Bogen) definiert?
Eine parametrisierte Kurve in Rn ist eine stetige Funktion phi: I → Rn, wobei I ein nichtleeres Intervall von R ist. Das Bild phi(I) heißt die Spur von phi und wird mit Spur(phi) bezeichnet.
Wie ist der Begriff der Äquivalenz zweier paramtetrisierter Kurven definiert?
Eine parametrisierte Kurve phi: I → Rn in Rn heißt äquivalent zu einer parametrisierten Kurve psi: J → Rn in Rn, falls es eine monoton wachsende, stetige Funktion f: I → R mit f(I) = J gibt, so dass phi = psi º f.
Welche Aussagen lassen sich zu äquivalenten, parametrisierten Kurven treffen?
Sind phi: I → Rn und psi: J → Rn mit I,J zwei nichtleeren Intervallen aus R äquivalente parametrisierte Kurven in Rn, so gelten:
- [phi] = [psi],
- Spur(phi) = Spur (psi),
- zu t1, t2 aus I mit t1 < t2 gibt es ein tau1, tau2 aus J mit tau1 < tau2, so dass phi(t1) = psi(tau1) und phi(t2) = psi(tau2),
- enthält I seinen linken (bzw. rechten) Endpunkt t*, so enthält auch J seinen linken (bzw. rechten) Endpunkt tau* und es gilt: phi(t*) = psi(tau*).
Wie ist eine Kurve definiert?
Eine Kurve W in Rn ist eine Äquivalenzklasse [phi] parametrisierter Kurven in Rn.
Jede parametrisierte Kurve in W heißt eine Parameterdarstellung von W. Die Spur einer Parameterdarstellung von W (, die identisch zu den Spuren aller Parameterdarstellungen von W ist, ) heißt die Spur von W und wird mit |W| bezeichnet.
Enthält das Definitionsintervall einer Parameterdarstellung von W seinen linken (/rechten) Endpunkt, so heißt der entsprechende Punkt der Spur Anfangspunkt (/Endpunkt) von W.
Wie ist eine zu einer Kurve W in Rn entgegengesetzte Kurve definiert.
Sei phi: I → Rn eine Paramterdarstellung von W, dann ist -I := { t aus R| -t ist aus I} ein Intervall und phi-: -I → R definiert durch t → phi-(t) := phi(-t) eine parametrisierte Kurve.
Damit wird -W := [phi-], als die zu W entgegengesetzte Kurve definiert und es ist Spur(W) = Spur(-W) aber mit entgegengesetztem Durchlaufungssinn.
Welches sind die Voraussetzungen für das aneinanderfügen von Kurven?
Seien W1, W2 Kurven in Rn. W1 besitze einen Endpunkt b und W2 einen Anfangspunkt a = b.
Wie ist das aneinanderfügen von Kurven definiert.
Unter den gegebenen Voraussetzungen seien phi1: I1 → Rn und phi2: I2 → Rn Parameterdarstellungen von W1 bzw. W2, ist b1 der rechte Endpunkt von I1 und a2 der linke Endpunkt von I2, so dass gilt: phi1(b1) = b = a = phi2 (a2), so werde psi: I → Rn wie folgt definiert und W1 + W2 := [psi] gesetzt.
Wie ist eine einfach gerichtete Strecke definiert?
S(a, b) = [phi] mit phi: [0, 1] → R definiert durch t → phi(t) = a + t (b - a) mit a, b aus R.
Welches sind die Voraussetzungen für die Definition eines einbeschriebenen Polygonzugs?
Sei W eine Kurve in Rn und phi: I → Rn eine Parameterdarstellung von W mit I ist eine Teilmenge von R, a0, …, ar mit r aus N seien aufeinanderfolgende Kurvenpunkte, also a0 = phi(t0), a1 = phi(t1), …, ar = phi(tr), mit t0 < t1 < … < tr.
Wie sind ein einbeschriebener Polygonzug und seine Länge definiert?
Unter den genannten Voraussetzungen sind:
P := P(a0, a1, …, ar) := S(a0, a1) + S(a1, a2) + … + S(ar-1, ar)
und
L(P) := L(P(a0, a1, …, ar)) := L(S(a0, a1) + S(a1, a2) + … + S(ar-1, ar)) := || a1 - a0 ||2 + || a2 - a1 ||2 + … + || ar - ar-1 ||2.
Wie ist die Länge einer Kurve definiert?
Sei W eine Kurve in Rn, I ein nichtleeres Intervall in R und phi: I → Rn eine Parameterdarstellung von W.
Dann heißt L(W) die Länge von W und enthält I mehr als einen Punkt ist:
L(W) := sup {L(P) | P ist einbeschriebener Polygonzug von W }.
Ist I einpunktig, so gilt:
L(W) := 0.
W heißt rektifizierbar, falls L(W) < unendlich.
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve?
Sei W eine Kurve in Rn, die einen Anfangs- und Endpunkt enthält, I := [a, b] ein Teilintervall von R mit a < b und phi: I → Rn eine Parameterdarstellung von W, die auf ]a, b[ eine stetige Ableitung besitzt.
Wie lautet der Satz über die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve?
W ist genau dann rektifizierbar, falls das untenstehende Integral existiert, und dann gilt:
Welches sind die Voraussetzungen für die Definition und den Satz über die Bogenlänge?
Seien W eine rektifizierbare Kurve in Rn, die ihren Anfangs- und Endpunkt enthält, I := [a, b] ein nichtleeres Intervall in R mit a < b, phi: I → Rn auf ]a, b[ stetig differenzierbar eine Parameterdarstellung von W und Wphi(t) := [phi|[a, t]] für t aus I.
Wie lautet die Definition der Bogenlänge und der Satz über die Bogenlänge?
Es heißt:
sphi: I → [0, L(W)], t → sphi(t) := L(Wphi(t))
die Bogenlänge von W bezüglich phi.
- sphi ist stetig und auf ]a, b[ differenzierbar wie angegeben.
- Ist die Ableitung von phi(t) ungleich 0 auf ]a, b[, so existiert die Umkehrfunktion von sphi-1: [0, L(W)] → [a, b] und Phi := phi verknüpft mit sphi-1 ist eine Parameterdarstellung von W.
- Die Paramterdarstellung Phi (sofern vorhanden) hängt nicht von phi ab, also identisch für alle parametrisierten Kurven in der Äquivalenzklasse von phi.
- Phi (sofern vorhanden) heißt die ausgezeichnete Parameterdarstellung von W und ist auf ]0, L(W)[ stetig differenzierbar wie angegeben.
Welches sind die Voraussetzungen für die Definition einer (stückweise) glatten Kurve?
Seien W eine Kurve in Rn, die ihren Anfangs- und Endpunkt enthält, I := [a, b] ein nichtleeres Intervall in R mit a < b und phi: I → Rn, t → phi(t) eine Parameterdarstellung, die auf ]a, b[ stetig differenzierbar ist und deren Ableitung ungleich 0 ist, für alle t aus ]a, b[ und es existiere das angegebene Integral.
Wie lautet die Definition einer (stückweise) glatten Kurve?
Unter den gegebenen Voraussetzungen ist W eine glatte Kurve und phi eine glatte Parameterdarstellung. W heißt stückweise glatt, falls es für ein n aus N glatte Kurven W1, …, Wn gibt, so dass W = W1 + … + Wn.
Welches sind die Voraussetzungen für die Definition des Kurvenintegrals für skalare Funktionen?
Seien W eine glatte Kurve in Rn, phi: [a, b] → Rn eine glatte Parameterdarstellung von W, M eine Teilmenge von Rn, |W| eine Teilmenge von M und f: M → R eine stetige Funktion.
Wie lautet die Definition des Kurvenintegrals für skalare Funktionen?
Unter den geforderten Voraussetzungen heißt das angegebene Integral das Kurvenintegral von f längs W.
Auch für W = W1 + … + Wk mit glatten Kurven W1, …, Wk ist das Kurvenintegral wie angegeben definiert.
Wie lautet der Hilfssatz über stückweise glatte Parameterdarstellungen?
Sei W = W1 + … + Wk eine stückweise glatte Kurve in Rn. Dann gibt es eine Parameterdarstellung phi: [a, b] → Rn und eine Partition (t0, …, tk) von [a, b], so dass für 1 <= s <= k phi|[ts-1, ts] eine glatte Parameterdarstellung von Ws ist. Eine solche Parameterdarstellung phi heißt stückweise glatt.
Wie lautet die Definition des Kurvenintegrals für Vektorfunktionen?
Sei W eine glatte Kurve in Rn, phi: [a, b] → Rn eine glatte Parameterdarstellung von W, M eine Teilmenge von Rn und |W| eine Teilmenge von M, f: M → Rn eine stetige Funktion, so heißt das angegebene Integral das Kurvenintegral von f längs W. Es wird auch wie angegeben bezeichnet, wenn x1, …, xn die Koordinaten von x und f1, …, fn die Koordinatenfunktionen von f sind.
Auch für stückweise glatte Kurven in Rn ist das Kurvenintegral wie angegeben defniert. Die anderen Bezeichnung sind ebenfalls üblich.
Wie lauten die Rechenregeln für Kurvenintegrale von Vektorfunktionen?
Es gelten:
Wie lauten die Rechenregeln für Kurvenintegrale von Vektorfunktionen?
Es gelten:
Welches sind die Voraussetzungen für die Definition der Stammfunktion eines Kurvenintegrals?
Seien G ein Gebiet in Rn, also eine nichtleere, zusammenhängenede, offene Teilmenge von Rn und f: G → Rn, F: G → R Funktionen.
Wie lautet die Definition der Stammfunktion eines Kurvenintegrals?
Falls F differenzierbar ist mit
tF'(x) = f(x) für alle x aus G,
so heißt F eine Stammfunktion von f.
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über die Integrabilitätsbedingungen?
Seien G ein Gebiet in Rn und f: G → Rn eine stetig differenzierbare Funktion.
Wie lautet der Satz über die Integrabilitätsbedingungen?
Falls f unter den genannten Voraussetzungen eine Stammfunktion besitzt, so gilt:
Difj = Djfi für alle i, j aus {1, …, n}.
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über die Wegeunabhängigkeit von Kurvenintegralen?
Seien G ein Gebiet in Rn, f: G → Rn eine stetige Funktion, W eine stückweise glatte Kurve in Rn mit Anfangspunkt a und Endpunkt b, so dass a, b aus G, also |W| eine Teilmenge von G.
Wie lautet der Satz über die Wegeunabhängigkeit von Kurvenintegralen?
Falls F: G → R unter den genannten Voraussetzungen eine Stammfunktion von f ist gilt:
Welches sind die Voraussetzungen für den Satz über Stammfunktionen von Kurvenintegralen?
Seien G ein Gebiet in Rn und f: G → Rn eine stetig differenzierbare Funktion, die die Integrabilitätsbedingungen erfüllt.
Wie lautet der Satz über Stammfunktionen von Kurvenintegralen?
Falls G unter den genannten Voraussetzungen sternförmig ist, also für mindestens ein a aus G die Spur der gerichteten Strecke S(a, u) für jedes u aus G ganz in G enthalten ist, so besitzt f eine Stammfunktion F, zum Beispiel wie angegeben, wobei Wau irgendeine stückweise glatte Kurve mit Anfangspunkt a und Endpunkt u ist, die ganz in G verläuft.
