Analysis - KE 4 (differenzierbare Funktionen Teil 2)

• lim_x→a R_k(x) * (x - a)^-k = 0 für alle k > 0 aus N₀
• lim_x→a R_k(x) * (x - a)^-(k+1) = f^(k+1)(a) * (k+1)!^-1 falls  f^(k+1) existiert
• Ist f sogar k+1-mal differenzierbar, so gibt es zu jedem x aus I \ {a} mindestens ein x* aus ] min{x, a}, max{x, a} [ mit:

R_k(x) = f^(k+1)(x*) * (k+1)!^-1 * (x - a)^k+1 (Restdarstellung von Lagrange)

(fg)^(k) = (^k₀)*f⁽⁰⁾*g^(k-0) + (^k₁)*f⁽¹⁾*g^(k-1) + (^k₂)*f⁽²⁾*g^(k-2)  + … + (^k_k)*f^(k)*g^(k-k)

Sei M eine Teilmenge des Rⁿ, a ein Element von M, f: M → Rⁿeine stetig differenzierbare Abbildung und Rang f⁽¹⁾(a) = n.

Sei M eine Teilmenge von Rⁿ, a ein innerer Punkt von M und f: M → R^m.

(f/g)^(k) = (f^(k) - [ (^k₀) * (f/g)⁽⁰⁾ * g^(k-0) + (^k₁) * (f/g)⁽¹⁾ * g^(k-1) + … + (^k_k-1) * (f/g)^(k-1) * g^(k-(k-1))) / g

Falls für jede offene Menge Q, die Teilmenge von M ist, gilt, dass f(Q) offen ist, heißt f eine "offene Abbildung".

Sei I ein Intervall, a aus I, k aus N₀, f: I → R k-mal differenzierbar, T_k das k-te Taylorpolynom und R_k: I → R die k-te Restfunktion definiert durch:

f(x) =  T_k(x) + R_k(x) für alle x aus I.

Sei (X,|| ||) ein Banachraum, M eine nichtleere, abgeschlossene Teilmenge von X und F: M → Rⁿ eine kontrahierende Selbstabbildung, das heißt, F(M) ist eine Teilmenge von M und es gibt eine reelle Konstante q für die gilt: 0<=q<1 derart, dass:

|| F(x) - F(y) || <= q * || x - y || für alle x, y aus M.

Es gibt eine (m,n)-Matrix A, so dass:

lim_x→a ( f(x) - [f(a) + A * (x - a)] ) * || (x - a) || ^-1 = 0

Sei M eine nichtleere Teilmenge des R^m+n, F: M → Rⁿ stetig differenzierbar, z = ^t(x, y) die Elemente von R^m+n, wobei x aus R^m und y aus Rⁿ ist. Weiterhin sei F_x⁽¹⁾ die Matrix, die partiellen Ableitungen nach x enthält und F_y⁽¹⁾ die Matrix, die die partiellen Ableitungen nach y enthält. Sei nun c = ^t(a,b) ein Element aus R^m+n, so dass F(c) = 0 und Rang F_y⁽¹⁾(b) = n.

Sei M eine nichtleere Teilmenge des Rⁿ und f: M → Rⁿ stetig differenzierbar auf M mit Rang f⁽¹⁾(x) = n für alle x aus M.

Es gibt eine offene Umgebung U von a, die Teilmenge von M ist, und eine offene Umgebung V von b := f(a), so dass:

• f_|U injektiv ist und f(U)=V
• Ist g: V→U die Umkehrabbildung von f_|U, so ist g stetig differenzierbar auf V und es gilt für alle y aus V:

g⁽¹⁾(y) = f⁽¹⁾(x)^-1

wenn x := g(y).

Es gibt genau ein x* aus X derart, dass:

F(x*) = x*.

Dieses x* ist der Grenzwert jeder Iterationsfolge (x_k), definiert durch:

x_k = F(x_k-1) für alle k aus den natürlichen Zahlen,

mit einem beliebigen Startpunkt x₀ in M.

Die Potenzreihenfunktion ist beliebig oft differenzierbar mit der Ableitung k-ter Ordnung:

f^(k)(x) = k! * ((^k_k) * a_k * (x - a)^k-k + (^k+1_k) * a_k+1 * (x - a)^k+1-k + (^k+2_k) * a_k+2 * (x - a)^k+2-k + …).

Insbesondere gilt:

f^(k)(a) = k! * a_k.

Sei R_nn die Menge der reellen (n,n)-Matrizen und A_nn die Menge invertierbaren Matrizen aus R_nn. Dann gelten:

1. Seien A aus A_nn , B aus R_nn und gelte: || A - B || < (|| A^-1 ||)^-1, dann folgt: B  ist aus A_nn und es gilt: || B^-1 || < || A^-1 || * (1 - || A^-1 || * || A - B ||)^-1
2. Die Abbildung inv: A_nn → R_nn definiert durch inv(A) := A^-1 für alle A aus A_nn ist stetig.

Die Ableitung k-ter Ordnung f^(k) von f für k aus N₀ wird rekursiv definiert durch:

• f⁽⁰⁾(x) := f(x)
• Ist f^(k): M → R differenzierbar, so ist f^(k+1)(x) := ( f^(k)(x) )⁽¹⁾
• Existiert die Ableitung k-ter Ordnung von f, so heißt f k-mal differenzierbar. Existiert f^(k) für jedes k aus N, so heißt f beliebig oft differenzierbar.

T_k: R → R, x → T_k(x) = f⁽⁰⁾(a) * 0!^-1 * (x - a)⁰ + f⁽¹⁾(a) * 1!^-1 * (x - a)¹ + … +  f^(k)(a) * k!^-1 * (x - a)^k ist eine Polynomfunktion vom Grad <= k und es gilt:

T_k⁽ⁿ⁾(a) = f⁽ⁿ⁾(a) für n <= k und 

T_k⁽ⁿ⁾(x) =0 für n > k

Sei M eine Teilmenge von R, a aus M, k ein Element von N₀ und f: M → R k-mal differenzierbar in a.

Sei M eine Teilmenge des Rⁿ, a ein innerer Punkt von M, f: M → R und k aus N.

• Seien für k = 1 die partiellen Ableitungen der Ordnung 1 von f im Punkt a wie gewohnt definiert mit D₁f(a), …, D_nf(a).
• Die partielle Ableitung D_n1…nkf(a) mit 1 <= nj <= n, 1<= j <= k sei bereits definiert und es existiere eine Umgebung U von a so das D_n1…nkf(x) für alle x aus der Schnittmenge von U und M existiert und D_n1…nkf: Schnittmenge von U und M → R in a partiell differenzierbar nach der n_k+1-ten Koordinate ist, dann wird D_n1…nk+1f(a) := D_nk+1 (D_n1…nkf)(a) definiert.

Sei M eine Teilmenge von Rⁿ, a eine innerer Punkt von M, f: M → R, k > 1 aus N und U eine Umgebung von a, die ganz in M liegt, auf der f (k-1)-mal partiell differenzierbar.

• Ist k = 2, exisitert für gegebene n1, n2 mit 1 <= n1, n2 <= n die partielle Ableitung D_n1n2f(x) für alle x aus U und ist die Funktion D_n1n2f: U → R stetig in a, so existiert D_n2n1f(a) und es gilt: 

D_n2n1f(a) = D_n1n2f(a)

• Ist k >= 2, sind alle partiellen Ableitungen der Ordnung k-1 auf U differenzierbar und sind alle partiellen Ableitungen der Ordnung k in a stetig, so kommt es bis zur Ordnung k nicht auf die Reihenfolge der Koordinaten bei der partiellen Differenziationen an.

Sei M eine Teilmenge von Rⁿ, a ein innerer Punkt von M, k aus N₀ und f: M → R k-mal partiell differenzierbar in a.

Es ist T_k: Rⁿ → R definiert durch T_k(x) := 0!^-1 * t₀(x - a) + 1!^-1 * t₁(x - a) + … + k!^-1 * t_k(x - a) mit

• t_j(u) = f(a) für j = 0 und
• t_j(u) = D₁…_njf(a) * u₁…u_nj + D₂₁…_njf(a) * u₂u₁…u_nj + … + D_nj,nj-1…₁f(a) * u_nj…u₁ für alle 1 <= j <= k.

Sei M eine Teilmenge von Rⁿ, a und x aus M, so dass die abgeschlossene Verbindungsstrecke zwischen ihnen [a, x] := { a + t * (x - a) | 0 <= t <= 1 } im Innern von M liegt, k aus N und f: M → R auf [a, x] k-mal differenzierbar ist.

Es gibt ein s aus ]0, 1[, so dass mit z := a + s * (x - a) die Taylorsche Formel gilt:

f(x) - T_k-1 = k!^-1 * (D_1…nkf(z) * (x₁ - a₁) * … * (x_nk - a_nk) + D_21…nkf(z) * (x₂ - a₂) * (x₁ - a₁) * … * (x_nk - a_nk) + D_nk,nk-1…1f(z) * (x_nk - a_nk) * (x_nk-1 - a_nk-1) * … * (x₁ - a₁).

Dabei ist T_k-1  das (k-1)-te Taylorpolynom im Entwicklungspunkt a.