Analysis I für TPH

Ist \(f(x)\) auf I stetig, dann nennt man jede auf I stetig differenzierbare Funktion \(G(x)\) mit \(G'(x)=f(x)\) [...] von \(f(x)\)

Die Gesamtheit aller STammfunktionen von \(f(x)\) nennt man das [...] von \(f(x)\) und man schreibt:

\(\displaystyle \int f(x)dx\)

Die Funktion\(f: [a, \infty) \to \mathbb R\) heißt [...] auf \([a, \infty)\), wenn \(\displaystyle \int_a^\xi f(x)dx\) für alle \(\xi \in [a, \infty)\) existiert

Eine Funktion f sei lokal integrierbar auf \([a,\infty)\). Falls \(\displaystyle \lim_{\xi \to \infty} \int_a^\xi f(x) dx\) existiert, dann heißt f auf \([a,\infty)\) [...]

Gegeben seien zwei Funktionen \(f,g: [a, \infty) \to \mathbb R\), die lokal integrierbar sind.

Was muss für f und g gelten, dass f absolut konvergiert?
Wann divergiert f?

Wann existiert \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x)dx\)?

Die Funktion\(f: (a, b] \to \mathbb R\) heißt [...] auf \((a, b]\), wenn \(\displaystyle \int_\xi^b f(x)dx\) für alle \(\xi \in(a, b]\) existiert

Eine Funktion f sei lokal integrierbar auf \((a,b]\) und unbeschränkt für \(\xi \to a+\). Falls \(\displaystyle \lim_{\xi \to a+} \int_\xi^b f(x) dx\) existiert, dann heißt f auf \((a,b]\) [...]

Integralkriterium für die absolute Konvergenz von Reihen

Gegeben sei eine Funktionenfolge \(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)

Existiert \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(\xi)\) für \(\xi \in I\), dann heißt \(\{f_n\}\) an der Stelle \(\xi\)

Gegeben sei eine Funktionenfolge \(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)

Konvergiert \(\{f_n\}\) an x für alle \(x \in I\), so heißt \(\{f_n\}\) [...] in \(I\).

Dann existiert eine Grenzfunktion \(f: I \to \mathbb R\) mit

\(f(x):=\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x)\), \(x\in I\)

Gegeben sei eine Funktionenfolge \(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)

Die Funktionenfolge \(\{f_n\}\) heißt [...] auf \(I\) gegen die Funktion \(f\), wenn gilt:

\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in I} | f_n(x)-f(x)|=0\), oder anders ausgedrückt:

Zu jedem \(\varepsilon \gt 0\) existiert ein Index \(N(\varepsilon) \gt0\), so dass für alle \(x \in I\) und für alle \(n \in \mathbb N\) mit \(n \ge N(\varepsilon)\)gilt:

\(|f_n(x)-f(x)|\lt \varepsilon\)

Majorantenkriterium für gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe

Die Funktionen \(f_n(x), \quad n=1,2, \dots\) seien stetig auf \(I\), und die Funktionenfolge \(\{f_n(x)\}\) sei auf \(I\) gleichmäßig konvergent. Dann ist die Grenzfunktion

\(f(x)=\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x)\) [...] auf \(I\)

Die Funktionen \(f_n(x), \quad n=1,2, \dots\) seien stetig auf \(I\), und die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f_n(x)\) sei auf \(I\) gleichmäßig konvergent. Dann ist die Summenfunktion

\(f(x)=\displaystyle \sum_{n =1}^\infty f_n(x)\) [...] auf \(I\)

Unter welchen Voraussetzungen ist es zulässig, eine Funktionenreihe gliedweise zu integrieren?

\(\displaystyle \int_\alpha^\beta \sum_{n=1}^\infty f_n(x)dx = \) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \int_\alpha^\beta f_n(x)dx \)

Wann ist es zulässig, eine Funktionenreihe gliedweise zu differenzieren?

Sei \(\big\{a_n\big\}_{n=0}^\infty\) eine komplexe Zahlenfolge und \(z_0 \in \mathbb C\). Dann heißt

\(p(z)=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n, \quad\) \(z \in \mathbb C\)

komplexe [P.. m.. E..] \(z_0\)

Wie kann der Konvergenzradius \(R\) einer Potenzreihe berechnet werden?

Satz von Taylor mit Integralrestglied

Zu jedem b einer Abbildung A-->B wird höchstens ein a aus A zugeordnet

Zwischen zwei Mengen existiert eine bijektive Abbildung. Die Mengen A und B heißen gleichmächtig oder

Eine Abbildung, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist, nennt man

Eine Menge, die äquivalent zu N ist, heißt

Die Abbildung \(f °g\) heißt ... von f und g

Die Abbildung f^-1 heißt Umkehrabbildung oder

Bei einer Abbildung f: A --> B ist die Menge A der

Bei einer Abbildung f: A --> B ist die Menge B der Wertebereich oder

Bei einer Abbildung f: A --> B nennt man die Elemente des Definitionsbereiches

Seien A und B zwei Mengen. \(A \times B\) nennt man Produktmenge oder

Seien A und B zwei Mengen. A \ B nennt man

geometrische Summe

Dreiecksungleichung

inverse Dreiecksungleichung

Sei \(A \subseteq \mathbb{R}\) . Wie nennt man die kleinste obere Schranke von A

Sei \(A \subseteq \mathbb{R}\) . Wie nennt man die größte untere Schranke von A?

 \(A \subseteq \mathbb{R}\)

Falls gilt: \(s = \sup{A} , s \in A\), dann heißt s

 \(A \subseteq \mathbb{R}\)

Falls gilt: \(s = \inf{A} , s \in A\), dann heißt s

Besitzt jede von oben beschränkte, nicht leere Teilmenge \(A \subseteq \mathbb{R}\) ein Supremum?