Analysis
Die Welt der Zahlen
Die Welt der Zahlen
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Cartes-fiches
Die Peano-Axiome
1. 1 ist eine natürliche Zahl
2. jede natürliche Zahl n besitzt einen Nachfolger n'
3. es gibt keine natürliche Zahl, die 1 als Nachfolger besitzt
4. besitzen zwei natürlich Zahlen denselben Nachfolger, so sind sie selbst gleich
5. ist M Teilmenge von N und gilt, dass mit n Element von M auch der Nachfolger n' Element von M ist, so ist M gleich N
Wofür ist das 5. Axiom eine Grundlage?
vollständige Induktion
Wodurch werden die natürlichen Zahlen erweitert um die ganzen Zahlen zu erhalten?
Das inverse Element bezüglich der Addition.
Wie sind die rationalen Zahlen definiert?
Jede rationale Zahl q lässt als Quotient zweier natürlicher Zahlen m und n darstellen.
Wodurch wurden die rationalen Zahlen erweitert?
Das inverse Element bezüglich der Multiplikation.
Wie lässt sich die unendliche Menge der rationalen Zahlen abzählen?
Das Cantorsche Diagonalverfahren
Inwiefern ist die Menge der reellen Zahlen vollständiger als die Menge der ganzen Zahlen?
topologische Vollständigkeit, R deckt den ganzen Zahlenstrahl ab
Welche Intervalle gibt es?
1. [a,b] geschlossenes bzw. kompaktes
2. ]a,b[ offenes
3. ]a,b] nach links halb offenes
4. [a,b[ nach rechts halb offenes
Definition von Beschränktheit
Eine Menge M Teilmenge von R heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn es ein s E R gibt, sodass für jedes x E M gilt: x <= s (x >= s)
s heißt obere (untere) Schranke von M
Die Menge M heißt beschränkt, wenn sie eine obere und untere Schranke besitzt.
Wann ist eine Zahl s ein Supremum, wann Infimum, der Menge M?
Supremum: wenn s die kleinste obere Schranke ist
Infimum: wenn s die größte untere Schranke ist
Supremum und Infimum müssen nicht Elemente der Menge M sein. Wie heißen sie wenn sie es sind?
Maximum und Minimum
Definitionen der Vollständigkeit der reellen Zahlen
1. Intervallschachtelungsprinzip nach Cantor
2. Supremumseigenschaft
3. Axiom des Dedekindschen Schnittes
Intervallschachtelungsprinzip nach Cantor
Zu jeder Intervallschachtelung (In)n in R gibt es eine reelle Zahl r, die allen Intervallen In angehört.
Supremumseigenschaft
Jede nach oben (unten) beschränkte Menge M Teilmenge von R (M ist keine leere Menge) besitzt ein Supremum (Infimum).
Dedekindscher Schnitt
Seine M1und M2 zweit nicht leere Teilmengen von R mit:
M1 vereinigt M2 = R und M1 schneidet M2 =! 0
Für alle a E M1 und b E M2 gelte a<b:
Dann existiert genau eine reelle Zahl c (Schnittzahl der Mengen), sodass für alle a und b gilt:
a<=c<=b
Wie heißt die Folgende Darstellungsform einer komplexen Zahl?
z = x + yi
Normalform, kartesiche Form oder algebraische Form
Was ist das neutrale Element bezüglich der Addition und Multiplikation bei den komplexen Zahlen?
Was das inverse?
neutral:
Addition: 0 + 0i
Multiplikation: 1 + 0i
invers:
Addition: -z = -x - yi
Multiplikation: 1/z = 1/(x+yi) = x/(x2+y2) - y/(x2+y2)
Wie ist der Betrag einer komplexen Zahl z definiert?
|z| = sqrt(x2 + y2)
Wie ist die komplex konjugierte Zahl zu z definiert?
z' = x - yi
Wie sind Realteil Re und Imaginärteil Im einer komplexen Zahl z definiert?
Re(z) = 1/2 ( z + z')
Im(z) = 1/2i (z - z')
Wie ist die Dreiecksungleichung definiert?
|a + b| <= |a| + |b|
Fundamentalsatz der Algebra
In C besitzt jede Gleichung vom Typ
anzn + an-1zn-1 + ... + az + a0 = 0 (n>0, ai E C)
mindestens eine Lösung.
