Algèbre

valeurs propres et vecteurs propres

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Mamadian Diallo

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Mamadian Diallo

Über diese Lernkartei

Ce fichier d'apprentissage couvre les concepts avancés de l'algèbre linéaire à l'université, notamment les matrices, les vecteurs, les valeurs propres, et les propriétés des différentes matrices comme les matrices symétriques, normales, et unitaires. Il explore également les notions de multiplicité algébrique et géométrique, ainsi que les produits scalaires et les normes. Ce fichier d'apprentissage est idéal pour les étudiants en mathématiques qui cherchent à approfondir leur compréhension des structures algébriques et de leurs applications.

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Lernende

Sprache

Französisch

Kategorie

Mathematik

Stufe

Universität

Erstellt / Aktualisiert

07.04.2014 / 26.08.2018

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Qu'est ce qu'une valeur propre?

le scalaire t est valeur propre du corps K s'il existe un vecteur X # 0 telle que f(X)=t*X

t est valeur propre de K s'il existe un vecteur X telle que f(X)= t*X

t est valeur propres si X est vecteur propre

le scalaire t appartenant au corps K est une valeur propre de la matrice A s'il existe un vecteur X#0(non nul) telle que f(X)= t*X

Qu'est ce qu'un vecteur propre de A?

si t est valeur propre de A alors la matrice A admet des vecteurs propres qui sont solutions du polynôme caractéristique (A- It)X=0

les vecteurs propres sont les solution de l'equation det( A-It)=0

les vecteurs propres son associées aux valeurs propres

S(t) est le vecteur propre associé a la valeur propre t

dimS(t)= n - rg(A - tI)

Quelle est la relation entre multiplicité géometrique et la multiplicité algebrique?

1<= mg(t) <= ma(t)

1 <= ma(t) <= mg(t)

1 >= ma(t) >= mg(t)

ma(t) <= mg(t)

qu'est ce que la multiplicité geometrique?

la multiplicité géométrique est la dimension de S(t)

la multiplicité géométrique mg(t) est le nombre de fois que t est valeur propre

mg(t) est le rang de (A - tI)

la multiplicité algébrique de t noté ma(t) est :

le nombre de fois que t est racine du polynôme caracterstique (det (A - tI)=0)

la dimension de S(t)

toujours < n

un produit scalaire sur R ou (ou espace vectoriel euclidien) est:

une application V*V vers R /<X/Y> vérifie les 3 propriétés: <X/X> >=0 quelque soit X € V; linearite a gauche et la symetrie

une application V*V vers R /<X/Y> vérifie les 3 propriétés: <X/X> >=0 quelque soit X € V; linearite a droite et la symetrie

une application V*V vers R /<X/Y> vérifie les 3 propriétés: <X/X> >=0 quelque soit X € V; linearite a gauche et a droite, et la symetrie

une application V*V vers R /<X/Y> vérifie les 3 propriétés: <X/X> <=0 quelque soit X € V; linearite a gauche et la symetrie

< | >: V × V → R : ( X, Y ) → < X | Y > qui vériﬁe les trois propriétés : < X|X > ≥ 0 ∀ X ∈ V et < X|X > = 0 ⇔ X = O; < α 1 X 1 + α 2 X 2|Y > = α 1 < X 1|Y > + α 2 < X 2|Y >; < X|Y > = < Y |X >

le produit scalaire dans C ( ou hermitien) est:

le même dans R sauf la symétrie remplacée par <X/Y> = <Y/X> barre

le même dans R

le même dans R sauf la symétrie remplacée par l'antisymétrie

< | >: V × V → C : ( X, Y ) → < X | Y > qui vériﬁe les trois propriétés : < X|X > ≥ 0 ∀ X ∈ V et < X|X > = 0 ⇔ X = O ; < α 1 X 1 + α 2 X 2|Y > = α 1 < X 1|Y > + α 2 < X 2|Y >; < X|Y > = < Y |X > barre

la distance est:

d : V × V → R + : ( X, Y ) → d(X, Y ) qui vériﬁe les trois propriétés : d(X, Y ) = d(Y, X) ∀ X, Y ∈ V;d(X, Y ) = 0 ⇔ X = Y; d(X, Y ) ≤ d(X, Z ) + d(Z, Y ) ∀ X, Y, Z ∈ V

d : V × V → R + : ( X, Y ) → d(X, Y ) qui vériﬁe les trois propriétés : d(X, Y ) = d(Y, X) ∀ X, Y ∈ V d(X, Y ) = 0 ⇔ X = Y d(X, Y ) >= d(X, Z ) + d(Z, Y ) ∀ X, Y, Z ∈ V

une norme est:

|| . ||: V → R + : X → || X|| qui vériﬁe les trois propriétés : ||X || ≥ 0 ∀ X ∈ V et ||X|| = 0 ⇔ X = O; ||α.X|| = |α|.||X ||∀ α ∈ K, ∀ X ∈ V; ||X + Y || ≤ || X||+ ||Y ||∀ X, Y ∈ V

k . k : V → R + : X → k Xk qui vériﬁe les trois propriétés : kX k ≥ 0 ∀ X ∈ V et kXk = 0 ⇔ X = O kα.Xk = |α|.kX k ∀ α ∈ K, ∀ X ∈ V kX + Y k ≤ k Xk + kY k ∀ X, Y ∈ V

la projection orthogonale d'une vecteur X sur un vecteur Y est :

proj Y( X) =( < X|Y > /< Y |Y >) *Y

proj Y X = < X|Y > < Y |Y > Y

proj Y( X) = < X|Y >* < Y |Y >/ Y

une matrice adjointe:

Soit une matrice A ∈ C^n × n , alors A^∗ = A^t est la matrice adjointe de A.

Soit une matrice A ∈ R^n × n , alors A^∗ = A^t est la matrice adjointe de A.

Soit une matrice A ∈ C n × n , alors A ∗ = A^-1 est la matrice adjointe de A.

matrice unitaire

Une matrice A ∈ C^n × n est unitaire si A A^∗ = A^∗ A = I ; (A^∗ = A^t )

Une matrice A ∈ R^n × n est unitaire si A A ∗ = A ∗ A = I (A ∗ = A t )

Une matrice A ∈ C n × n est unitaire si A A ∗ = A ∗ A (A ∗ = A t )

une matrice orthogonale:

Une matrice A ∈ R^n × n est orthogonale si A A^t = A^t A = I

Une matrice A ∈ C^ n × n est orthogonale si A A^t = A^* A = I

Une matrice A ∈ c^ n × n est orthogonale si A A t = A t A = I

une matice hermitienne:

Une matrice A ∈ C^n × n est hermitienne si A = A^∗ avec A^∗ = A^t

Une matrice A ∈ R^n × n est hermitienne si A = A^∗ avec A^∗ = A^t

Une matrice A ∈ C^n × n est hermitienne si A = A^∗= A^t avec

Une matrice A ∈ C n × n est hermitienne si A^∗ = A^t

matrice symétrique:

Une matrice A ∈ R^n × n est symétrique ´ si A = A^t

Une matrice A ∈ R n × n est symétrique ´ si A = A^*

Une matrice A ∈ C^ n × n est symétrique ´ si A = A^t

Une matrice A ∈ C^n × n est symétrique ´ si A = A^*

matrice normale:

Une matrice A ∈ C^n × n est normale si A A^∗ = A^∗ A avec A^∗ = A^t

Une matrice A ∈ R^n × n est normale si A A^∗ = A^∗ A avec A^∗ = A^t

Une matrice A ∈ C n × n est normale si A A^∗ = A^t A

Une matrice A ∈ C n × n est normale si A = A^∗ A avec A ∗ = A t

matrice de pojection parallèles

A= A²

seules valeurs propres 0 et 1

A = A^*

matrice de projection orthogonale

A² = A =A^t dans R

A² = A = A^* dans C

f² = f

une matrice A^n x n symétrique est definie positive si:

A = A^t et X^t A X > 0 quelque soit X # 0

A = A^t et X^t A X > 0 quelque soit X = 0

A = A^t et X^t A X > 0 quelque soit X

A = A^t et X^t A X < 0 quelque sot X # 0

A = A^t et X^t A X = 0 quelque sot X =0

une matrice A^n x n symétrique est definie semi-positive si:

A =A^t et X^t A X >= 0 quelque soit X

A =A^t et X^t A X >= 0 quelque soit X # 0

A =A^t et X^t A X > 0 quelque soit X # 0

A =A^t et X^t A X >= 0 quelque soit X = 0

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