Algèbre

valeurs propres et vecteurs propres

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Kartei Details

Karten	20
Sprache	Français
Kategorie	Mathematik
Stufe	Universität
Erstellt / Aktualisiert	07.04.2014 / 26.08.2018
Lizenzierung	Keine Angabe
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Qu'est ce qu'une valeur propre?

le scalaire t est valeur propre du corps K s'il existe un vecteur X # 0 telle que f(X)=t*X

t est valeur propre de K s'il existe un vecteur X telle que f(X)= t*X

t est valeur propres si X est vecteur propre

le scalaire t appartenant au corps K est une valeur propre de la matrice A s'il existe un vecteur X#0(non nul) telle que f(X)= t*X

Qu'est ce qu'un vecteur propre de A?

si t est valeur propre de A alors la matrice A admet des vecteurs propres qui sont solutions du polynôme caractéristique (A- It)X=0

les vecteurs propres sont les solution de l'equation det( A-It)=0

les vecteurs propres son associées aux valeurs propres

S(t) est le vecteur propre associé a la valeur propre t

dimS(t)= n - rg(A - tI)

Quelle est la relation entre multiplicité géometrique et la multiplicité algebrique?

1<= mg(t) <= ma(t)

1 <= ma(t) <= mg(t)

1 >= ma(t) >= mg(t)

ma(t) <= mg(t)

qu'est ce que la multiplicité geometrique?

la multiplicité géométrique est la dimension de S(t)

la multiplicité géométrique mg(t) est le nombre de fois que t est valeur propre

mg(t) est le rang de (A - tI)

la multiplicité algébrique de t noté ma(t) est :

le nombre de fois que t est racine du polynôme caracterstique (det (A - tI)=0)

la dimension de S(t)

toujours < n

un produit scalaire sur R ou (ou espace vectoriel euclidien) est:

une application V*V vers R /<X/Y> vérifie les 3 propriétés: <X/X> >=0 quelque soit X € V; linearite a gauche et la symetrie

une application V*V vers R /<X/Y> vérifie les 3 propriétés: <X/X> >=0 quelque soit X € V; linearite a droite et la symetrie

une application V*V vers R /<X/Y> vérifie les 3 propriétés: <X/X> >=0 quelque soit X € V; linearite a gauche et a droite, et la symetrie

une application V*V vers R /<X/Y> vérifie les 3 propriétés: <X/X> <=0 quelque soit X € V; linearite a gauche et la symetrie

< | >: V × V → R : ( X, Y ) → < X | Y > qui vériﬁe les trois propriétés : < X|X > ≥ 0 ∀ X ∈ V et < X|X > = 0 ⇔ X = O; < α 1 X 1 + α 2 X 2|Y > = α 1 < X 1|Y > + α 2 < X 2|Y >; < X|Y > = < Y |X >

le produit scalaire dans C ( ou hermitien) est:

le même dans R sauf la symétrie remplacée par <X/Y> = <Y/X> barre

le même dans R

le même dans R sauf la symétrie remplacée par l'antisymétrie

< | >: V × V → C : ( X, Y ) → < X | Y > qui vériﬁe les trois propriétés : < X|X > ≥ 0 ∀ X ∈ V et < X|X > = 0 ⇔ X = O ; < α 1 X 1 + α 2 X 2|Y > = α 1 < X 1|Y > + α 2 < X 2|Y >; < X|Y > = < Y |X > barre

la distance est:

d : V × V → R + : ( X, Y ) → d(X, Y ) qui vériﬁe les trois propriétés : d(X, Y ) = d(Y, X) ∀ X, Y ∈ V;d(X, Y ) = 0 ⇔ X = Y; d(X, Y ) ≤ d(X, Z ) + d(Z, Y ) ∀ X, Y, Z ∈ V

d : V × V → R + : ( X, Y ) → d(X, Y ) qui vériﬁe les trois propriétés : d(X, Y ) = d(Y, X) ∀ X, Y ∈ V d(X, Y ) = 0 ⇔ X = Y d(X, Y ) >= d(X, Z ) + d(Z, Y ) ∀ X, Y, Z ∈ V