Lernkarten
Satz von ROLLE
siehe Abb
Beweis-Idee:
- Fall: f konstant => f'(x) ist immer 0
- Fall: Es gibt ein f(y)≥f(a)=f(b) => Es gibt ein Maximum => Ableitung ist dort 0
- Fall: Es gibt ein f(y)≤f(a)=f(b) => Es gibt ein Minimum => Ableitung ist dort 0
Mittelwertsatz
siehe Abb
Beweis Idee:
- Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
- Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
- Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
- Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.
Theoriefrage 1:
Was ist eine lokale Extremstelle einer reellen Funktion? Was besagen der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz? Beweisen Sie beide Sätze.
Satz von ROLLE Beweis-Idee:
- Fall: f konstant => f'(x) ist immer 0
- Fall: Es gibt ein f(y)≥f(a)=f(b) => Es gibt ein Maximum => Ableitung ist dort 0
- Fall: Es gibt ein f(y)≤f(a)=f(b) => Es gibt ein Minimum => Ableitung ist dort 0
Mittelwertsatz Beweis-Idee:
- Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
- Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
- Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
- Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.
Theoriefrage 2
Es sei f eine differenzierbar Funktion auf einem Intervall. Zeigen Sie, dass die Funktion konstant ist, wenn ihre Ableitung überall Null ist. Leiten Sie daraus ab: Wenn f'(x)=c·f(x) ist, dann gibt es eine Zahl a, sodass f(x)=a·ecx ist.
erster Teil:
- f'(x)=0
- => (f(x2)-f(x1))/(x2-x1) = 0
- => f(x2) = f(x1)
- das geht für alle x also ist f konstant
zweiter Teil:
- f'(x)=c*f(x)
- Betrachte g(x):=f(x)*e-cx
- g'(x) = f'(x)*e-cx + f(x)*(-c)e-cx = c*f(x)*e-cx - c*f(x)*e-cx = 0
- => g(x) ist konstant
- => g(x)=a
Satz zur Feststellung von Extremwerten (III.3.10)
siehe Abb
Beweis-Idee für Minimum:
- f''(x)>0
- lim( (f'(y)-f'(x)) / (y-x) ) > 0
- Das heißt es gibt eine Epsilonumgebung um x, s.d. alle y daraus (f'(y)-f'(x)) / (y-x) > 0 erfüllen.
- weil f'(x)=0 gilt also ( f'(y) / (y-x) ) > 0. Unterscheide folgende Fälle:
- y<x => f'(y)<0
- x<y => f'(y)>0
- Bis unmittelbar vorher fällt f also und unmittelbar danach steigt es wieder.
- => x ist ein lokales Minimum
Verallgemeinerter Mittelwertsatz
Beweis-Idee:
- Wir definieren h(x) := (f(b)-f(a))*g(x) - (g(b)-g(a))*f(x).
- Betrachte h(a)=h(b).
- Satz von ROLLE => Es gibt ein Xi sodass f'(Xi)=0.
- Also h'(Xi)= (f(b)-f(a))*g'(x) - (g(b)-g(a))*f'(x) QED.
Theoriefrage 3:
Formulieren und beweisen Sie den Mittelwertsatz und den verallgemeinerten Mittelwertsatz.
siehe Abb
Beweis-Idee MWS:
- Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
- Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
- Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
- Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.
verallg. MWS Beweis-Idee:
- Wir definieren h(x) := (f(b)-f(a))*g(x) - (g(b)-g(a))*f(x).
- Betrachte h(a)=h(b).
- Satz von ROLLE => Es gibt ein Xi sodass f'(Xi)=0.
- Also h'(Xi)= (f(b)-f(a))*g'(x) - (g(b)-g(a))*f'(x) QED.
Kampaktifizierung
- Was bedeutet das?
- Nenne eine Möglichkeit für die Reellen Zahlen.
Bei der Kompaktifizierung werden alle Zaheln auf ein geschlossenes Intervall abgebildet und trotzdem bleibt die Abbildungsmenge ein metrischer Raum.
f: R -> [-1,1] mit f(x)= x / (|x|+1) und mit f(+infty)=1 und mit f(-infty)=-1 ist ein Bsp für eine funktion, die gemeinsam mit der Abstandsfunktion d(x,y) = |f(x)-f(y)| eine Kampaktifizierung bildet.
