Lernkarten

Florian Kaltseis
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Lernende 12 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 16.02.2014 / 03.08.2021
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Satz von ROLLE

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siehe Abb

Beweis-Idee:

  1. Fall: f konstant => f'(x) ist immer 0
  2. Fall: Es gibt ein f(y)≥f(a)=f(b) => Es gibt ein Maximum => Ableitung ist dort 0
  3. Fall: Es gibt ein f(y)≤f(a)=f(b) => Es gibt ein Minimum => Ableitung ist dort 0
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Mittelwertsatz

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siehe Abb

Beweis Idee:

  • Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
  • Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
  • Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
  • Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.
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Theoriefrage 1:

Was ist eine lokale Extremstelle einer reellen Funktion? Was besagen der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz? Beweisen Sie beide Sätze.

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Satz von ROLLE Beweis-Idee:

  1. Fall: f konstant => f'(x) ist immer 0
  2. Fall: Es gibt ein f(y)≥f(a)=f(b) => Es gibt ein Maximum => Ableitung ist dort 0
  3. Fall: Es gibt ein f(y)≤f(a)=f(b) => Es gibt ein Minimum => Ableitung ist dort 0

Mittelwertsatz Beweis-Idee:

  • Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
  • Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
  • Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
  • Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.
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Theoriefrage 2

Es sei f eine differenzierbar Funktion auf einem Intervall. Zeigen Sie, dass die Funktion konstant ist, wenn ihre Ableitung überall Null ist. Leiten Sie daraus ab: Wenn f'(x)=c·f(x) ist, dann gibt es eine Zahl a, sodass f(x)=a·ecx ist.

erster Teil:

  • f'(x)=0
  • => (f(x2)-f(x1))/(x2-x1) = 0
  • => f(x2) = f(x1)
  • das geht für alle x also ist f konstant

zweiter Teil:

  • f'(x)=c*f(x)
  • Betrachte g(x):=f(x)*e-cx
  • g'(x) = f'(x)*e-cx + f(x)*(-c)e-cx = c*f(x)*e-cx - c*f(x)*e-cx = 0
  • => g(x) ist konstant
  • => g(x)=a
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Satz zur Feststellung von Extremwerten (III.3.10)

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siehe Abb

Beweis-Idee für Minimum:

  • f''(x)>0
  • lim( (f'(y)-f'(x)) / (y-x) ) > 0
  • Das heißt es gibt eine Epsilonumgebung um x, s.d. alle y daraus (f'(y)-f'(x)) / (y-x) > 0 erfüllen.
  • weil f'(x)=0 gilt also ( f'(y) / (y-x) ) > 0. Unterscheide folgende Fälle:
    • y<x => f'(y)<0
    • x<y => f'(y)>0
  • Bis unmittelbar vorher fällt f also und unmittelbar danach steigt es wieder.
  • => x ist ein lokales Minimum
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Verallgemeinerter Mittelwertsatz

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Beweis-Idee:

  • Wir definieren h(x) := (f(b)-f(a))*g(x) - (g(b)-g(a))*f(x).
  • Betrachte h(a)=h(b).
  • Satz von ROLLE => Es gibt ein Xi sodass f'(Xi)=0.
  • Also h'(Xi)= (f(b)-f(a))*g'(x) - (g(b)-g(a))*f'(x) QED.
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Theoriefrage 3:

 

Formulieren und beweisen Sie den Mittelwertsatz und den verallgemeinerten Mittelwertsatz.

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siehe Abb

Beweis-Idee MWS:

  • Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
  • Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
  • Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
  • Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.

verallg. MWS Beweis-Idee:

  • Wir definieren h(x) := (f(b)-f(a))*g(x) - (g(b)-g(a))*f(x).
  • Betrachte h(a)=h(b).
  • Satz von ROLLE => Es gibt ein Xi sodass f'(Xi)=0.
  • Also h'(Xi)= (f(b)-f(a))*g'(x) - (g(b)-g(a))*f'(x) QED.
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Kampaktifizierung

  • Was bedeutet das?
  • Nenne eine Möglichkeit für die Reellen Zahlen.

Bei der Kompaktifizierung werden alle Zaheln auf ein geschlossenes Intervall abgebildet und trotzdem bleibt die Abbildungsmenge ein metrischer Raum.

f: R -> [-1,1] mit f(x)= x / (|x|+1) und mit f(+infty)=1 und mit f(-infty)=-1 ist ein Bsp für eine funktion, die gemeinsam mit der Abstandsfunktion d(x,y) = |f(x)-f(y)| eine Kampaktifizierung bildet.