Analysis in einer Variable für LAK

siehe Abb

Anm.:
In der ersten Zeile sollte die linke Seite der Gleichung eigentlich abgeleitet stehen (....)'= f'(x) - f'(x) = 0

siehe Abb

Bestimmung der Fläche eines Viertelkreises:

• f(x) = sqrt(r²-x²) = r * sqrt(1-(x/r)²)
• Wir betrachten das Integral von f(x) im Bereich 0 bis r
• Wir substituieren u = x/r und erhalten so das Integral von 0 bis 1 von sqrt(1-u²)
• Wir substituieren u = sin(t) und erhalten so das Integral von 0 bis Pi/2 von cos²(t).
• Wir integrieren partiell und erhalten <ausarbeiten>

siehe Abb

siehe Abb

siehe Abb

Beweis Idee (Satz 4.5.3)

• 1 => 2
  • Durch geeignete Umformungen zeigen wir, dass rot+grün=rot ist. => grün=0
• 2 => 3
  • Wir schreiben (2) jetzt in etwas anderer Form auf, mit einer Epsilon-Formulierung und benennen das h schonmal zu r um.
  • Dann betrachten wir das Integral von r bis s von f(x) und schreiben es als Differenz von Integralen der roten Form auf.
  • Durch die Dreiecksgleichung kommen wir dann zu (3).
• 3 => 1
  • Wir schreiben (3) nun anders auf und ersetzen r und s jeweils durch x_n und x_m einer Folge (x_n) _{die Grenzwert +unendlich hat.}
  • Dann schreiben wir das Integral x_n bis x_m wieder als Differenz auf und nennen Summanden I_n und I_m.
  • Nun liegt die Definition einer Cauchyfolge vor uns, I_n ist also eine Cauchyfolge.
  • Das heißt I_n ist auch konvergent, also existiert der Limes mit n -> unendlich.
  • Schreiben wir für I_n den entsprechenden Summanden und bennen n in h um so sind wir wieder bei (1) angelangt.

siehe Abb

siehe Abb

siehe Abb

siehe Abb

Sei r = lim(1/a^(1/n)) also der Konvergenzradius.

• Die PR konvergiert in [x₀-r,x₀+r].
• Die PR divergiert außerhalb davon.

siehe Abb.

siehe Abb

Die Menge der Treppenfunktionen auf [a,b] zu einer Funktion f mit Zerlegung Z bilden einen Vektorraum.

Ein Funkional ist eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in dessen Körper.

Das Integral ist ein Funktional.

Sei f: [a,b] -> R

• f stetig => f integrierbar
• f monoton => f integrierbar

siehe Abb

siehe Abb

siehe Abb

siehe Abb

siehe Abb

1. Im Zähler und Nenner durch größte Potenz von n dividieren (also durch n^5). Dann Grenzübergang machen => Ergebnis = 1/3.
2. Das selbe wie 1. hier ist aber n^(5/2) die größte Potenz. => Ergebnis = 0
3. Sandwich Theorem: (-1)^n/n ≤ cos(n)/n ≤ (-1)^n/n und lim( (-1)^n/n ) = 0 also ist auch lim(cos(n)/n)=0
4. Binomsche Formel verwenden: mit (sqrt(n^2+n+2)-sqrt(n^2+2)) erweitern und dann haben wir im zähler (a+b)(a-b). Dann wieder durch höchste von n dividieren => Endergebnis = 1/2

siehe Abb

Wenn f' an der Stelle x stetig ist, so nennt man f an jener Stelle stetig differenzierbar.

siehe Abb

Seien f und g differenzierbar, so gilt Abb.

siehe Abb

siehe Abb

Beweis-Idee:

1. Fall: f konstant => f'(x) ist immer 0
2. Fall: Es gibt ein f(y)≥f(a)=f(b) => Es gibt ein Maximum => Ableitung ist dort 0
3. Fall: Es gibt ein f(y)≤f(a)=f(b) => Es gibt ein Minimum => Ableitung ist dort 0

siehe Abb

Beweis Idee:

• Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
• Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
• Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
• Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.

Satz von ROLLE Beweis-Idee:

1. Fall: f konstant => f'(x) ist immer 0
2. Fall: Es gibt ein f(y)≥f(a)=f(b) => Es gibt ein Maximum => Ableitung ist dort 0
3. Fall: Es gibt ein f(y)≤f(a)=f(b) => Es gibt ein Minimum => Ableitung ist dort 0

Mittelwertsatz Beweis-Idee:

• Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
• Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
• Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
• Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.

erster Teil:

• f'(x)=0
• => (f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁) = 0
• => f(x₂) = f(x₁)
• das geht für alle x also ist f konstant

zweiter Teil:

• f'(x)=c*f(x)
• Betrachte g(x):=f(x)*e^-cx
• g'(x) = f'(x)*e^-cx + f(x)*(-c)e^-cx = c*f(x)*e^-cx - c*f(x)*e^{-cx = 0}
• => g(x) ist konstant
• => g(x)=a

siehe Abb

Beweis-Idee für Minimum:

• f''(x)>0
• lim( (f'(y)-f'(x)) / (y-x) ) > 0
• Das heißt es gibt eine Epsilonumgebung um x, s.d. alle y daraus (f'(y)-f'(x)) / (y-x) > 0 erfüllen.
• weil f'(x)=0 gilt also ( f'(y) / (y-x) ) > 0. Unterscheide folgende Fälle:
  • y<x => f'(y)<0
  • x<y => f'(y)>0
• Bis unmittelbar vorher fällt f also und unmittelbar danach steigt es wieder.
• => x ist ein lokales Minimum

Beweis-Idee:

• Wir definieren h(x) := (f(b)-f(a))*g(x) - (g(b)-g(a))*f(x).
• Betrachte h(a)=h(b).
• Satz von ROLLE => Es gibt ein Xi sodass f'(Xi)=0.
• Also h'(Xi)= (f(b)-f(a))*g'(x) - (g(b)-g(a))*f'(x) QED.

siehe Abb

Beweis-Idee MWS:

• Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
• Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
• Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
• Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.

verallg. MWS Beweis-Idee:

• Wir definieren h(x) := (f(b)-f(a))*g(x) - (g(b)-g(a))*f(x).
• Betrachte h(a)=h(b).
• Satz von ROLLE => Es gibt ein Xi sodass f'(Xi)=0.
• Also h'(Xi)= (f(b)-f(a))*g'(x) - (g(b)-g(a))*f'(x) QED.

erster Teil

• Wir wählen x_1<x_{2 und es gilt laut Angabe immer} (f(x₂)-f(x₁)) / (x₂-x₁) > 0
• => f(x₂)>f(x₁)
• => f ist st.m.st.

zweiter Teil (Satz zur Feststellung von Extremstellen)

• f''(x)>0
• lim( (f'(y)-f'(x)) / (y-x) ) > 0
• Das heißt es gibt eine Epsilonumgebung um x, s.d. alle y daraus (f'(y)-f'(x)) / (y-x) > 0 erfüllen.
• weil f'(x)=0 gilt also ( f'(y) / (y-x) ) > 0. Unterscheide folgende Fälle:
  • y<x => f'(y)<0
  • x<y => f'(y)>0
• Bis unmittelbar vorher fällt f also und unmittelbar danach steigt es wieder.
• => x ist ein lokales Minimum

dritter Teil

• Wenn f''(x)=0 so liegt ein Wendepunkt vor.
• Wenn zusätzlich auch f'(x)=0, so ist die Tangente im Wendepunkt waagrecht und es liegt keine Extremstelle vor.
• zB f(x)=x³

Bei der Kompaktifizierung werden alle Zaheln auf ein geschlossenes Intervall abgebildet und trotzdem bleibt die Abbildungsmenge ein metrischer Raum.

f: R -> [-1,1] mit f(x)= x / (|x|+1) und mit f(+infty)=1 und mit f(-infty)=-1 ist ein Bsp für eine funktion, die gemeinsam mit der Abstandsfunktion d(x,y) = |f(x)-f(y)| eine Kampaktifizierung bildet.

siehe Abb

Die Limiten gehen hier immer von x->b-

Beweis-Idee:

• Weil f,g diffbar sind muss der verallgmeinerte MWS gelten.
• (f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) ist also das Gleiche wie ein gewisses f'(Xi)/g'(Xi).
• f'(Xi)/g'(Xi) liegt beliebig nahe am lim(f'(x)/g'(x)).

Wenn 1) gilt:

• Dann ist der folgende Limes lim(f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) = f(x)/g(x).
• Damit ist aber auch klar, dass sowohl f(x)/g(x) als auch f'(x)/g'(x) den selben Limes haben.

Wenn 2) gilt:

• Wir haben gezeigt dass (f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) beliebig nahe an lim(f'(x)/g'(x)) liegt also es liegt in einer Umgebung davon.
• Wenn wir nun (f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) * (g(x)-g(y)) / g(x) rechnen, liegt dies wieder in jener mit (g(x)-g(y)) / g(x) multiplizierten Umgebung. Jene
• lim((f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) * (g(x)-g(y)) / g(x)) = lim(f(x)/g(x))  also liegt auch das in jener Umgebung.
• Damit ist aber auch klar, dass sowohl f(x)/g(x) als auch f'(x)/g'(x) den selben Limes haben.

f''(x)>0 auf [x₁,x₂]  <=>  f konvex auf [x₁,x₂]
f''(x)<0 auf [x₁,x₂]  <=>  f konkav auf [x₁,x₂]

Beweis-Idee

• In der Definition der Kovexität steckt ja eigentlich eine Abfrage der Steigung in [x₁,x₂] mit Hilfe des Parameters Lambda.
• Nehmen wir an die Steigung steigt. Wir können uns zwei beliebige Punkte p₁ und p₂ suchen und sagen f'(p₁₎<f'(p₂)
• Drücken wir nun p₁ und p_{2 durch} x₁ und x_{2 mit dem Paramter Lambda} aus, so sind wir bei der Definition der Konvexität angelangt.