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Florian Kaltseis
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Lernende 12 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 16.02.2014 / 03.08.2021
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0 Exakte Antworten 51 Text Antworten 1 Multiple Choice Antworten
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Definition Stetigkeit

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siehe Abb

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Konvergenzkriterien für Reihen

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siehe Abb

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Tricks für Limiten

Erkläre anhand der Bsp, wie diese Limiten berechnet werden.

  1. Im Zähler und Nenner durch größte Potenz von n dividieren (also durch n^5). Dann Grenzübergang machen => Ergebnis = 1/3.
  2. Das selbe wie 1. hier ist aber n^(5/2) die größte Potenz. => Ergebnis = 0
  3. Sandwich Theorem: (-1)^n/n ≤ cos(n)/n ≤ (-1)^n/n und lim( (-1)^n/n ) = 0 also ist auch lim(cos(n)/n)=0
  4. Binomsche Formel verwenden: mit (sqrt(n^2+n+2)-sqrt(n^2+2)) erweitern und dann haben wir im zähler (a+b)(a-b). Dann wieder durch höchste von n dividieren => Endergebnis = 1/2
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Definition Defferenzierbarkeit

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siehe Abb

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Definition stetig-differenzierbar

Wenn f' an der Stelle x stetig ist, so nennt man f an jener Stelle stetig differenzierbar.

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Summenregel, Produktregel, Quotientenregel.

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siehe Abb

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Kettenregel

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Seien f und g differenzierbar, so gilt Abb.

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Extremstellen:

  • Definition lokales Maximum/ Minimum
  • Definition globales Maximum/ Minimum

+ Beweise, dass x lokale Extremstalle mit f diffferenzierbar in x <=> f'(x)=0 .

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siehe Abb

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Satz von ROLLE

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siehe Abb

Beweis-Idee:

  1. Fall: f konstant => f'(x) ist immer 0
  2. Fall: Es gibt ein f(y)≥f(a)=f(b) => Es gibt ein Maximum => Ableitung ist dort 0
  3. Fall: Es gibt ein f(y)≤f(a)=f(b) => Es gibt ein Minimum => Ableitung ist dort 0
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Mittelwertsatz

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siehe Abb

Beweis Idee:

  • Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
  • Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
  • Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
  • Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.
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Theoriefrage 1:

Was ist eine lokale Extremstelle einer reellen Funktion? Was besagen der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz? Beweisen Sie beide Sätze.

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Satz von ROLLE Beweis-Idee:

  1. Fall: f konstant => f'(x) ist immer 0
  2. Fall: Es gibt ein f(y)≥f(a)=f(b) => Es gibt ein Maximum => Ableitung ist dort 0
  3. Fall: Es gibt ein f(y)≤f(a)=f(b) => Es gibt ein Minimum => Ableitung ist dort 0

Mittelwertsatz Beweis-Idee:

  • Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
  • Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
  • Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
  • Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.
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Theoriefrage 2

Es sei f eine differenzierbar Funktion auf einem Intervall. Zeigen Sie, dass die Funktion konstant ist, wenn ihre Ableitung überall Null ist. Leiten Sie daraus ab: Wenn f'(x)=c·f(x) ist, dann gibt es eine Zahl a, sodass f(x)=a·ecx ist.

erster Teil:

  • f'(x)=0
  • => (f(x2)-f(x1))/(x2-x1) = 0
  • => f(x2) = f(x1)
  • das geht für alle x also ist f konstant

zweiter Teil:

  • f'(x)=c*f(x)
  • Betrachte g(x):=f(x)*e-cx
  • g'(x) = f'(x)*e-cx + f(x)*(-c)e-cx = c*f(x)*e-cx - c*f(x)*e-cx = 0
  • => g(x) ist konstant
  • => g(x)=a
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Satz zur Feststellung von Extremwerten (III.3.10)

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siehe Abb

Beweis-Idee für Minimum:

  • f''(x)>0
  • lim( (f'(y)-f'(x)) / (y-x) ) > 0
  • Das heißt es gibt eine Epsilonumgebung um x, s.d. alle y daraus (f'(y)-f'(x)) / (y-x) > 0 erfüllen.
  • weil f'(x)=0 gilt also ( f'(y) / (y-x) ) > 0. Unterscheide folgende Fälle:
    • y<x => f'(y)<0
    • x<y => f'(y)>0
  • Bis unmittelbar vorher fällt f also und unmittelbar danach steigt es wieder.
  • => x ist ein lokales Minimum
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Verallgemeinerter Mittelwertsatz

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Beweis-Idee:

  • Wir definieren h(x) := (f(b)-f(a))*g(x) - (g(b)-g(a))*f(x).
  • Betrachte h(a)=h(b).
  • Satz von ROLLE => Es gibt ein Xi sodass f'(Xi)=0.
  • Also h'(Xi)= (f(b)-f(a))*g'(x) - (g(b)-g(a))*f'(x) QED.
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Theoriefrage 3:

 

Formulieren und beweisen Sie den Mittelwertsatz und den verallgemeinerten Mittelwertsatz.

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siehe Abb

Beweis-Idee MWS:

  • Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
  • Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
  • Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
  • Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.

verallg. MWS Beweis-Idee:

  • Wir definieren h(x) := (f(b)-f(a))*g(x) - (g(b)-g(a))*f(x).
  • Betrachte h(a)=h(b).
  • Satz von ROLLE => Es gibt ein Xi sodass f'(Xi)=0.
  • Also h'(Xi)= (f(b)-f(a))*g'(x) - (g(b)-g(a))*f'(x) QED.
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Kampaktifizierung

  • Was bedeutet das?
  • Nenne eine Möglichkeit für die Reellen Zahlen.

Bei der Kompaktifizierung werden alle Zaheln auf ein geschlossenes Intervall abgebildet und trotzdem bleibt die Abbildungsmenge ein metrischer Raum.

f: R -> [-1,1] mit f(x)= x / (|x|+1) und mit f(+infty)=1 und mit f(-infty)=-1 ist ein Bsp für eine funktion, die gemeinsam mit der Abstandsfunktion d(x,y) = |f(x)-f(y)| eine Kampaktifizierung bildet.

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Theoriefrage 4:

  • Es sei f eine differenzierbar Funktion auf einem Intervall. Zeigen Sie, dass die Funktion steigend ist, wenn ihre Ableitung überall positiv ist.
  • Zeigen Sie außerdem: Wenn f'(x)=0 und f''(x)<0 für ein x in diesem Intervall, dann ist dieses x ein lokales Maximum.
  • Ohne Beweis: Wie kann anhand höherer Ableitungen festgestellt werden, ob f in x ein Maximum oder Minimum hat, wenn f'(x)=f''(x)=0 ist?

erster Teil

  • Wir wählen x1<x2 und es gilt laut Angabe immer (f(x2)-f(x1)) / (x2-x1) > 0
  • => f(x2)>f(x1)
  • => f ist st.m.st.

zweiter Teil (Satz zur Feststellung von Extremstellen)

  • f''(x)>0
  • lim( (f'(y)-f'(x)) / (y-x) ) > 0
  • Das heißt es gibt eine Epsilonumgebung um x, s.d. alle y daraus (f'(y)-f'(x)) / (y-x) > 0 erfüllen.
  • weil f'(x)=0 gilt also ( f'(y) / (y-x) ) > 0. Unterscheide folgende Fälle:
    • y<x => f'(y)<0
    • x<y => f'(y)>0
  • Bis unmittelbar vorher fällt f also und unmittelbar danach steigt es wieder.
  • => x ist ein lokales Minimum

dritter Teil

  • Wenn f''(x)=0 so liegt ein Wendepunkt vor.
  • Wenn zusätzlich auch f'(x)=0, so ist die Tangente im Wendepunkt waagrecht und es liegt keine Extremstelle vor.
  • zB f(x)=x3
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Theoriefrage 5:

Wie lautet die Regel von de l'Hospital? Wenden Sie die Regel in Beispielen an.

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siehe Abb

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Theoriefrage 6*:

 

Beweisen Sie die Regel von de l'Hospital.

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Die Limiten gehen hier immer von x->b-

Beweis-Idee:

  • Weil f,g diffbar sind muss der verallgmeinerte MWS gelten.
  • (f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) ist also das Gleiche wie ein gewisses f'(Xi)/g'(Xi).
  • f'(Xi)/g'(Xi) liegt beliebig nahe am lim(f'(x)/g'(x)).

Wenn 1) gilt:

  • Dann ist der folgende Limes lim(f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) = f(x)/g(x).
  • Damit ist aber auch klar, dass sowohl f(x)/g(x) als auch f'(x)/g'(x) den selben Limes haben.

Wenn 2) gilt:

  • Wir haben gezeigt dass (f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) beliebig nahe an lim(f'(x)/g'(x)) liegt also es liegt in einer Umgebung davon.
  • Wenn wir nun (f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) * (g(x)-g(y)) / g(x) rechnen, liegt dies wieder in jener mit (g(x)-g(y)) / g(x) multiplizierten Umgebung. Jene
  • lim((f(x)-f(y)) / (g(x)-g(y)) * (g(x)-g(y)) / g(x)) = lim(f(x)/g(x))  also liegt auch das in jener Umgebung.
  • Damit ist aber auch klar, dass sowohl f(x)/g(x) als auch f'(x)/g'(x) den selben Limes haben.
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Theoriefrage 7:

  • Wie sind Konvexität und Konkavität einer reellen Funktion definiert?
  • Wie hängen diese Eigenschaften mit der zweiten Ableitung zusammen (mit Beweis)?
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f''(x)>0 auf [x1,x2]  <=>  f konvex auf [x1,x2]
f''(x)<0 auf [x1,x2]  <=>  f konkav auf [x1,x2]

Beweis-Idee

  • In der Definition der Kovexität steckt ja eigentlich eine Abfrage der Steigung in [x1,x2] mit Hilfe des Parameters Lambda.
  • Nehmen wir an die Steigung steigt. Wir können uns zwei beliebige Punkte p1 und p2 suchen und sagen f'(p1)<f'(p2)
  • Drücken wir nun p1 und p2 durch x1 und x2 mit dem Paramter Lambda aus, so sind wir bei der Definition der Konvexität angelangt.
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Theoriefrage 8:

  • Wie lautet der Satz von Taylor?
  • Bestimmen Sie Taylorentwicklungen zu gegebenen Funktionen (Polynome bestimmter Länge mit Restglied oder ganze Reihen).
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siehe Abb.

Begrifflichkeiten

  • Das Taylorpolinom ist die Summe von 0 bis n und hat immer Grad n.
  • Wenn das Restglied für alle x und mit n gegen unendlich gegen 0 geht, so nennt man die Summe (mit n gegen unendlich) Taylorreihe oder Taylorentwicklung..

Bsp 29ff

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Theoriefrage 9*:

Beweisen Sie den Satz von Taylor.

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Beweis-Idee:

  • Wir formen was z.z. ist auf 0 um und werden diese Aussage zeigen.
  • Wir betrachten g(x):= f(t) - T(t) - (f(x)-T(x)/(x-x0)n * (t-x0)n
  • Die Ableitungen von g(x) sind bis zur n-1ten immer 0.
  • Betrachten wir die zu zeigende im ersten Schritt umgeformte Aussage, so sehen wir, dass die Aussage die nte Ableitung von g(x) ist. Wir suchen also deren Nullstelle.
  • Wenden wir sen Satz von Rolle immer wieder auf g an, so bekommen wir diese Nullstelle (nämlich Xi).
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Theoriefrage 10:

  • Definieren Sie punktweise und gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.
  • Zeigen Sie, dass der Limes einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktinen stetig ist.
  • Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass das im Allgemeinen nicht für punktweise konvergente Folge stetiger Funktionen gilt.
Lizenzierung: Keine Angabe

siehe Abb

Gegenbeispiel: fn(x)= n-te Wurzel aus x
=> f(x)=0 für x=0 und f(x)=1 für x>0

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Theoriefrage 11:

Formulieren Sie unter Verwendung der gleichmäßigen Konvergenz ein Kriterium dafür, wann bei einer Funktionenfolge der Grenzwert der Ableitungen gleich der Ableitung ihres Grenzwerts ist. Geben Sie alle Voraussetzungen exakt an.

Theoriefrage 12: *)

Führen Sie den Beweis durch.

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Voraussetzung siehe Abb.

  1. fn diffbar auf [a,b]
  2. fn punktweise konvergent
  3. f'n gleichmäßig konvergent
     

Beweis-Idee:
(im Folgenden steht lim() immer für den Limes mit n gegen unendlich)

  • z.z. lim(f'n(x)) = (lim(fn(x)))'
  • Wenn Voraussetzung 1.-3. erfüllt sind, können wir den Satz vom gliedweisen Differenzieren anwenden und wissen dass lim(fn(x)) = f(x) und dass lim(f'n(x)) = f'(x), womit die Ausgangsgleichung klar ist.
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Theoriefrage 13:

  1. Was besagen das Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz?
  2. Was besagt der Staz von Weierstraß?
  3. Wie folgt aus dem Cauchy-Kriterium der Satz von Weierstraß?
  4. Wenden Sie den Satz von Weierstraß für gegebene Beispiele an.
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  1. siehe Abb
  2. siehe Abb
  3. ???
  4. Bsp 33ff

 

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Theoriefrage 14

  1. Was ist eine Potenzreihe?
  2. Bestimmen Sie zu gegebenen Beispielen den Konvergenzradius.
  3. Es sei x0 der Mittelnkt der Reihenentwicklung und r der Konvergenzradius. Auf wechen Kreisscheiben mit Mittelpunkt x0 ist die Reihe gleichmäßig konvergent.
Lizenzierung: Keine Angabe
  1. siehe Abb
  2. Bsp 33ff
  3. Idee:
  • Die Reihe ist nach dem Wurzelkriterium auf dem Rand und im Inneren konvergent.
  • Nach dem Satz von Weierstraß ist sie auch im selben Intervall glm. konv.
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Theoriefrage 15

Zeigen Sie, dass eine Potenzreihe (genauer: ihre Summenfunkion) im Inneren ihres Konvergenzbereichs beliebig oft differenzierbar ist. Sie können dafür allgemeinere Sätze über gleichmäßige Konvergenz verwenden, sofern Sie diese mit allen entsprechenden Voraussetzungen formulieren.

Lizenzierung: Keine Angabe

siehe Abb.

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1 Kommentare

  • 01.03.2014
    F. Kaltseis
    Ich glaub da is ein kleiner Fehler in der vorletzten Zeile. Da müsst es meiner Meinung nach auf beiden Seiten der Limes mit n gegen Unendlich stehen und darin dann erst fTilde(xn) bzw. gTilde(xn)
1

Theoriefrage 16:

Formulieren und beweisen Sie den Identitätssatz für Potenzreihen.

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siehe Abb.

Beweis Idee:

  • Induktion nach n
  • Zeige dass bei n=0 folgt dass  a0=b0 (durch limes Vertauschen wegen Stetigkeit)
  • Zeige dass bei n+1 folgt dass  an+1=bn+1
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Theoriefrage 17:

  • Definieren Sie folgende Begriffe einer reellen Funktion auf einem kompakten Intervall:
    • Feinheit einer Zerlegung
    • Treppenfunktion
    • Riemann-Integral
    • Ober- und Untersumme 
  • Bestimmen Sie Ober- und Untersummen bzw. oberes und unteres Integral einer gegebenen reellen Funktion.
Lizenzierung: Keine Angabe

siehe Abb.

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Theoriefrage 18: *
Zeigen Sie, dass jede reelle stetige Funktion auf einem kompakten Intervall integrierbar ist.

<ausarbeiten>