Mathematik PHTG

Gebündelte Zahlen sind einfacher und schneller lesbar --> (Quasi) Simultan

Vor allem wenn später grössere Zahlen mit mehr Stellenwerten kommen, ist es einfacher, wenn die Basis bereits vorhanden ist.

Beide Zahlen (die zuvor ausgerechnet wurden) nebeneinander legen und direkt vergleichen. Die Differenz kann dann erfasst werden

Jede Zahl (ganzes) besteht aus Teilzahlen. Das heisst, man kann diese ganze Zahl in Teilzahlen zerlegen.

--> Wichtig, dass Kinder verstehen, dass Zahlen aus anderen Zahlen aufgebaut sind, respektive zerlegt werden können. Grundlage des Rechnens.

Gesetze:

- Ein Ganzes kann in Teile geglieder werden

- Ein Ganzes, das in Teile zerlegt wurde, ist nicht mehr und nicht weniger geworden

- Ein Teil ist weniger als ein Ganzes

- Wird ein Teil verkleinert, vergrössert, dann wird auch das Ganze kleiner, grösser

- Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Zahl zu zerlegen

Alles ist zählbar, unabhängig von dessen Eigenschaften

Es spielt keine Rolle, bei welcher Zahl ich mit zählen beginne. Ich kann vorwärts, rückwärts zählen

Ich weiss, dass die letzt genannte Zahl beim Durchzählen die Menge ist. Dafür muss ein Grundverständnis fürs Zählen bestehen

Jede Zahl hat einen festen Platz beispielsweise auf dem Zahlenstreifen. Beispielsweise kommt die 5 immer nach der 4. Dies gibt Sicherheit

Ich kann jede Zahl einem Objekt zuordnen (z. B. jedes Kind bekommt eine Zahl)

- Eindeutigkeitsprinzip (Eins-zu-eins-Zuordnung)

- Prinzip der stabilen Ordnung

- Kardinalzahlprinzip

- Prinzip der beliebigen Reihenfolge

- Abstraktionsprinzip (Generalisierung des Zählvorgangs)

Eine Menge mental in Teilmengen zu zerlegen, damit diese erfassbar ist.

Bis zur Zahl 4 kann ein Mensch eine Anzahl gleichzeitig / auf einen Blick wahrnehmen. Er muss dazu nicht rechnen

Zahlen und Ziffern dienen dazu, Dinge zu benennen und unterscheiden (PLZ, Telefonnummer, Hausnummer, ...)

Fragestellung: Welche ...?

Ich kann mit Zahlen rechnen --> 3x3=9

Fragestellung: Wie viel ... zusammen?

Vielfacheinheit einer Handlung oder Vorgang --> Ich muss noch 3x schlafen

Fragestellung: Wie oft?

Grössen (Gewicht, Grösse, Volumen, Temperatur, ...) wird in Masseinheit angegeben

Fragestellung: Wie warm / schwer / ...?

Rangplatz --> Ich lese auf Seite 9, ich wurde 5., ...

Fragestellung: Wievielte/r ...?

Mengenlehre --> Es sind 4 Kinder anwesend

Fragestellung: Wie viel ...?

- Kardinalzahlaspekt

- Ordinalzahlaspekt

- Masszahlaspekt

- Operatoraspekt

- Rechenzahlaspekt

- Codierzahlaspekt

- Zählen

- Zahlen darstellen

- Anzahlen vergleichen

- Zahlen ordnen

- Bündeln, Stellenwerte

- Grundoperationen verstehen

- Zahlbedeutung verstehen / Zahlaspekte

- Anzahlerfassung

- Zählen

- Zahlbeziehungen

- Stellenwertverständnis

- Didaktische Materialien zu Zahlen

1. Gemeinsamer Einstieg mit einer offenen Aufgabe in leistungshomogenen Lerngruppen

2. Lerndifferenzierte Weiterarbeit

3. Gemeinsamer Abschluss
    - Gegenseitiges Erzählen was gemacht wurde
    - Gemeinsame offene Problemstellung
    - Transferaufgabe
    - Miniprojekt mit anwendungsorientierten Aufgaben

Gemeinsames Lernen am gleichen Gegenstand

• Integration von SuS mit Behinderungen (sonderpädagogisches Konzept)
• Hat für hierarchisch strukturierte Fächer wie Mathematik klare Grenzen
• Gefahr der Nivellierung der Leistungen (alle passen sich der Mitte an, keine Differenzierung)
• Gefahr der fehlenden Adaptivität
• Nicht geeignet für Mathematikunterricht

Offene Lernumgebung

• Inhaltsnahes Konzept
• Offene, selbst differenzierende Aufgaben über gemeinsames Thema
• Unabhängig vom Lehrmittel
• Kein eigentlicher Lehrgang
• Geeignet für punktuellen Einsatz im Mathematikunterricht

Jahrgangsübergreifender Mathematikunterricht

• Organisatorisches Konzept
• Konzipiert für 2 Jahrgänge
• Kann mit Lehrmitteln verbunden werden
• Vollständiges Konzept für AdL
• Geeignet als Konzept für Mehrjahrgangsklassen

Parallelisierung der Lerninhalte

• Inhaltsnahes Konzept
• Geht vom Inhalt aus und sucht nach inhaltlichen Gemeinsamkeiten über die Jahrgänge hinweg
• Kombinierbar mit «Offene Lernumgebungen»
• Geeignet als Konzept für Mehrjahrgangsklassen

- Jahrgangsbezogener Abteilungsunterricht (Alle Kinder der 3. Klasse arbeiten zusammen)

- Leistungshomogene Lerngruppen (Niveaugruppen --> gezielte Aufträge für einzelne Gruppen)

- Heterogene Lerngruppen (durchmischte Niveaugruppen --> verschiedene Aufträge für Kleingruppen, Austausch)

- Individualisierung der Lernprozesse (jedes Kind arbeitet auf seinem Stand --> Werkstattunterricht)

--> Es sollte aber keine Monokultur sein --> Je nach Inhalt wählen!

Altersdurchmischtes Lernen

- Geometrische Formen und ihre Konstruktion (Fachliche Begriffsbildung der Formen und Verbindungen)

- Operieren mit Formen (Mit den Formen handeln --> spiegeln, drehen, zerlegen, zusammensetzen, ... --> Möglichkeit zur Verbindung von "Zahl und Variable")

- Koordinaten (Lagebeschreibung von Punkten auf Linien, Flächen und im Raum --> Grundlage für analytische Geometrie und grafische Darstellungen von Funktionen)

- Masse (Länge, Fläche, Rauminhalte, Winkel mithilfe von Masseinheiten messen --> Verbindung "Grössen")

- Geometrische Gesetzmässigkeiten und Muster (Formen und Muster werden zueinander in Beziehung gesetzt, z. B. durch Fortsetzung inkl. deren Gesetzmässigkeiten)

- Formen in der Umwelt (Reale Gegenstände in der Umwelt können durch geometrische Begriffe annähernd beschrieben werden --> Unterscheidung typische, untypische und nichttypische Beispiele)

- Übersetzung in die Sprache der Geometrie / kleine Sachsituationen («Sachsituationen lassen sich mithilfe von geometrischen Begriffen in die Sprache der Geometrie übersetzen und mithilfe von geometrischen Verfahren bearbeiten.» --> Beispiel mit Plänen arbeiten)

Wie viel brauche ich, bis ich die Zahl X bekomme? Ich kehre die Aufgabe um und mache eine Addition (funktioniert nur bei Subtraktion)

634-378=256

Auf den vollen Hunderter:
400-378=22
634-400=234
--> 234+22=256

oder

Auf die nächste Stelle:
384-378=6
434-384=50
634-434=200
--> 6+50+200=256

Es wird zunächst eine andere Aufgabe gerechnet und das Ergebnis danach an die eigentliche Aufgabe angepasst

490+135

500+135-10

Beide Summanden werden in ihre Stellenwerte aufgeteilt. Danach werden sie separat zusammengerechnet.

479+135

400+100=500
70+30=100
9+5=14
--> 500+100+14

Das sind Aufgaben, die auf dem Analogieprinzip aufgebaut sind und auch als Tauschaufgabe bezeichnet werden.

Gleichsinniges, gegengleichsinniges Verändern, Nachbaraufgaben

Die Zahlen werden so angepasst, dass sie einfacher zum Rechnen sind. Beide Summanden werden gleichzeitig angepasst.

479+135

480+134 oder 500+114

Der erste Summand bleibt gleich. Der 2. Summand wird schrittweise dazu gerechnet.

420+537 =

420+37= 457
457+500 = 957

- Schrittweises Rechnen

- Vereinfachen

- Verwandte Aufgabe

- Stellenwerte extra

- Hilfsaufgabe

- Auffüllen / Ergänzen

- Tauschaufgaben (1+2=3  oder  2+1=3)

- Verdoppelungsaufgaben / Halbierungsaufgaben (4+1=5 oder 2+2+1=5)

- Nachbaraufgaben (7+6= 7+5+1)

- Gleichsinniges (Substraktion) / Gegengleichsinniges (Addition) Verändern / Vereinfachen (Konstanz der Summe und Differenz) (9+4= 10+3)

- Zerlegen (7+6= 7+3+3)

- Umkehraufgaben (7+?=12 über 12-7)

Problemlösestrategien zum geschickten Rechnen

1. Impuls / Initiierung durch geeignete Aufgabenstellung

2. Entdecken lassen und fachlich unterstützen

3. Gemeinsamer Austausch über die Ergebnisse

--> Hauptfokus konstruktion von Wissen (Die verschiedenen Rechenwege sollen ausprobiert werden, aber nicht unter Zwang. Die Kinder sollen ihren individuellen Rechenweg gehen. Wichtig dabei ist der Austausch über die Rechenwege) --> Aktiv entdeckendes und soziales Lernen

Einsichtsvolles Rechnen unter Nutzung von Zahlbeziehungen und Rechengesetzen

«Es ist flexibles, auf die Besonderheiten der vorliegenden Aufgaben und des Zahlenmaterials bezogenes Rechnen unter geeigneten Strategien. Zwischenschritte, -rechnungen und -ergebnisse werden notiert. Rechengesetze und -vorteile werden verwendet.»

Art und Weise der Notation nicht festgelegt

Gestütztes Kopfrechnen

Austausch im Unterricht, sodass alle Kinder voneinander profitieren können

--> Rechnung bequem lösen

Entlastung der kognitiven Ressourcen zugunsten von grossen Problemlösungen

Um etwas beweisen zu können oder falls der Rechenweg komplex ist

Ausführen eines oft nicht verstandenen Algorhythmus

Kein Aufbau von Zahlenverständnis

Nur korrekte Anwendung führt zum korrekten Resultat (inkl. vorgegebener Sprechweise)

Man rechnet mit Ziffern und nicht mit Zahlenwerten

Grosse Faszination für Kinder

Kopfrechnung ist Voraussetzung dafür

Rechnen erfolgt nur im Kopf, es wird nichts aufgeschrieben

Dient der Automatisierung

Voraussetzung für Kopfrechnen ist ein Zahlenblick